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Autor Tema: Álgebras y sigma álgebras  (Leído 1604 veces)
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Julio_fmat
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« : 14/03/2016, 10:20:33 pm »

Sea [texx]X=\mathbb{R}[/texx] y sea [texx]\mathcal{A}[/texx] una colección de conjuntos que son unión finita y disjunta de intervalos de la forma [texx](a,b][/texx] con [texx]0\le a<b.[/texx] Muestre que [texx]\mathcal{A}[/texx] es un álgebra en [texx]\mathbb{R}[/texx], pero no es una [texx]\sigma[/texx]-algebra.

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« Respuesta #1 : 14/03/2016, 10:49:18 pm »

Para mostrar que no es una sigma-álgebra tendrías que buscar un subconjunto C de los números reales que es unión numerable de intervalos de la forma (a, b],
pero tal que C no es posible representarlo como una sucesión finita de operaciones de unión e intersección de intervalos de la forma (a, b].

Un ejemplo de ese tipo puede ser fácil de encontrar por intuición, por ejemplo, una unión disjunta y separada (o sea, cuyos extremos no se toquen) de intervalos de esa forma. Y luego ponerse a probar que no se lo puede alcanzar "finitamente".

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 15/03/2016, 07:13:46 am »

Te concreto un poco la idea que te ha dado argentinator:

1) Demuestra que todo elemento de [texx]\mathcal A[/texx] está acotado, es decir, está contenido en un intervalo [a, b] suficientemente grande.

2) Encuentra una familia numerable de elementos de [texx]\mathcal A[/texx] cuya unión no esté acotada y, por 1), no está en [texx]\mathcal A[/texx] (argentinator te ha dado la idea de cómo encontrar esa familia). Eso prueba que [texx]\mathcal A[/texx] no es cerrada para uniones numerables, luego no es una [texx]\sigma[/texx]-álgebra.
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Julio_fmat
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« Respuesta #3 : 15/03/2016, 05:58:59 pm »

Muchas Gracias, pero qué conjunto me sirve precisamente?

Por ejemplo, mi profesor nos decía que pensáramos en algo como esto:

[texx]I=\left(0,\dfrac{1}{2}\right]\cup \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right]\cup \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}
, \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}\right][/texx], porque [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}=1.[/texx]

Aunque sigo pensando en por qué sirve este caso y no otro.

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Carlos Ivorra
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« Respuesta #4 : 15/03/2016, 06:11:32 pm »

Toma simplemente los conjuntos [texx](0, n][/texx]. Su unión no está acotada.
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Julio_fmat
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« Respuesta #5 : 17/03/2016, 04:16:01 am »

Toma simplemente los conjuntos [texx](0, n][/texx]. Su unión no está acotada.

Gracias Carlos, pero esto me sirve para probar que es un álgebra? Porque si sabemos que la intersección de conjuntos es disjunta, creo que ese ejemplo falla ahí, porque esto no da vacío, [texx](0,1]\cap (0,2]\ne \varnothing.[/texx] Seguiré pensando en otros ejemplos... Además, los conjuntos de la familia ahí deben ser numerables para ser sigma-álgebra, no cualquier conjunto es cerrado para la unión.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 17/03/2016, 05:55:40 am »

Hola

Gracias Carlos, pero esto me sirve para probar que es un álgebra?

Pero las orientaciones que te están dando son para mostrar que la familia de conjuntos que te indican NO es una [texx]\sigma[/texx]-álgebra.

¿Por qué preguntas si eso te sirve para probar si es un álgebra? Dijiste que eso lo sabías hacer tu. ¿Sabes o no? Si no te sale pregunta, indicando que has podido hacer y que dificultad concreta encuentras.

Cita
Porque si sabemos que la intersección de conjuntos es disjunta, creo que ese ejemplo falla ahí, porque esto no da vacío, [texx](0,1]\cap (0,2]\ne \varnothing.[/texx] Seguiré pensando en otros ejemplos... Además, los conjuntos de la familia ahí deben ser numerables para ser sigma-álgebra, no cualquier conjunto es cerrado para la unión.

El ejemplo de Carlos es tomar la familia de conjuntos:

[texx]\{(0,n]|n\in \mathbb{N}\}[/texx]

cada uno de sus elementos es un conjunto de [texx]\mathcal{A}[/texx]; son una familia numerable y su unión es [texx](0,+\infty)[/texx] que NO es un elemento de [texx]\mathcal{A}[/texx]. Por tanto falla la condición de [texx]\sigma[/texx]-álgebra: la unión numerable de elementos de [texx]\mathcal{A}[/texx] no da un elemento [texx]\mathcal{A}[/texx].

Saludos.
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