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Autor Tema: Ecuación con complejos  (Leído 1045 veces)
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Venom
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« : 03/04/2016, 07:56:12 pm »

Hola.
Tengo lo siguiente:

Hallar [texx]x,y \in{\mathbb{R}}[/texx]  tales que:

[texx]x + iy = xe^{iy}[/texx]

Esto me suena a que de la izquierda hay un complejo con parte real [texx]x[/texx] y parte imaginaría [texx]y[/texx] y de la derecha un complejo en notación polar con módulo [texx]x[/texx] y argumento [texx]y[/texx]

Puede ser?
Entonces tendría que dejar los dos en la misma notación.. por ejemplo
sea [texx]z = x + iy[/texx]  entonces [texx]\left |{z}\right | = \sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]  y [texx]arg(z)= arctan(y/x)[/texx]

esto tiene que ser igual al complejo w tal que [texx]\left |{w}\right | = x[/texx]  y [texx]arg(w) = y[/texx]

entonces igualo módulo con módulo y argumento con argumento:

[texx] x =  \sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]

[texx] y = arctan(y/x) [/texx]

o sea, de la primera ecuación concluyo: [texx]x^2 = x^2  + y^2 \Longleftrightarrow{} y = 0[/texx]

voy a la segunda:
[texx] 0 = arctan(0/x)[/texx]  esto queda [texx] 0= 0[/texx]

No sé sí hice bien?
se cumpliría para [texx] y = 0[/texx], para todo [texx]x[/texx]
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El pensamiento es como la perforación de un pozo, a lo primero el agua es turbia, mas luego se esclarece.
ingmarov
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« Respuesta #1 : 03/04/2016, 08:27:22 pm »

No para todo x, solo para x>0.
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Venom
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« Respuesta #2 : 04/04/2016, 10:17:49 am »

Entiendo que x distinta de cero es necesaria, ya que la x esta en el denominador.
Pero de donde sale que tiene que ser mayor que cero?
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ingmarov
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« Respuesta #3 : 04/04/2016, 10:38:46 am »

...

[texx] x =  \sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]

...

Lo saqué de aquí,

Qué pasa si x es negativa?    [texx]y=\pi[/texx] ?

Pensándolo mejor si x es negativa entonces,

[texx]x+i\, y=|x|e^{i\pi}e^{iy}[/texx]

Ahora creo que es más fácil verlo.
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« Respuesta #4 : 04/04/2016, 10:24:22 pm »

Muchas gracias por responder nuevamente!!

...

[texx] x =  \sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]

...

Lo saqué de aquí,

Qué pasa si x es negativa?    [texx]y=\pi[/texx] ?

No dijimos que y=0 ??
O sea, y = 0  siempre sino no se cumple, o eso entiendo yo.

No me queda claro analíticamente como se resuelve de manera formal, porque así "a ojo" no me doy cuenta, me gustaría tener un procedimiento para aplicarlo en situaciones similares.
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« Respuesta #5 : 04/04/2016, 10:44:53 pm »

Lo que puse después del texto en rojo, es algo que te sirve para probar que,

[texx]x+iy=xe^{iy}[/texx]      no se cumple para x<0


Lo que se cumple para toda x real (tal como has dicho en tu analisis) es.  [texx]x+iy=|x|e^{iy}[/texx].  Siempre que y=0.


Entiendes?


Pd. Espero entiendas ya que me cuesta responder desde mi teléfono.
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« Respuesta #6 : 04/04/2016, 10:48:49 pm »

Repensando nuevamente llego a:

Tenemos,
[texx]x = \sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]
Ahora viendo, me parce que al ser y = 0 esta ecuación queda en:

[texx]x = \sqrt[ ]{x^2}[/texx]

Y esto se cumple sólo para [texx]x\geq{}0[/texx]

Y el x = 0 lo descartamos de:
[texx]0 = arctan (0/x)[/texx]

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Abdulai
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« Respuesta #7 : 05/04/2016, 01:37:14 am »

Repensando nuevamente llego a:

Tenemos,
[texx]x = \sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]
Ahora viendo, me parce que al ser y = 0 esta ecuación queda en:

[texx]x = \sqrt[ ]{x^2}[/texx]

Y esto se cumple sólo para [texx]x\geq{}0[/texx]

Detente pecador.  En realidad es  [texx]|x| = \sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]


Podías hacer después de la igualdad de módulos  [texx]\displaystyle|x+iy|=|xe^{iy}|\;\;\Rightarrow\;\;x^2+y^2=x^2\;\;\Rightarrow\;\;y=0[/texx]
volver a la ecuación original  [texx]x+i0=xe^{i0}\;\;\Rightarrow\;\;x=x[/texx] , o sea, se cumple [texx]\forall x[/texx]
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ingmarov
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« Respuesta #8 : 05/04/2016, 02:07:28 am »

Soy pecador :llorando:   :llorando:  :llorando:  :llorando:  además corruptor por hacer pecar a Venom.
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