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Autor Tema: Sucesión.  (Leído 1621 veces)
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zimbawe
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« : 26/03/2016, 02:18:43 pm »

Hola, tengo el siguiente problema que no me sale. Agradecería, me ayudarán. Mil gracias.
Demuestre que si a y b son enteros positivos.
La progresión aritmética [texx]a, a+b, a+2b,...[/texx]
Tiene un número arbitrario de términos consecutivos que son números compuestos.
Se que el problema reza, sobre hallar un n tal que
[texx]a+bn, a+b(n+1), a+b(n+2),...(a+b(n+k))[/texx]
Sean todos compuestos, pero no se
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 26/03/2016, 07:56:38 pm »

Si [texx] mcd(a,b) = d >1 [/texx] es fácil, supongamos que [texx] mcd(a, b) = 1 [/texx]

Neguemos lo que queremos probar, quiero decir para [texx]  k \in \mathbb{N} [/texx] no hay [texx] k  [/texx] números consecutivos de la forma:

Editado

[texx] a + (n+s) \cdot b [/texx] donde [texx] s \in S = \{0,1,2, \cdots ,k-1\} [/texx] para algún [texx]\color{red}  n\in \mathbb{N} \color{black}[/texx].

Entonces para todo [texx]\color{red}  n \in \mathbb{N} \color{black}[/texx] existe [texx] s \in S [/texx]   con [texx] a+ (n+s) \cdot b [/texx] primo.


Pero usando que dado [texx] f \in \mathbb{N} [/texx] se puede encontrar  [texx] f [/texx] números consecutivos compuestos entonces sólo tengo que usar:

[texx] f = a+ n \cdot b + k \cdot b  [/texx] para cualquier [texx] n \in \mathbb{N} [/texx]

Una revisión no viene mal   :sonrisa_amplia:.

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zimbawe
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« Respuesta #2 : 26/03/2016, 08:33:39 pm »

Hola, Juan Pablo, a que te refieres con [texx]nN[/texx] a los múltiplos de n? Gracias de antemano.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 26/03/2016, 09:05:56 pm »

Edité la respuesta.
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zimbawe
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« Respuesta #4 : 26/03/2016, 09:22:16 pm »

Muchas gracias Juan, ya entendí.
Pero la afirmación de que existen f enteros consecutivos compuestos es un teorema?
Gracias, nuevamente.
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robinlambada
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« Respuesta #5 : 26/03/2016, 09:49:41 pm »

Muchas gracias Juan, ya entendí.
Pero la afirmación de que existen f enteros consecutivos compuestos es un teorema?
Gracias, nuevamente.

Si es un teorema. Esta demostrado en el foro,( por Juan Pablo), pero no lo encuentro.

Por cierto Juan Pablo, creo que se podría limitar "[texx]f[/texx]" a [texx]f=a+kb[/texx], pues nos garantiza que hay k números distanciados b a partir de a.

No es suficiente que "[texx]f[/texx]" pueda ser [texx]f=kb[/texx], puesto que sigue habiendo k números distanciados b, pero no garantiza que estén en la sucesión, pues si [texx]a>(kb+1)![/texx] no lo estarían.

¿Estoy en lo cierto?

Saludos.

P.D.: No me funciona bien la búsqueda del foro, no consigo que me limite la búsqueda a determinados subforos.
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« Respuesta #6 : 26/03/2016, 10:35:44 pm »

P.D.: No me funciona bien la búsqueda del foro, no consigo que me limite la búsqueda a determinados subforos.

No hay más remedio que usar el buscador de google poniendo además el nombre de la web rinconmatematico, y los datos que te permitan restringir la búsqueda.
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zimbawe
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« Respuesta #7 : 27/03/2016, 12:03:18 am »

Ya encontre dicho teorema, gracias.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #8 : 27/03/2016, 01:00:06 am »

Mi idea era:

[texx] m+1 = (a + n \cdot b  + k \cdot b+1)! + 2 [/texx] sea:

[texx] M = \{m+1,m+2, \cdots, m+a+b,m+a+b+1,m+a+b + 2 , \cdots , m+a+2 \cdot b, m+a+2 \cdot b + 1,m+a+2 \cdot b + 2, \cdots , m + a+ 3 \cdot b ,m+a+ 3 \cdot b + 1, m+a+ 3 \cdot b + 2, \cdots , \cdots, m + a+k b \} [/texx]

[texx] s_0 [/texx] el natural más pequeño con [texx] a+(n+s_0) \cdot b \in M [/texx] cumplirá entonces:


Pongo [texx] n + s_0 = n_0 [/texx]

[texx] a+ n_0 \cdot b \in \{m+1,m+2, \cdots, m+a+b \} [/texx]

[texx] a+(n_0 + 1)\cdot b \in \{m+a+b+1,m+a+b + 2 , \cdots , m+a+2 \cdot b \} [/texx]

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

[texx] a+(n_0 + (k-1)) \in \{m+a+(k-1) \cdot b + 1,m+a+(k-1) \cdot b + 2 ,cdots, m + a +  k \cdot b \} [/texx]


Mañana lo reviso  veo el desastre y veo las demás respuestas.

Es tarde.

Revisado parece que está regular bien

Gracias por la mirada Robinlambada



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Víctor Luis
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« Respuesta #9 : 27/03/2016, 06:54:54 am »

Buenos Días...



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Saludos Cordiales...
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feriva
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« Respuesta #10 : 27/03/2016, 07:21:48 am »


Hola, Zimbawe; la idea es ésta.

Sea [texx]n!=1\cdot2\cdot3...\cdot n
 [/texx]

Entonces

[texx](n!+2),\,(n!+3),\,...(n!+n)
 [/texx] son consecutivos.

Como [texx]n!
 [/texx] es múltiplo de [texx]1,2,3...n[/texx], entonces

[texx]2|(n!+2),\,3|(n!+3),\,...n|(n!+n)
 [/texx]

Por lo que basta tomar un “n” tan grande como se quiera para tener todos los compuestos consecutivos que se quieran.

Saludos.
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robinlambada
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« Respuesta #11 : 27/03/2016, 07:30:35 am »

Editado
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La demostración la veo correcta, no veo ningún desastre. , en todo caso revisar la posible viga en mi ojo.

Solo quería puntualizar, ( sin demasiado interés matemático) que el conjunto M, de enteros consecutivos puede ser menor.

Para representar mi idea, me imagino los términos de la sucesión colocados en la recta real.

Supongamos una recta milimetrada ( cada milímetro es un número natural), pongamos un caso concreto , que a sea múltiplo de 10 (en  milímetros ), el primer término de la sucesión que es a, estará a "a" centímetros del origen, supongamos [texx]b=10 \:mm=1 \:cm[/texx] y los demás términos distanciados 1 cm cada uno.

Si ahora cogemos kb números consecutivos a partir de "a", garantizamos que al menos k pertenecen a la sucesión.

Sólo debemos elegir bien el primer (menor) número consecutivo, para que sean compuestos. Pero como deben ser todos mayores que a, no basta con

empezar por [texx]m+1=(kb+1)! +2[/texx], debemos asegurarnos que [texx]a<m+1[/texx].

Por ello [texx]m+1=(a+kb+1)! +2[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #12 : 27/03/2016, 10:32:23 am »

Gracias Víctor Luis y Feriva, pero entiendo que es cualquier sucesión aritmética de números enteros. O sea, yo no puedo determinarla.
Gracias Robin, muy instructiva tu demostración, pero hay algo que me desconcierta un tanto, agradezco si me explicas, mil gracias.
Si [texx]a+n_0*b\in{}M={m+1, m+2,...,m+a+b}[/texx] entonces [texx]a+(n_0+1)*b[/texx] no debería pertenecer [texx]T={m+2, m+3,...}[/texx]
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zimbawe
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« Respuesta #13 : 27/03/2016, 10:37:04 am »

Disculpenme si estoy cAnsón, pero mi razonamiento inductivo funciona mejor. Si yo supongo que [texx]a_n=2+3n[/texx] cual es el n que debería escoger en este caso?
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« Respuesta #14 : 27/03/2016, 01:20:52 pm »

Disculpenme si estoy cAnsón, pero mi razonamiento inductivo funciona mejor. Si yo supongo que [texx]a_n=2+3n[/texx] cual es el n que debería escoger en este caso?

Nada que disculpar.

El [texx]n_0[/texx], a partir del que coger los términos consecutivos depende del número k de ellos y de a.

Empezando por: [texx](a + kb+1)!+2[/texx], es decir por [texx](2+3k+1)!+2[/texx]

Si [texx]k=1[/texx],  serian: [texx]722,723,724,725,726[/texx],  [texx]2+1\cdot{}3=5[/texx] números, con [texx]722[/texx] y [texx]725[/texx] de la sucesión

entonces [texx]a_{no}=719[/texx] ó [texx]a_{no}=722[/texx] con: [texx]n_o=239 [/texx] ó [texx]n_o=240 [/texx]

Si [texx]k=2[/texx]

Empezamos por:  [texx](2+3\cdot{2}+1)!+2=9!+2[/texx],

serían [texx]9!+2,\: 9!+3 \:,9!+4 ,\: 9!+5 ,\:9!+6 ,\: 9!+7 ,\: 9!+8 ,\: 9!+9[/texx] .  Siendo [texx]2+2\cdot{}3=8[/texx] números y al menos dos de la sucesión.

La idea de añadir el "a=2" al factorial es para garantizar que ha comenzado la sucesión.

pues para k=2 si la sucesión fuese [texx]a_n=5050+3n[/texx] como [texx]5050>7![/texx], no bastaría con empezar los consecutivos por

[texx](kb+1)!+2=7!+2=5042[/texx], son:  [texx]5042,5043,5044,5045,5046[/texx] y [texx]5047[/texx] (*), de hecho ninguno pertenece a la sucesión, [texx]{5050,5053,5056...}[/texx] a pesar de ser (*) todos compuestos. divisibles respectivamente entre [texx]2,3,4,5,6 [/texx]y [texx]7[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #15 : 27/03/2016, 01:41:14 pm »

O sea, yo no puedo determinarla.


Es verdad, perdona, lo había interpretado de otra manera.

Saludos.

De todas formas sí te sirve, porque te dice arbitrario, no infinito; puedes elegir un [texx]n![/texx] tal que haya unos más grandes que él de esa sucesión, consecutivos, que entren entre los términos que te decía; entonces, si quieres más, eliges otro n! más grande, eso arbitrario
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« Respuesta #16 : 27/03/2016, 04:26:32 pm »

Gracias Robin ahora si todo muy claro. Gracias a todos.
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