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Autor Tema: Demostración de la Desigualdad de Jensen.  (Leído 1380 veces)
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Renan
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« : 02/03/2016, 12:45:48 am »

Estoy viendo un curso muy bueno de Análisis Real y utilizamos el libro Real and Complex Analysis de Walter Rudin. Debo llenar los detalles de la demostración del siguiente teorema.

Teorema (Jensen's Inequality) Sea [texx]\mu[/texx] una medida positiva sobre una [texx]\sigma[/texx]-algebra [texx]\mathfrak{M}[/texx] en un conjunto [texx]\Omega[/texx] tal que [texx]\mu(\Omega)=1[/texx]. Si [texx]f[/texx] es una función real en [texx]L^1(\mu)[/texx], si [texx]a<f(x)<b[/texx] para todo [texx]x\in \Omega[/texx], y si [texx]\varphi[/texx] es convexa en [texx](a,b)[/texx], entonces
[texx]\varphi\left(\displaystyle\int_{\Omega} f d\mu \right) \leq{ \displaystyle\int_{\Omega}(\varphi \circ{f})d\mu}[/texx]

Tengo un par de dudas en esta demostración que espero puedan orientarme. Para la primera, sea [texx]t=\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu[/texx]. Entonces [texx]a<t<b[/texx]. El caso donde [texx]a=-\infty[/texx] y [texx]b=\infty[/texx] se cumple, ya que [texx]f \in L^1(\mu)[/texx], ¿es correcto?, pero ¿qué pasa si [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son finitos?

Mi segunda duda es ya al final (ver archivo anexo). Tengo

[texx]\varphi(f(x))\geq{\varphi(t)+\beta(f(x)-t)}[/texx]

Al sustituir [texx]t[/texx] e integrar a ambos lados con respecto a [texx]\mu[/texx], obtenemos:

[texx]\displaystyle\int_{\Omega}\varphi(f(x)d\mu\geq{\displaystyle\int_{\Omega}\left(\varphi(\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu)+\beta(f(x)-\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu\right) }d\mu\Rightarrow{}[/texx]


[texx]\displaystyle\int_{\Omega}(\varphi \circ{f} )d\mu\geq{\displaystyle\int_{\Omega}\varphi(\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu)d\mu+ \displaystyle\int_\Omega\beta(f(x)-\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu})d\mu[/texx]

Ahora, no estoy seguro de cómo resolver el lado derecho, sé que estoy dejando pasar la hipótesis de que [texx]\mu(\Omega)=1[/texx] y debo usarla ahora, mientras que el segundo término debe ser cero, pero no logro verlo. Gracias de antemano.

* Jensen.png (86.41 KB - descargado 158 veces.)
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 02/03/2016, 05:58:32 am »

Hola

Estoy viendo un curso muy bueno de Análisis Real y utilizamos el libro Real and Complex Analysis de Walter Rudin. Debo llenar los detalles de la demostración del siguiente teorema.

Teorema (Jensen's Inequality) Sea [texx]\mu[/texx] una medida positiva sobre una [texx]\sigma[/texx]-algebra [texx]\mathfrak{M}[/texx] en un conjunto [texx]\Omega[/texx] tal que [texx]\mu(\Omega)=1[/texx]. Si [texx]f[/texx] es una función real en [texx]L^1(\mu)[/texx], si [texx]a<f(x)<b[/texx] para todo [texx]x\in \Omega[/texx], y si [texx]\varphi[/texx] es convexa en [texx](a,b)[/texx], entonces
[texx]\varphi\left(\displaystyle\int_{\Omega} f d\mu \right) \leq{ \displaystyle\int_{\Omega}(\varphi \circ{f})d\mu}[/texx]

Tengo un par de dudas en esta demostración que espero puedan orientarme. Para la primera, sea [texx]t=\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu[/texx]. Entonces [texx]a<t<b[/texx]. El caso donde [texx]a=-\infty[/texx] y [texx]b=\infty[/texx] se cumple, ya que [texx]f \in L^1(\mu)[/texx], ¿es correcto?, pero ¿qué pasa si [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son finitos?

Fíjate que por hipótesis [texx]a<f(x)<b[/texx]. Integrando:

[texx]\displaystyle\int_{\Omega}ad\mu< \displaystyle\int_{\Omega}f(x)d\mu< \displaystyle\int_{\Omega}bd\mu
[/texx]  (*)

Recuerda que la integral de una constante es:

[texx]\displaystyle\int_{\Omega}kd\mu=k\mu(\Omega)[/texx]

Por tanto dado que [texx]\mu(\Omega)=1[/texx], la expresión (*) queda:

[texx]a< \underbrace{\displaystyle\int_{\Omega}f(x)d\mu}_{t}<b[/texx]

Cita
Mi segunda duda es ya al final (ver archivo anexo). Tengo

[texx]\varphi(f(x))\geq{\varphi(t)+\beta(f(x)-t)}[/texx]

Al sustituir [texx]t[/texx] e integrar a ambos lados con respecto a [texx]\mu[/texx], obtenemos:

[texx]\displaystyle\int_{\Omega}\varphi(f(x)d\mu\geq{\displaystyle\int_{\Omega}\left(\varphi(\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu)+\beta(f(x)-\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu\right) }d\mu\Rightarrow{}[/texx]


[texx]\displaystyle\int_{\Omega}(\varphi \circ{f} )d\mu\geq{\displaystyle\int_{\Omega}\varphi(\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu)d\mu+ \displaystyle\int_\Omega\beta(f(x)-\displaystyle\int_{\Omega}f d\mu})d\mu[/texx]

Ahora, no estoy seguro de cómo resolver el lado derecho, sé que estoy dejando pasar la hipótesis de que [texx]\mu(\Omega)=1[/texx] y debo usarla ahora, mientras que el segundo término debe ser cero, pero no logro verlo. Gracias de antemano.

Tienes:

[texx]\varphi(f(x))\leq \varphi(t)-\beta(f(x)-t)[/texx]   (2)

donde, ojo, [texx]\varphi(t),\beta,t[/texx] son constantes.

Entonces:

[texx]\displaystyle\int_{\Omega}\varphi(t)d\mu=\varphi(t)\mu(\Omega)=\varphi(t)[/texx]

[texx]\displaystyle\int_{\Omega}\beta f(x)d\mu=\beta \displaystyle\int_{\Omega}f(x)d\mu=\beta t[/texx]

[texx]\displaystyle\int_{\Omega}\beta td\mu=\beta t \mu(\Omega)=\beta t[/texx]

Aplicando estas integrales en (2) obtienes la desigualdad de Jensen.

Saludos.
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Renan
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« Respuesta #2 : 02/03/2016, 06:22:45 pm »

Más claro imposible, el_manco. Muchísimas gracias. Una última duda, ¿Qué pasará entonces con la hipótesis [texx]f \in L^1(\mu)[/texx]?. Por definición implica que [texx]\int_\Omega |f| d\mu <\infty,[/texx] que era lo que intenté usar en mi primera duda.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 03/03/2016, 06:44:33 am »

Hola

¿Qué pasará entonces con la hipótesis [texx]f \in L^1(\mu)[/texx]?. Por definición implica que [texx]\int_\Omega |f| d\mu <\infty,[/texx] que era lo que intenté usar en mi primera duda.

Esa condición se exige para poder garantizar que la función [texx]f[/texx] sea Lebesgue integrable. En otro caso no se puede calcular su integral.

Saludos.
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Renan
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« Respuesta #4 : 06/03/2016, 09:12:33 am »

Muchas gracias.

Saludos.
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