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Autor Tema: Función continua... o no. Métrica curiosa.  (Leído 2200 veces)
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Samir M.
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« : 01/04/2016, 05:59:14 pm »

Este es un ejercicio que me ha parecido muy interesante repasando algo de topología.

Enunciado.

Sean [texx]d(x,y) = |x-y|[/texx] y [texx]d_*(x,y) = \text{min}(|x-y|, 1-|x-y|)[/texx] distancias en [texx]X = [0,1)[/texx] (que el lector animado adjunte en un comentario bajo este hilo la prueba de que realmente son distancias). i) Sea [texx]f(x) = x[/texx] definida como [texx]f : (X,d) \to (\mathbb{R},d)[/texx]. Demostrad que [texx]f[/texx] es continua. ii) Sea ahora [texx]f(x) = x[/texx] definida como [texx]f:(X,d_*) \to (\mathbb{R},d)[/texx]. ¿Es [texx]f[/texx] continua en [texx]a = 0[/texx]?
    _____

Solución.

i) Es cuasitrivial, basta recurrir a las múltiples definiciones de continuidad y aplicarla tal cual.

ii) Este es más interesante. Para intuir si la función es continua o no, podemos estudiar la métrica sobre la que está definida. Observemos que para la distancia [texx]d_*[/texx] en [texx][0,1)[/texx] los números [texx]0,999999[/texx]... están muy próximos a los de la forma [texx]0.000000[/texx]... (o de forma más concreta, la [texx]B(0,\epsilon)[/texx] tiene puntos cerca del [texx]0[/texx] y del [texx]1[/texx], con lo que las imágenes de esos puntos están en conjuntos distintos) lo que sugiere que hay una discontintuidad, y que por tanto no es continua.  En efecto, empecemos fijándonos en que las bolas son de la forma [texx][0,r) [/texx] y además [texx] (1-r,1)[/texx]con [texx]r>0[/texx].
La idea consiste en comprobar que [texx]\forall \ \delta > 0 \ \exists x \in X : d_*(x,0) < \delta[/texx] pero [texx]d(x,0) \geq \epsilon[/texx]. En particular, sea [texx]\epsilon = 0,1[/texx]. Veamos que [texx]\nexists \delta : f (B(0,\delta)) \subset f(B,(0,0.1)) [/texx]. Si Cogemos [texx]x \in (1-\delta, 1) \cap [0,1, 1) [/texx] se tiene que [texx]d_* (x,0) < \delta [/texx] pero [texx]d(x,0)  = |x-0| = |x| \geq 0.1[/texx] Luego [texx]f[/texx] no es continua.

Un comentario del autor del artículo donde vi esto decía: 'Desde luego que [texx]0,1[/texx] no tiene poderes mágicos, cualquier otro número pequeño habría sido válido en la demostración'  :sonrisa_amplia:. Esta distancia a mí personalmente me resulta curiosa. Por ejemplo, es bien conocida la función de Dirichlet por no ser precisamente continua. De forma más precisa, sea
[texx]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}  \\0 & \text{si } x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases}[/texx] Bajo la distancia usual [texx]x_n = \sqrt{2}/n \to  x = 0[/texx] pero [texx]f(x_n) = 0 \not \to f(x) = 1[/texx] luego [texx]f[/texx] no es continua en [texx]0[/texx] (ni en ningún otro punto).

Sin embargo, si le definimos ahora la siguiente distancia:

[texx]d(x,y)= \begin{cases}  |x-y| \ & \text{si }& x-y \in \mathbb{Q} \\ 1 + |x-y| & \text{si}& x-y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases}[/texx]

entonces ahora [texx]x_n \cancel{\to}0[/texx]. Como toda sucesión [texx]x_n \to 0[/texx] debe ser racional a partir de cierto término [texx]f[/texx] debe ser continua en cero, y lo mismo se aplica en el resto de puntos (sería interesante que intentarais aportar un comentario con una demostración formal de este hecho, y si alguien lo intenta y no le sale que lo comente que aporto la mía). Entonces, ¿La función de Dirichlet es continua o no?  :rodando_los_ojos:

Pd: otro comentario que me pareció genial de este autor es: 'Si realmente hubiera justicia en el mundo, debiera tenerse, para funciones integrables, [texx]\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\int_0^1 f_n} = \int_0^1 f[/texx]

Saludos.
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Piockñec
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« Respuesta #1 : 02/04/2016, 08:35:17 am »

Samir, ¿la [texx]d_*[/texx] es una distancia? Porque si una distancia debe cumplir [texx]d_*(x,y)=0\Leftrightarrow{}x=y[/texx], si tomamos [texx]x=1,y=0[/texx], obtenemos [texx]d(1,0)=0[/texx]

No leí el intervalo de definición, SÍ es una distancia :sonrisa: Qué interesante el ejercicio, gracias por compartirlo!
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Samir M.
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« Respuesta #2 : 02/04/2016, 11:36:19 am »

Cómo enganchan las mates, cuanto más se adentra uno más campos quiere abarcar :sonrisa: De nada, a ti por leerlo!
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 02/04/2016, 08:03:12 pm »

Es tarde:

No será [texx] x \in (1-\delta,1) \cup [0,1'1) [/texx]

En otro casso podría pasar [texx] (1-\delta,1) \cap [0,1'1) = \emptyset [/texx]

Si usamos la definición de límite, dado [texx] \epsilon = \dfrac{1}{2} [/texx] entonces  dado [texx] \delta  \leq \epsilon  [/texx] no  se cumplirá por:


[texx] f(B(0,\delta)) = [0,\delta) \cup (1-\delta, 1) [/texx] que nunca estará dentro de [texx] [0, \delta) \subset [0, \epsilon) [/texx]
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Samir M.
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« Respuesta #4 : 03/04/2016, 09:11:35 am »

Es que es [texx]x \in (1-\delta, 1) \cap [(0,1), 1)[/texx] o sea, [texx]x \in (1-\delta, 1) \cap [\frac{1}{10}, 1)[/texx]. Ya lo siento, pero es que no sé cómo ponerlo en latex para que no resulte confuso, o sea, para que se aprecie bien.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #5 : 03/04/2016, 03:59:09 pm »

El error fue mío era tarde y no estaba bien despierto creía que  era otra cosa.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 04/04/2016, 06:25:12 am »

Hola

Enunciado.

Sean [texx]d(x,y) = |x-y|[/texx] y [texx]d_*(x,y) = \text{min}(|x-y|, 1-|x-y|)[/texx] distancias en [texx]X = [0,1)[/texx] (que el lector animado adjunte en un comentario bajo este hilo la prueba de que realmente son distancias). i) Sea [texx]f(x) = x[/texx] definida como [texx]f : (X,d) \to (\mathbb{R},d)[/texx]. Demostrad que [texx]f[/texx] es continua. ii) Sea ahora [texx]f(x) = x[/texx] definida como [texx]f:(X,d_*) \to (\mathbb{R},d)[/texx]. ¿Es [texx]f[/texx] continua en [texx]a = 0[/texx]?

Un comentario sobre este ejercicio.

Una forma de "visualizarlo" es considerar la aplicación:

[texx]f:[0,1)\longrightarrow{}S^1\subset R^2[/texx]

[texx]f(t)=(cos(2\pi t),sin(2\pi t))[/texx]

que enrosca el intervalo [texx][0,1)[/texx] sobre la circunferencia. Es una aplicación continua y biyectiva; sin embargo su inversa no es continua. Dicho de otra manera la topología de la circunferencia traslada al intervalo [texx][0,1)[/texx] mediante la inversa de la aplicación no es la misma que la topología usual en tal intervalo. El motivo es claro: los puntos [texx]0[/texx] y [texx]1[/texx] son el mismo en la circunferencia ([texx]cos(0)=cos(2\pi), \quad sin(0)=sin(2\pi)[/texx]) y por tanto los puntos próximos a [texx]1[/texx] están próximos a [texx]0[/texx] cuando enroscamos [texx][0,1)[/texx] sobre la circunferencia, pero no con la topología usual, no cuando desenroscamos.

Cita
Esta distancia a mí personalmente me resulta curiosa. Por ejemplo, es bien conocida la función de Dirichlet por no ser precisamente continua. De forma más precisa, sea
[texx]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}  \\0 & \text{si } x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases}[/texx] Bajo la distancia usual [texx]x_n = \sqrt{2}/n \to  x = 0[/texx] pero [texx]f(x_n) = 0 \not \to f(x) = 1[/texx] luego [texx]f[/texx] no es continua en [texx]0[/texx] (ni en ningún otro punto).

Sin embargo, si le definimos ahora la siguiente distancia:

[texx]d(x,y)= \begin{cases}  |x-y| \ & \text{si }& x-y \in \mathbb{Q} \\ 1 + |x-y| & \text{si}& x-y \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\end{cases}[/texx]

entonces ahora [texx]x_n \cancel{\to}0[/texx]. Como toda sucesión [texx]x_n \to 0[/texx] debe ser racional a partir de cierto término [texx]f[/texx] debe ser continua en cero, y lo mismo se aplica en el resto de puntos (sería interesante que intentarais aportar un comentario con una demostración formal de este hecho, y si alguien lo intenta y no le sale que lo comente que aporto la mía). Entonces, ¿La función de Dirichlet es continua o no?  :rodando_los_ojos:

Si [texx]x_n\to a[/texx] (con esa especial distancia) entonces [texx]d(x_n,a)<1/2[/texx] para [texx]n\geq n_0[/texx] y por tanto necesariamente [texx]x_n-a[/texx] tiene que ser racional (en otro caso la distancia es mayor que uno).

Entonces dado [texx]x_n\to a[/texx]:

- Si [texx]a[/texx] es racional, [texx]f(a)=1[/texx]. Para [texx]n\geq n_0[/texx] se tiene que [texx]x_n-a[/texx] es racional y [texx]x_n=a+x_n-a[/texx] es racional y por tanto [texx]f(x_n)=1[/texx] para [texx]n\geq n_0.[/texx] Es decir: [texx]f(x_n)=1\to 1=f(a).[/texx]

- Si [texx]a[/texx] es irracional, [texx]f(a)=0[/texx]. Para [texx]n\geq n_0[/texx] se tiene que [texx]x_n-a[/texx] es itracional y [texx]x_n=a+x_n-a[/texx] es irracional (suma de irracional y racional) y por tanto [texx]f(x_n)=0[/texx] para [texx]n\geq n_0.[/texx] Es decir: [texx]f(x_n)=0\to 0=f(a).[/texx]

Se tiene continuidad secuencial: es continua.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 04/04/2016, 09:35:33 am »

Muy buen comentario, hace mucho más intuitivo el problema. Para completar el ejercicio ahí va una prueba de que [texx]d_*[/texx] es una métrica:

Las primeras dos propiedades usuales en la definición de una métrica son triviales. Veamos la de la desigualdad triangular:

[texx]\begin{align*}d_*(x,z) = \min  \{ d(x,z), 1 - d(x,z) \} &\leq \min  \{ d(x,y) + d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,z) \}  + \min  \{ d(y,z), 1 - d(x,z) \} \\ &\leq \min  \{ d(x,y), 1 - (d(x,y) - d(y,z)) \} + \min  \{ d(y,z), 1 -(d(y,z) - d(x,y))  \} \\&\leq  \min  \{ d(x,y), 1 - d(x,y)  \} + \min  \{ d(y,z), 1 - d(y,z)  \} = d_* (x,y) + d_* (y,z)  \end{align*} [/texx]
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
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