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Autor Tema: Propiedad de Álgebras  (Leído 1155 veces)
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Julio_fmat
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« : 09/03/2016, 07:52:11 pm »

Sea [texx]\mathcal{A}[/texx] un álgebra en [texx]X[/texx]. Demostrar que [texx]\varnothing, X\in \mathcal{A}.[/texx]

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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 09/03/2016, 10:44:23 pm »

¿Puedes poner la definición de álgebra?

La que tengo yo pone:

Un álgebra [texx] \mathcal{A} [/texx]  sobre un conjunto [texx] \mathcal{X} [/texx] es una clase de subconjunto de [texx] \mathcal{X} [/texx] que cumple:

1. [texx] \mathcal{X} \in \mathcal{A} [/texx]

2. Si [texx] A,B [/texx] están en [texx]\mathcal{A} [/texx] entonces [texx] A \cup B \in \mathcal{A} [/texx]

3. Si [texx] A \in \mathcal{A} [/texx] entonces [texx] A^c = \mathcal{X} \setminus A \in \mathcal{A} [/texx].


En este caso [texx] \mathcal{X} \setminus \mathcal{X} \in \mathcal{A} [/texx]
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 10/03/2016, 01:35:11 am »

¿Puedes poner la definición de álgebra?

La que tengo yo pone:

Un álgebra [texx] \mathcal{A} [/texx]  sobre un conjunto [texx] \mathcal{X} [/texx] es una clase de subconjunto de [texx] \mathcal{X} [/texx] que cumple:

1. [texx] \mathcal{X} \in \mathcal{A} [/texx]

2. Si [texx] A,B [/texx] están en [texx]\mathcal{A} [/texx] entonces [texx] A \cup B \in \mathcal{A} [/texx]

3. Si [texx] A \in \mathcal{A} [/texx] entonces [texx] A^c = \mathcal{X} \setminus A \in \mathcal{A} [/texx].


En este caso [texx] \mathcal{X} \setminus \mathcal{X} \in \mathcal{A} [/texx]

Muchas Gracias Juan Pablo Aplauso.

Mi definición es esta:

Definición: Diremos que [texx]\mathcal{A}[/texx] es un álgebra en [texx]X[/texx] si:

1) [texx]A,B\in \mathcal{A}\implies A\cup B\in \mathcal{A}[/texx]

2) [texx]A\in \mathcal{A}\implies A^c\in \mathcal{A}[/texx]

Bueno, luego de ver BIEN la definición, se me ocurrió esto...

Si [texx]\varnothing \notin \mathcal{A}[/texx], entonces [texx]\varnothing \in \mathcal{A}^c[/texx], pero [texx]\mathcal{A}[/texx] es un álgebra por hipótesis. Luego, necesariamente [texx]X\in \mathcal{A}.[/texx]

Si [texx]X\notin \mathcal{A}[/texx], entonces [texx]X\in \mathcal{A}^c.[/texx] Luego...  :BangHead:

Lo pensaré un rato, edito si me sale algo.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 10/03/2016, 05:19:28 am »

Definición: Diremos que [texx]\mathcal{A}[/texx] es un álgebra en [texx]X[/texx] si:
1) [texx]A,B\in \mathcal{A}\implies A\cup B\in \mathcal{A}[/texx]
2) [texx]A\in \mathcal{A}\implies A^c\in \mathcal{A}[/texx]
Bueno, luego de ver BIEN la definición, se me ocurrió esto...
Si [texx]\varnothing \notin \mathcal{A}[/texx], entonces [texx]\varnothing \in \mathcal{A}^c[/texx], pero [texx]\mathcal{A}[/texx] es un álgebra por hipótesis. Luego, necesariamente [texx]X\in \mathcal{A}.[/texx]

Eso no tiene sentido. ¿Qué es [texx]\mathcal{A}^c[/texx]? La demostración que te piden es así de sencilla: si [texx]A\in \mathcal{A}[/texx], entonces [texx]A^c\in \mathcal{A}[/texx] por 2), pero [texx]X=A\cup A^c\in\mathcal{A}[/texx] por 1). Por otra parte [texx]\emptyset=X^c\in \mathcal{A}[/texx] por 2).
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