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Autor Tema: Anatomía-II de los Números Primos. Una Factorización Estructural.  (Leído 14688 veces)
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Víctor Luis
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« Respuesta #160 : 23/04/2016, 03:58:29 am »

Buenos Días Feriva...



Cita
Lo que es necesario es que admitas que hay un múltiplo al menos de todos los de abajo, sea ocupando un lugar o varios; eso es lo fundamental; hasta que no admitas eso no puedo seguir:sorprendido:   :sonrisa_amplia:

Cita
Los números de (n,2n) sólo pueden ser múltiplos de los de (0,n); y eso sí recuerdo que lo admitiste.

Además, por lo dicho, entre ellos tiene que haber al menos un múltiplo de (n−1), de  (n−2)... de todos; pero no tienen por qué ocupar el mismo lugar si no quieres, esto lo eliges tú (todo lo vas a elegir tú)

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○ El Postulado de Bertrand es la segunda pasión matemática que tienes, que por lo visto es porque se relaciona con tu principal obseción matemática... la conjetura Fuerte de Goldbach...


* No puedo admitir lo inadmitidble y por lo tanto, no pude haber admitido que los naturales de (0,n) "todo" encuentran un múltiplo en los naturales de (n,2n).
→ Para esto, veamos un rango mas grandecito, porque cuando se trata de primos, los criterios obtenidos de analizar pocos datos, por lo general resultan inconsistentes... lo digo por pura experiencia...

Siendo el rango [texx]2n=50[/texx] con [texx]n=25[/texx] se conforman los intervalos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] respectivamente:

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}

B={26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49}

Denominaremos como [texx]a[/texx] a los naturales del intervalo (0,n) considerándolos como "divisores" de acuerdo al criterio tuyo que quieres que admita y serán [texx]b[/texx] los naturales del intervalo (n,2n) considerados como "compuestos" ó "probables compuestos".

* De acuerdo a esto, cuando dices que los divisores [texx]a[/texx] expresados como [texx](n-1), (n-2),...[/texx] "todos" llegan a tener por lo menos un múltiplo [texx]b[/texx] en (n,2n) es una generalización inapropiada... veamos el por qué...
→ En el intervalo (n,2n) "TODOS" los naturales pares, son divisibles entre entre los divisores [texx]a[/texx] desde [texx]a_{\displaystyle\frac{n}{2}}[/texx] hasta [texx]a_{n-1}[/texx] algo que se cumple sin excepción alguna para todo centro de rango [texx]n[/texx] sea este par ó impar.(Teorema-1)

* Con esto, en el intervalo (n,2n) solo nos quedan naturales [texx]b[/texx] siendo "TODOS" Impares. (Teorema-2)
→ Siendo asi... que espero se dé alguna refutación o contradicción a los teoremas enunciados, pues tomo criterios innegables hasta por mi propia persona...

* Como decíamos, solo los divisores [texx]a[/texx] que son [texx](n-1), (n-2),...,(n-\displaystyle\frac{n}{2})[/texx] tienen un múltiplo si y solo si, en los naturales del intervalo (n,2n) mismos que son "pares" y hasta ahi, llego la divisibilidad directa, constante y parasiempre de los naturales [texx]a[/texx] por haber fraccionado el rango en dos partes.
→ El criterio para afirmar o negar que los naturales [texx]b[/texx] impares que quedan son todos compuestos, todos primos ó una mezcla no proporcional ni constante de ambos, debe ser otro, al que encontramos se dá para los [texx]b[/texx] pares, donde si partimos de [texx]a=(n-1)[/texx] al llegar a [texx]a=2[/texx] este no tendría múltiplos que determinar como suyos, siendo lo mismo si partimos de [texx]a=2[/texx] tendremos que [texx]a=(n-1)[/texx] no tiene un múltiplo [texx]b[/texx] que sea propio y validar la generalización que se quiere que uno admita.

* Como decíamos, el criterio para los naturales impares [texx]b[/texx] debe ser otro, no correspondiendo a una potencia, a una divisibilidad entre los [texx]a[/texx] que aún no actuaron como divisores, porque con esto, estaríamos entrando al simple enfoque de [texx]Divisibilidad=Primalidad[/texx] lo que [texx]Falso[/texx].
→ Simplemente son "proporciones" que se dan respecto al rango, donde por ejemplo si queremos saber qué divisores [texx]a[/texx] tendrán dos múltiplos [texx]b[/texx] dividimos [texx]\displaystyle\frac{2n}{4}=\displaystyle\frac{50}{4}=12,5[/texx] indicándonos que hasta [texx]a=12[/texx] se garantiza que estos tendrán si y siempre si, cuatro múltiplos en el rango y dos múltiplos en el intervalo (n,2n)... pues veamos:

Múltiplos de 12= {12,24} (n) {36,48}   ("cabal casero...")

* El problema surge, cuando queremos saber los múltiplos que tendrá por ejemplo el primo 7, claro que tendrá [texx]\displaystyle\frac{50}{7}=7[/texx] múltipos en el rango, pero cuántos tendrá en (n,2n) para sacar un criterio y poder generalizarlo a los demas primos [texx]a[/texx] ? ... Veamos:

Múltiplos de 7= {7,14,21} (n) {28,35,42,49}

→ Otra es la situación por ejemplo para el primo 5 el cual tiene [texx]\displaystyle\frac{50}{5}=10[/texx] múltiplos en el rango y 5 en cada intervalo... veamos:

Múltiplos de 5= {5,10,15,20} (n) {30,35,40,45}

Pues no tiene cinco múltiplos en cada intervalo, pero con esto:

Múltiplos de 5= {5,10,15,20,25} ( ) {30,35,40,45,50}

Ahora si...    Pero todo esto, podemos resumirlo en un solo criterio y generalizarlo para que se cumpla en todo rango dado ?

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« Respuesta #161 : 23/04/2016, 09:15:27 am »

Hola, Víctor, buenos días.

Viendo que lo que más te interesa es el método para calcular la cantidad de primos, hoy voy hablarte de cómo empezaron mis reflexiones sobre esto.

Yo no pensé directamente en dividir el intervalo entre 2, 3... y así sucesivamente; mi forma inicial de verlo fue práctica, con ejemplos, y luego deduje (enseguida, claro) lo de dividir el intervalo entre los primos y llegué a lo que era prácticamente el método de inclusión que ya existía (con la peculiaridad de que lo hacía como lo hago, para el intervalo (n,2n) y partiendo de los múltiplos que podía formar en (0,n) ) pues mi cabeza estaba entonces en la conjetura de Goldbach y en la suma de esos simétricos (el postulado lo daba por bueno, como siempre lo he dado, porque sabía de sus demostraciones).

Me di cuenta de que multiplicando desde por 2 [texx](n-1)[/texx] hasta la mitad obtenía todos los pares de [texx](n,2n)[/texx]. La idea siguiente fue inmediata, me dije “cuando llegue a un (n-k) que multiplicado por 2 sea igual o menor que [texx]n[/texx], entonces ya no hay más pares y ese (n-k) multiplicado por 3 tendrá que entrar; y podré seguir así hasta que se acabe:


[texx](0){\color{blue}1,2,3,4,5,6},(7),8,9,10,11,12,13,(14)
 [/texx]

[texx]2*{\color{blue}6}
 [/texx]

[texx]2*{\color{blue}5}
 [/texx]

[texx]2*{\color{blue}4}
 [/texx]

[texx]2*{\color{blue}3}<n=7
 [/texx] entonces

[texx]3*{\color{blue}3}=9
 [/texx]

[texx]3*{\color{blue}2}<n=7
 [/texx] entonces

[texx]5*{\color{blue}2}=10
 [/texx]

[texx]5*{\color{blue}1}<n
 [/texx] entonces

[texx]7*{\color{blue}1}=n
 [/texx] entonces

[texx]11*{\color{blue}1}
 [/texx]

[texx]13*{\color{blue}1}
 [/texx]

Y ahí me distraje de Goldbach porque vi el argumento para justificar Bertrand.

Me dije que si todos fueran compuestos, haciendo esto (multiplicando por 2, por 3... todos los (n-1) números ) me tendría que dar exactamente (n-1)  compuestos al realizar (n-1 productos); en la práctica, claro, no pasaba nunca y sabía que no iba a pasar, que iba a haber siempre repeticiones, que iban a salir más números; lo cual era imposible.

Seguí analizando y vi cosas que se producen, como el hecho de que antes de que se acabe el multiplicar por 2,  normalmente, a partir de algún número, ya se puede empezar a multiplicar esos números no sólo por 2, sino también por 3 o incluso por otros, dependiendo de la cantidad de lo grande que sea “n”.

 Esto significaba una superabundancia de productos (que se traducen en compuestos) que superaban muchísimo y cada vez más la cantidad obligada de lugares (plazas posibles) (n-1).

 Por poner un caso sobre lo dicho, ahí en el ejemplo tenemos [texx](2*5)[/texx] y también cabe [texx]3*5[/texx]; y esto pese a que sigue entrando en [texx](n,2n)[/texx] el siguiente multiplicado por 2; o sea [texx](2*4)[/texx].



Además, por supuesto, hice mis cuentas.

Si llegados a un número [texx](n-k)[/texx] que ya no cabe multiplicado por 2, por quedarse pequeño, y al multiplicarlo por 3, tampoco cabe por ser mayor que 2n, querrá decir que no existen múltiplos de ese número en el siguiente intervalo; puesto que si lo multiplico por uno mayor que 3, también será mayor que [texx]2n[/texx]. Ese caso, naturalmente, no existe:

Si tenemos

[texx](0),1,(2),3,(4)[/texx] tres no pertenece a (0,n) sino a (n,2n).

Si tenemos

[texx](0),1,2,(3),4,5,(6)[/texx] tres no pertenece a ningún intervalo.

Si tenemos

[texx](0),1,2,3,(4),5,6,7(8)[/texx] entonces, lógicamente, al menos tenemos el doble del primo, como pasará con cualquier primo.




Por tanto, nada impide llevar a cabo el procedimiento; podemos ir multiplicando ordenadamente desde el más grande, que es el número [texx](n-1)[/texx], para obtener todos los múltiplos de [texx](n,2n)[/texx].

Y, como ya se ha visto, habrá algunos que nos saldrán “montados” que se podrán multiplicar por dos o más números de manera que sean mayores que “n” y menores “2n”, que pueden ser repeticiones o distintos...  Pase lo que pase, antes de seguir analizando, una cosa debe quedar calara y hay que recalcarla: es completamente imposible que quepan más de (n-1) productos distintos en el otro intervalo, como mucho cabrán (n-1) compuestos.

En ese entonces, cuando estuve investigando esto, definí sobre la marcha (para mí, para entenderme yo) algo que llamé “pasos atrás”; es lo que sigue:

Más o menos es lo que ya he dicho; cuando vamos multiplicando por un primo en el proceso que he descrito y, en el último (n-k) que se puede multiplicar por ese primo, resulta que se puede también multiplicar por el siguiente primo más grande, es un paso atrás.

 Si, además de eso, se puede multiplicar el anterior a ese (n-k) también por dicho siguiente primo, entonces son dos pasos atrás; o sea:

 [texx](0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(17),18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,(34)
 [/texx]

Ahí vamos multiplicando por 2, cuando llegamos a 9 tenemos 18 (y 2 por 8 no entra). Entonces [texx]3*9=27[/texx] también entra; esto es un paso atrás. Y también entra 3 por el anterior, o sea [texx]3*10=30[/texx], ya tenemos dos pasos atrás.

Cada paso atrás incrementa el número de lugares excediendo a los (n-1) lugares obligatorios.

Llegados a un número donde encontramos pasos atrás, éstos pueden ser repeticiones o múltiplos “nuevos”, diferentes respecto de los colocados en ese momento del proceso (piensa siempre que estamos rellenando con compuestos el intervalo (n,2n) ésa es la idea ).

Así que supongo que lo verás claro si has leído atentamente: para que no se cumpliera Bertrand, la cantidad de repeticiones se debería compensar en igual número con la cantidad de múltiplos diferentes (atendiendo sólo a lo que ocurre en los pasos atrás) se deberían neutralizar, ya que, si no, habría más de [texx](n-1)[/texx] compuestos en [texx](n,2n)[/texx], que no caben, obviamente.

En el ejemplo vemos cómo el primer paso atrás nos da un múltiplo que hasta ese momento no teníamos (27) pero el segundo paso atrás nos da un número repetido; porque es un par, 30, que ya los tenemos. 

Supongamos que, después de haber multiplicado todos por 3 hasta su cota mínima, aparecen tres pasos atrás; al menos uno de esos pasos será múltiplo de 2 y supondrá una repetición (son tres multiplicandos consecutivos). Si tengo cuatro, al menos tendré dos pares.

Y esto será así siempre, la mitad (o la mitad menos 1) de los pasos atrás son pares y, por tanto, repeticiones.

Con los múltiplos de 3 ocurrirá similarmente: si tengo tres, uno será múltiplo de 3, si tengo 6, dos (al menos) será múltiplo de 3...

Imagina entonces que tenemos 251 pasos atrás llegados a un número. Al menos 125 pasos son pares y, por tanto, 125 repeticiones.
Como [texx]125>6[/texx] tenemos dos múltiplos seguros de 3 (tenemos muchos más evidentemente); la mitad pares y otros impares. Los múltiplos de tres pares son réplicas de otras repeticiones, pero los impares, no, y con sólo uno de ellos neutralizamos ese paso atrás que podría dar un compuesto que fuera “nuevo”; el resto sería un exceso de repeticiones : :rodando_los_ojos:

Como ves, es fácil acotar para asegurar que, a partir de un cierto número de pasos atrás, habrá más repeticiones que números nuevos; y esto  simplemente atendiendo a los múltiplos de 2 y de 3 y al principio del palomar, que dice, por ejemplo, que en 6 números ya hay dos múltiplos de 3.

A partir de aquí yo me dije como tú con otras cosas, “es enormemente trivial que se cumple Bertrand”, pues no se puede meter un elefante en una caja de zapatos. Pero ciertas cosas sólo resultan triviales para quién pasa muchas horas, días, semanas, meses o años, analizándolas; y luego no es fácil contárselas a los demás si no se consigue sintetizar bien eso en una demostración formal (y otra cuestión está en que yo, o quién intente la demostración,  conozca todas las herramientas y métodos necesarios para poner esa prueba solfa de forma concisa; y que, por otra parte, conozca también esos métodos la persona a la que vaya dirigida la explicación).

Vamos a lo que te interesa: ¿Cómo usar esos pasos atrás para contar los primos de (n,2n)? Pues ya te he contado mil veces a dónde llegué: a “inventar” el método de inclusión;  pero es muy tedioso y requiere conocer todos los primos de (0,n) previamente ¿Se podría hacer más rápido?

Se haga como se haga, la cuestión será siempre la misma; contar esos “pasos atrás”, es decir, ver cuántos de ellos son números nuevos y restárselos a las repeticiones; las repeticiones que queden son lugares sin cubrir y, por tanto, supone la cantidad de primos. No parece que haya un método “corto” que cuente con exactitud los primos; precisamente porque con esto sí sabemos qué es lo que regula la entrada de los primos; si no lo supiéramos, implicaría no poder estimar la pesadez de los métodos posibles.



Cita
podría admitir el Teorema que quieres que admita

Que no se trata de eso, no me paga nadie porque me des la razón :sonrisa: Simplemente te cuento, tú quédate con lo que quieras.

Un cordial saludo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #162 : 24/04/2016, 07:16:09 am »

Buenos Días Feriva...



Cita
Además, por supuesto, hice mis cuentas.

Si llegados a un número [texx](n-k)[/texx] que ya no cabe multiplicado por 2, por quedarse pequeño, y al multiplicarlo por 3, tampoco cabe por ser mayor que 2n, querrá decir que no existen múltiplos de ese número en el siguiente intervalo; puesto que si lo multiplico por uno mayor que 3, también será mayor que 2n. Ese caso, naturalmente, no existe:

Si tenemos

(0),1,(2),3,(4) tres no pertenece a (0,n) sino a (n,2n).

Si tenemos

(0),1,2,(3),4,5,(6) tres no pertenece a ningún intervalo.

Si tenemos

(0),1,2,3,(4),5,6,7(8) entonces, lógicamente, al menos tenemos el doble del primo, como pasará con cualquier primo.

○ Una OBSERVACION. Para tu análisis, debes partir desde [texx]n=4[/texx] es decir desde el rango [texx]2n=8[/texx] puesto que Bertrand nos dice: desde un natural [texx]n>3[/texx]

* Ahora, los naturales de (0,n) desde [texx](n-1),(n-2),...[/texx] hasta [texx](n-\displaystyle\frac{n}{2})[/texx] "siempre" tendrán "un solo múltiplo" en (n,2n)
→ Diremos que [texx]n_{2}=\displaystyle\frac{n}{2}[/texx] donde si [texx]n=Impar[/texx] como en nuestro ejemplo tenemos que [texx]n_{2}=\displaystyle\frac{25}{2}=12,5[/texx] no es una división exacta, por lo que [texx]n_{2}=13[/texx] ya que con [texx]n_{2}=12[/texx] tenemos [texx]12\cdot{}2=24[/texx] que es menor a [texx]n[/texx]

◘ Reiterando decimos y afirmamos lo siguiente:

Teorema-1. Los naturales del intervalo (0,n) siendo [texx]n_{1}=n-1[/texx] y [texx]n_{2}=\displaystyle\frac{n}{2}[/texx] desde [texx](n-n_{1})[/texx] hasta [texx](n-n_{2})[/texx] "siempre" tendrán de 1 a 2 y "nunca" mas, múltiplos en (n,2n). Por consiguiente, siendo [texx]n_{3}=\displaystyle\frac{n}{3}[/texx] los naturales del intervalo (0,n) desde [texx](n-n_{2})[/texx] hasta [texx](n-n_{3})[/texx] "siempre" tendrán de 2 a 3 y "nunca" mas, múltiplos en (n,2n) y asi, con las proporciones [texx]n_{k}=\displaystyle\frac{n}{k}[/texx] hasta [texx]k>2[/texx] dado que el rango fue fraccionado en dos intervalos.

* Entonces, no podemos pensar que si hasta [texx](n-n_{2})[/texx] se dieron múltiplos en (n,2n) multiplicando por 2, donde [texx](n-n_{2})-1[/texx] es menor a [texx]n[/texx] que multiplicado por 3 no tendrá múltiplos en (n,2n) considerándose que este sería [texx]>2n[/texx]... esto no es así.
→ El ultimo natural [texx]a[/texx] de (0,n) que multiplicado por 2 este compuesto-múltiplo esté en (n,2n) para decir que solo tiene 1 múltiplo en (n,2n) será hasta [texx]a_{2}=\displaystyle\frac{2n}{3}[/texx] donde [texx](n-n_{2}) < a_{2}[/texx] ya que a partir de [texx]a_{2}-1[/texx] multiplicado por 2 conformará un múltiplo par [texx]m_{2}=a_{2}-1 \cdot{}2[/texx] que estará en (n,2n) y multiplicado por 3 conformará [texx]m_{3}=a_{2}-1\cdot{}3[/texx] que también estará en el intervalo (n,2n)


Cita
Por tanto, nada impide llevar a cabo el procedimiento; podemos ir multiplicando ordenadamente desde el más grande, que es el número [texx](n-1)[/texx], para obtener todos los múltiplos de [texx](n,2n)[/texx].

Y, como ya se ha visto, habrá algunos que nos saldrán “montados” que se podrán multiplicar por dos o más números de manera que sean mayores que “n” y menores “2n”, que pueden ser repeticiones o distintos...  Pase lo que pase, antes de seguir analizando, una cosa debe quedar calara y hay que recalcarla: es completamente imposible que quepan más de (n-1) productos distintos en el otro intervalo, como mucho cabrán (n-1) compuestos.

• Es claro que nada impide que lleves a cabo tu procedimiento con tu criterio metodológico de «PASOS ATRAS»... Pero no es tan asi de cierto el enunciado de tu afirmación.

* Cuando dices que como mucho cabrán (n-1) compuestos en el intervalo (n,2n) es totalmente cierto, ya que ambos intervalos tienen la misma cantidad (n-1) de "naturales", no ateviéndome a decir hasta aquí que todos los naturales impares de (n,2n) sean compuestos, donde para [texx]n=4[/texx] en (n,2n) tenemos los naturales impares:

 (4) {5,7} (8)   siendo todos "primos"

→ Es por eso, que para que las reglas, lemas ó teoremas sean siempre validas, en mi criterio personal, para el analisis, no se deben considerar a los naturales pares del intervalo (n,2n) por el simple hecho de que los primos no se dan en "naturales pares" y por solo solidaridad, al no encontrar un natural aparte de 1 que divida ó no divida al 2, se lo considera como Sprimo, lo digo, porque en si lo que nos interesa, es saber si en (n,2n) se darán siempre primos ó por lo menos uno para un [texx]n[/texx] muy grande y por lo menos uno también para un [texx]n[/texx] muy muy grande ó extraordinariamente grande respecto al anterior, que es lo que nos asegura el Postulado de Bertrand... verdad?

* Los [texx]cp[/texx] "Cantidad de Pasos atrás" que se vayan dando, no es indicativo directo y proporcional de repeticiones de múltiplos y/o múltiplos no repetidos. Mira que ahora, estamos analizando los mismos compuestos, donde tú les das otras denominaciones, que en sí son las mismas que desde hace tiempo ya te las comenté, donde los múltiplos no repetidos son los [texx]mp[/texx] "Múltiplos Propios" es decir un compuesto, donde solo tiene dos divisores primos, algo que nos gustaría se diera siempre; pero sucede que se dan múltiplos repetidos que son los [texx]mc[/texx] "Múltiplos Comunes" debido a que mas de dos primos llegan a dividirlos exactamente.
→ Si [texx]m[/texx] es un natural compuesto donde [texx]p | m[/texx] y [texx]q | m[/texx] comprendemos que [texx]p\cdot{}q=m[/texx].
  Por otra parte si [texx]p | m[/texx], [texx]q | m[/texx] y [texx]r | m[/texx] comprendemos que [texx]p\cdot{}q\cdot{}r=m[/texx] el producto de tres primos, donde por la propiedad asociativa tenemos que [texx](p\cdot{}q)r=m[/texx] donde [texx]m_{1}=p\cdot{}q[/texx] resultando que [texx]m_{1}\cdot{}r=m[/texx] es el producto de un compuesto por un primo, por lo que el TFA nos dice que cada natural compuesto, tiene una descomposición única en factores primos; pero cuando [texx]m=p\cdot{}q\cdot{}p[/texx] se lo toma como [texx]m=p^{2}\cdot{}q[/texx] para no contradecir al TFA solo en la parte que dice en factores "primos" ya que [texx]m_{1}=p\cdot{}p[/texx] es "compuesto" no ajustándose al enunciado del TFA, que en lo personal, esto es ridículo, ya que no trae consigo nada beneficioso, debido a que a partir de [texx]m_{1}[/texx] se desencadena una generacion y/o conformación de los que llamas múltiplos repetidos y sin la consideración de estos "Factores Divisores" como acostumbro referirme, no podemos estimar la cantidad exacta de múltiplos no repetidos que es lo que nos interesa saber, para luego concebir si en verdad en (n,2n) siempre se dará por lo menos un primo.

• Para que comprendieras esto, te expliqué la metodología para determinar la cantidad de primos en un rango y luego te di la tarea, que con mucho respeto, diré que no la hiciste,esta del enlace o link.

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=86938.140

* Observarás que un criterio simple, no determina la cantidad de múltiplos repetidos que se darán en (n,2n) lo digo para tener una determinación exacta y en base a esto sacar un criterio y conformar un Teorema conciso y contundente, algo irrefutable por Feriva o por el cabezota de Victor Luis.
→ Si consigues ajustar la metodología para el Rango(500) pruébalo en rangos mayores a este y encontrarás que volverá a fallar, no en el rango siguiente a 500 sino en otro mayor, donde el ajuste que hagas, puede que sea el definitivo, para concebir como es que se van dando los múltiplos repetidos y los múltiplos multi-repetidos que ya encontrarás en el Rango(500), donde comprenderás que tu actual criterio sobre estos múltiplos repetidos es unidimensional, siendo en realidad primero bidimensionales, luego tri, tetra,... "n"-dimensionales que se puede simplificar esto a algo tridimensional para cualquier Rango dado.

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« Respuesta #163 : 24/04/2016, 08:13:16 am »



Buenos días, Víctor Luis.

Cita
 Para tu análisis, debes partir desde n=4 es decir desde el rango 2n=8 puesto que Bertrand nos dice: desde un natural n>3

No, en Wikipedia está mal; mira

[texx](0),1,2,(3),4,5,(6)[/texx]

Ya hay un primo.

[texx](0),1,(2),3(4)[/texx]

con n=2; 2n=4 también hay un primo en (n,2n)

Con “n=1” no hay números en medio, así no puede haber ni primos ni compuestos ni nada:

n=1; 2n=2

[texx](0),(1),(2)[/texx]

Luego la condición es [texx]n>1[/texx]

Mira aquí, en Gaussianos, por ejemplo, que está escrito por un matemático:

http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/

Dice “dado “n” un natural mayor que 1...”
...

Veámos mejor esto:

Yo te recomiendo que lo pienses así

[texx](0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(17),18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,(34)
 [/texx]

Los coloco por orden, los pares juntos, luego los de 3... etc., así:

[texx](17){\color{blue}13}*2;{\color{blue}11}*2;{\color{blue}7}*3;{\color{blue}5}*4;{\color{blue}5}*5;{\color{blue}3}*6;{\color{blue}3}*7;{\color{blue}3}*8;{\color{blue}2}*9;{\color{blue}2}*10;{\color{blue}2}*11;{\color{blue}2}*12;{\color{blue}2}*13;{\color{blue}2}*14;{\color{blue}2}*15;{\color{blue}2}*16
 [/texx]

Ahí hay [texx](n-1)[/texx] números, no puede haber más, pero hay repeticiones y números nuevos, o siempre puede haberlos.

Cada repetición quitamos 1 lugar, cada número nuevo ponemos uno; y si hay uno de cada se queda como está, quiero decir en cuanto a cantidad.

 Al final hay [texx](n-2)[/texx] números, porque por el 1 no podemos multiplicar un número de [texx](0,n)[/texx] de manera que no se dé uno de los del otro intervalo; luego esto admite, como ves, un número “extra”, admite que haya un compuesto “más” de los que ponemos ahí por “productos obligatorios”; pero sólo uno, porque tenemos 15 lugares ocupados (suponiendo que se han neutralizado las repeticiones y no quedan huecos). Y quien dice “15 lugares” dice en general “n-2”. Ésta es la situación límite, si no, dime cómo podría ser de otra forma.

Así pues, queda claro, creo: iniciamos el proceso desde [texx](2*16)[/texx] o el número que sea según el intervalo. Si sale una repetición, obligatoriamente ha de ser compensada; y así seguimos con las que salgan.

Pero antes de llegar al final, por fuerza (si queremos que no haya más que compuestos) los números nuevos tendrán que ganar a las repeticiones justamente por una “cabeza” en esa carrera de caballos.

Imaginamos que hemos llegado al 2, antes del 1, y sólo nos quedan dos lugares posibles para meter dos compuestos si se puede.

Pero al llegar al dos, sea cual sea el primo por el que toque multiplicar, el número es par y tenemos un múltiplo repetido que cancelará esa ventaja de un número nuevo en caso de que se halla producido antes.

Luego, en principio, no se ha podido producir antes, tiene que ocurrir que al llegar a 2 haya pasos atrás de manera que los números nuevos superen justamente en 1 (imposible que sea en 1 más) a las repeticiones.

Sin embargo, la mitad de los pasos atrás son pares, repeticiones, la mitad de la tercera parte de los pasos atrás, también son repeticiones, la sexta parte de la quinta parte (o sea, los múltiplos de 5 que también sean de 2 y 3) también...

Es decir, si hay un paso atrás, es par, repetición, si hay dos, puede cancelarse y no consigue el que le falta (no puede, porque ese paso atrás es “por 3”, pero bueno) al siguiente entra otro par... es decir, cuando en el producto entra un par, los pasos atrás se cancelan o hay más repeticiones.

Pero aún puede pasar una cosa (como ves no puedes quejarte, siempre voy poniendo pegas para que no pueda entrar un primo, todas las que se me vienen a la cabeza).

Puede traer un exceso de repeticiones tal que alguna se cancele en el 2 quedando uno de más.

La primera vez que multiplicamos por 2, es par, el primer paso atrás es multiplicando por otro número sobre el propio 2 (un primo más grande) el segundo paso atrás ya si puede ser... siempre que no sea mútliplo de 3, de 5, de 7, de 1... de todos los que hayamos usando; pero los hemos usado, luego tendrá que ser múltiplo del último primo o, al menos, del penúltimo primo por el que íbamos multiplicando.

Entonces habría dos múltiplos de ese primo grande (mayor que n/2) en (n,2n).

y serían [texx]2P[/texx] y [texx]3P[/texx]; aún así, son múltiplos de 2 y 3, repeticiones.

El siguiente paso atrás sería multiplicar ese “P” por cuatro, par, repetición. Y el siguiente por 5; pero como “P” es mayor que “n/2”, con una simple igualdad vemos que es mayor que “2n” al multiplicarlo por 5, no puede ser; así que, aparte de que el 5 sea repetición también, ya hemos terminado la consideración.

Conclusión (a no ser que veas una escapatoria, que lo veo difícil) existe siempre al menos un primo en (0,n).

Si consideras que entre “n/2” y “n” pueda no haber primos, esto nos lleva fácilmente a una demostración por reducción al absurdo. Pues estamos considerando la primera vez que pasa eso en un intervalo (n,2n), como es la primera vez, es absurdo que pase antes.

Cita
Es por eso, que para que las reglas, lemas ó teoremas sean siempre validas, en mi criterio personal, para el analisis, no se deben considerar a los naturales pares del intervalo (n,2n)

Como ves, los pares, al ser los más densos de los múltiplos (quitando los múltiplos de 1) son los que me garantizan que al menos la mitad o la mitad menos 1 son repeticiones; argumento esencial, entre otros, para la demostración metodológica (que, de no encontrar más pegas posibles en lo sucesivo, no dejaría de ser una demostración segura).

Un cordial saludo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #164 : 24/04/2016, 12:12:57 pm »

Buenas Tardes Feriva...



Cita
(0),1,(2),3(4)

con n=2; 2n=4 también hay un primo en (n,2n)

• Yo no veo a ningún primo en (n,2n)... por qué ?

La sabiduría de Bertrand lo dice claramente, entre [texx]n[/texx] hasta [texx]2n-2[/texx] donde si [texx]n=2[/texx] tendríamos el intervalo [texx](2,2)[/texx]... ves tú a algún primo en este intervalo?

Si fuera [texx]n=3[/texx] tendríamos el intervalo [texx](3,4)[/texx] y es que aquí también ves acaso a algún primo en el intervalo?... quién será... quizás el 3,5 ?

Ya con [texx]n=4[/texx] la cosa cambia, y es claro que en el intervalo [texx](4,6)[/texx] encontramos al natural 5 que es primo.



Cita
Puede traer un exceso de repeticiones tal que alguna se cancele en el 2 quedando uno de más.

La primera vez que multiplicamos por 2, es par, el primer paso atrás es multiplicando por otro número sobre el propio 2 (un primo más grande) el segundo paso atrás ya si puede ser... siempre que no sea mútliplo de 3, de 5, de 7, de 1... de todos los que hayamos usando; pero los hemos usado, luego tendrá que ser múltiplo del último primo o, al menos, del penúltimo primo por el que íbamos multiplicando.

Cita
Conclusión (a no ser que veas una escapatoria, que lo veo difícil) existe siempre al menos un primo en (0,n)  .

• Acaso no estábamos analizando que se diera al menos un primo en (n,2n) ?

* En fin, como te dije, si tu metodología de pasos atras funciona y correctamente, pruébalo determinando los primos que se dan en el Rango(500) que es lo mas simple, para obtener un criterio inicial sobre las repeticiones de múltiplos que se van y se irán dando.
→ Verás que luego, sacarás un criterio mas claro sobre esto, tan claro que la determinación de repeticiones no es muy muy extensa, que es lo que se observa al principio ó eso me pareció a mi... lo importante para decirte que evalues este rango, es para que comprendas que las repeticiones no se dan secuenciales como lo ves tu, es decir desde [texx](n-1),(n-2),... [/texx] que llegarían hasta 2 y no pudiendo ser hasta 1... pues te repito que núnca llegará a ser [texx](n-k)=2[/texx] ya que el intervalo se fraccion+o en "dos" partes y desde [texx](n-1)[/texx] hasta [texx](n-n_{2})[/texx] "todos" estos naturales del intervalo (0,n) cancelan a "todos" los naturales pares múltiplos de 2 dados en el intervalo (n,2n) no habiendo luego "ningún" natural a que luego el 2 haga referencia... Pero tu insistes en ello y pues dime si hay primos (aparte del Sprimo 2) que sean naturales pares... Si los hubiera, por favor, quisiera conocerlos... Si no los hay, entonces: Qué sentido tiene cancelar y analizar los naturales pares del intervalo (n,2n) ?




Saludos...
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« Respuesta #165 : 24/04/2016, 03:35:06 pm »




Hola, Víctor buenas tardes.


Antes de nada, lo que decía al final, no lo justifica; de repente me he puse a pensar al revés lo que consideraba, exceso de números nuevos contrarrestados por posibles repeticiones; el enfoque ha de ser otro, pero basado en lo mismo, ya seguiré.

Cita
Yo no veo a ningún primo en (n,2n)... por qué ?

No pienso contestar más este tipo de respuestas, no llevan a nada, Víctor Luis.


Cita

* En fin, como te dije, si tu metodología de pasos atras funciona y correctamente, pruébalo determinando los primos que se dan en el Rango(500)


Y me muero antes de terminar, que ya empiezo a ser más mayor de la cuenta :sonrisa:

Lo que digo vale para 500 y para el número que quieras, no está basado en una particularidad, lo pongo con un ejemplo para que sea más fácil de ver y más cómodo de escribir.

Cita
Verás que luego, sacarás un criterio mas claro sobre esto... Qué sentido tiene cancelar y analizar los naturales pares del intervalo (n,2n) ?


Yo no busco primos, olvídate de los primos, busco compuestos, y los pares son compuestos; estás confundiendo mi objetivo con el tuyo.

A lo que quiero llegar es a ver si cabe una cantidad (n-1) de compuestos en (n,2n); los primos no me importan ahora especialmente.

Tengo que considerar los pares porque son compuestos y llenan, ni más ni menos, que la mitad del intervalo; y dan lugar a condiciones relacionadas sobre si pueden entrar más o menos compuestos.

Cita
lo importante para decirte que evalues este rango, es para que comprendas que las repeticiones no se dan secuenciales como lo ves tú

No, yo no veo eso así ni me importa cómo se den, hago unas suposiciones sobre, si se dan, qué es lo que va pasando; no digo que siempre existan pasos hacia atrás ni nada, simplemente considero cosas que pueden pasar, y lo que estoy considerando es que se llene todo el intervalo de compuestos; en mi cabeza cuando pienso estas cosas no hay números particulares; salvo los que son siempre ésos; por ejemplo, si empiezo por el principio de (0,n) pues sé que ahí está siempre el 2 el 2, y sea el rango 500 o un cuatrillón.

Ocurre que tiene que haber, por lo dicho, por muchas cosas dichas, un [texx]a(n-k)[/texx] que se multiplique otra vez por otro número, [texx]b(a(n-k))[/texx], para que se llene todo el intervalo, si no, faltará uno. Y eso es a lo que llevo dando vueltas varios días a ver cómo te lo hago ver y poder seguir con otras cosas; pero cuando voy caminado hacia ello, me sales por Peteneras que se dice aquí :sonrisa:

Saludos.
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Víctor Luis
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« Respuesta #166 : 25/04/2016, 01:18:00 am »

Buenas Feriva...



Cita
Ocurre que tiene que haber, por lo dicho, por muchas cosas dichas, un [texx]a(n-k)[/texx] que se multiplique otra vez por otro número, [texx]b(a(n-k))[/texx], para que se llene todo el intervalo, si no, faltará uno. Y eso es a lo que llevo dando vueltas varios días a ver cómo te lo hago ver y poder seguir con otras cosas; pero cuando voy caminado hacia ello, me sales por Peteneras que se dice aquí :sonrisa:

○ Solo acotar algunos criterios encontrados por si te sirven...

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


CONSIDERACION INICIAL de SALTOS de PRIMOS.


• Como ya vimos con los saltos [texx]S=60[/texx] llega un momento, donde este se repite dos veces seguidas, conformando un nuevo salto [texx]S=120[/texx]

Definición.

Siendo [texx]p_{1}[/texx] un natural primo y [texx]p_{2}[/texx] el siguiente natural primo en darse donde [texx]p_{1}<p_{2}[/texx] se comprende que los naturales entre estos primos, son todos compuestos, denominando a este hecho como "Salto" ya que para darse de un primo al siguiente, la extensión de compuestos consecutivos se irá incrementando.

Datos sobre los Saltos.

Código:
3° INTERVALO Mg: 3813620243118870 Lmt: 414

5000 PB: 16 dg t[0:6:782] 96 U.SALTO:414 48302

==> SALTO de: 574
P1: 3813620245893229
P2: 3813620245893803

10000 PB: 16 dg t[0:6:921] 264 U.SALTO:574 47858
15000 PB: 16 dg t[0:6:969] 264 U.SALTO:574 46834
20000 PB: 16 dg t[0:6:828] 264 U.SALTO:574 47309

---> TIEMPO INTERVALO... t[0:27:907]

* Buscamos saltos determinando naturales primos, en el reporte determinamos 20.000 primos para encontrar el salto [texx]S=574[/texx] a partir de un salto anterior [texx]S=414[/texx] para el [texx]Rango(10^{16})[/texx] donde no siempre encontraremos saltos en los rangos evaluados con base 10.
→ Siendo muy extenso el rango, tomamos un número al azar de 16 digitos, cualquiera, de modo que sustituyendo en primer digito de la izquierda por: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} conformamos fracciones del rango, que son los "Intervalos" a evaluar, determinando primos, siendo las distancias entre estos, los saltos, buscando uno que sea mayor al anterior encontrado.

* Para encontrar un "Salto" necesitamos dar con dos primos consecutivos, cuya diferencia sea [texx]S=p_{2}-p_{1}[/texx] por lo que determinando [texx]p_{1}[/texx] no sabemos a qué distancia de naturales se dará el siguiente primo [texx]p_{2}[/texx]
→ Un salto [texx]S_{1}[/texx] determinado, no nos lleva directa y secuencialmente a un mayor salto [texx]S_{2}[/texx] pero si a un salto que es el doble de este, lo cual se dará a una gran distancia, no regular, del primer salto, no teniendo esto, una concepción clara de cómo se irian dando los saltos.

* Una modalidad empírica empleada, es partir de una salto [texx]S_{1}[/texx] encontrado, donde determinamos [texx]p_{1}[/texx] y luego el siguiente primo [texx]p_{2}[/texx] calculando [texx]S_{2}=p_{2}-p_{1}[/texx] de modo que si [texx]S_{2} < S_{1}[/texx] determinamos [texx]p_{1}[/texx] desde [texx]p_{2}+S_{1}[/texx] y asi de forma iterativa.
→ De alguna forma, esto nos lleva a los siguientes saltos, siendo menos iterativo que tomar la distancia de salto entre primos dados en la recta numérica, con la gran deficiencia, de que primero debemos determinar [texx]p_{1}[/texx] y luego [texx]p_{2}[/texx] para evaluar la extensión del salto, que si no es mayor al esperado, al incrementar [texx]p_{2}+S_{1}[/texx] debemos volver a determinar [texx]p_{1}[/texx] para tener una referencia respecto a [texx]p_{2}[/texx]

* Una ultima modalidad implementada, fue inicialmente determinar [texx]p_{1}[/texx] y de este se conforma [texx]p_{2}=p_{1}+S[/texx] siendo [texx]S[/texx] el ultimo salto encontrado, procediendo luego a determinar primos desde [texx]p_{2}-1[/texx] hasta [texx]p_{1}+1[/texx] es decir, de mayor a menor, de modo que al darse un primo [texx]p_{3}[/texx] en el intervalo, sabemos que el salto es menor al buscado y ultimo encontrado, por lo que tomamos [texx]p_{1}=p_{3}[/texx] y con esto [texx]p_{2}=p_{1}+S[/texx] reiniciando el proceso, pero teniendo ya que [texx]p_{1}[/texx] es primo.
→ Si en el intervalo [texx](p_{1},p_{2})[/texx] no se dan primos, si [texx]p_{2}[/texx] es primo, tendremos que es la misma extensión del ultimo salto [texx]S[/texx] encontrado y si no es primo, tendremos un natural [texx]p_{4}[/texx] primo, que siendo [texx]p_{2}<p_{3}[/texx] la distancia entre primos nos dará [texx]S=p_{4}-p_{1}[/texx] un nuevo y mayor salto encontrado.


Spoiler (click para mostrar u ocultar)

○ Se muy bien que estos datos son por ahora, no tan fidedignos, por no haber determinado todos los saltos en esos Rangos; pero es de comprender, que con los primos, no debemos aplicar criterios de sucesión y/o progresión que sean regulares, lo digo, por si te sirve la sugerencia y los reportes de las evaluaciones... pero si alguien comprende y demuestra la conformación de saltos, habrá dado con la buscada Distribución de Números Primos... qué opinas tú ?



Saludos...
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« Respuesta #167 : 25/04/2016, 05:58:58 am »

Hola, Víctor, buenos días.

Cita
 Bertrand nos asegura que entre n y 2n−2 se dará por lo menos un primo


Pero de dónde has sacado esa novedad después de tanto tiempo como llevamos hablando del postulado, ¿qué pasa con el [texx]2n-1[/texx], ¿a qué viene el castigo de dejarlo fuera? Si retocamos las definiciones cada dos por tres es imposible hablar de nada e intentar a la vez llegar a algún puerto. El postulado de Bertrand dice entre “n” y “2n”, no entre “n” y “2n-2”.

Te puedo dar no un enlace, te puedo dar muchos, de universidades de todos los países, de artículos escritos por matemáticos, donde se da siempre la definición que te digo, vaya de muestra el primer PDF que encuentro  buscando en Google; la definición la da sólo empezar:

http://miscelaneamatematica.org/Misc50/5005.pdf

La Wikipedia tiene errores porque puede escribir los artículos cualquiera (yo mismo) basta hacerse usuario, y, aunque se revisan, es inevitable que a veces haya estas equivocaciones. En este caso, no como en otros, el artículo es una traducción del inglés que ya en origen contiene dicho error.

Pero hay un segundo artículo en inglés (también de la Wiki) que habla de la demostración del postulado; en este pone “n” mayor o igual a 1; también está mal, porque si es igual a 1 no existen números entre 1 y 2, es mayor, estrictamente mayor no está mal, no me había fijado, es que considera el intervalo (n,2n]

 El artículo es éste, y no hace falta saber inglés para verlo, viene en la primera línea, lo verás enseguida:

 https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate

Vale que no te fíes de mí, no me enfado por eso, pero te estoy dando documentación que avala lo que digo.

*(dentro de un ratito leo toda tu respuesta, edito, y sigo)

Aquí sigo

Cuando hay un error en un problema, el resultado final estará mal salvo casualidad. Cuando no se coincide en una definición no se puede coincidir en las conclusiones; salvo también por casualidad o salvo que esa diferencia no influya.

Recordarás una conjetura de la que el:manco me dijo que casi con toda seguridad se cumplía porque la implicaba la conjetura de Legendre

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendre

(ésa sí está bien definida en Wikipedia)

Está conjetura acorta más la distancia entre números; puedes observarlo. Así que, con casi toda seguridad, aunque aún no esté demostrada, también hay un primo hasta [texx]2n-2[/texx].

La mía era ésta: siempre hay un primo entre los productos de primos consecutivos tales que así:

[texx](p_{1}*p_{1});(p_{1}*p_{2})[/texx]

[texx](p_{2}*p_{2});(p_{2}*p_{3})[/texx]

[texx](p_{3}*p_{3});(p_{3}*p_{4}) [/texx]

[texx](p_{4}*p_{4});(p_{4}*p_{5}) [/texx]

O sea, si tomamos desde 2, sería

[texx]2*2;2*3
 [/texx]

[texx]3*3;3*5
 [/texx]

[texx]5*5;5*7
 [/texx]

...

es decir, entre estas parejas

[texx]4,6
 [/texx]

[texx]9,15
 [/texx]

[texx]25,35
 [/texx]



Sería interesante pensar cosas sobre esta conjetura y discutirlas, quizá con los dos teoremas que uso se puedan ver algunas condiciones,  pero si dudas de la otra donde los primos tienen más sitio para entrar...

Aunque no sabía de quién era esta conjetura (ya digo que fue el_manco quién me dijo que era de Legendre y me hizo ver eso) sí conocía su formulación desde hacía tanto como la de Goldbach, la de los gemelos y todas ésas, pero nunca me puse a pensar nada sobre ella porque a botepronto no sabía por dónde ir atacándola; quizá ahora sí podría valorar algo, pero antes hay que ponerse a darle vueltas; y además, pues eso, dudas de la Bertrand, mucho más evidente e intuitiva.

En cuanto al resto de lo que has escrito... pues si partes de una equivocación en la definición, tendrás que remodelar los planteamientos en cuanto a sacar conclusiones sobre Bertrand (aunque sí te sirvan para estimar otras cosas) ajustar las cosas.

Cita
 Se muy bien que estos datos son por ahora, no tan fidedignos, por no haber determinado todos los saltos en esos Rangos; pero es de comprender, que con los primos, no debemos aplicar criterios de sucesión y/o progresión que sean regulares, lo digo, por si te sirve la sugerencia y los reportes de las evaluaciones...

Eso te dije yo el primer día, recuerda, pero que los primos no se atengan siempre a un misma proporción en cuanto a distancia, no quiere decir que no se puedan sacar pequeñas conclusiones. El procedimiento que yo sigo no depende de eso, simplemente, como dije en la otra respuesta, es un método para rellenar de compuestos el intervalo (n,2n); donde me pongo en el que caso de que todos sean compuestos para buscar la manera de hacer visible para ti el absurdo que se produce.

Un cordial saludo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #168 : 28/04/2016, 08:14:18 am »

Buenos Días Feriva...



Cita
Sería interesante pensar cosas sobre esta conjetura y discutirlas, quizá con los dos teoremas que uso se puedan ver algunas condiciones,  pero si dudas de la otra donde los primos tienen más sitio para entrar...

• Sobre esa conjetura de que entre [texx]p\cdot{}p[/texx] y [texx]p\cdot{}q[/texx] donde [texx]p[/texx] es primo y [texx]q[/texx] es el siguiente primo después de [texx]p[/texx], es una extensión del Postulado de Bertrand... nada mas... algo que de hecho se cumple, porque se obian los "Saltos".

* Mira, si [texx]p[/texx] es el ultimo primo dado antes de un Salto [texx]S[/texx] donde [texx]S\geq{p}[/texx] tenemos que Bertrand no se cumple, siempre y cuando se dé en la secuencia de saltos  [texx]\{...,S,S,...\}[/texx] dos saltos juntos, algo que siempre se dará, ya que es el inicio de una nueva secuencia de saltos mucho mas grandes.
→ Ahora, como [texx]p[/texx] está exactamente antes del salto [texx]S[/texx] al tomar el intervalo [texx](p^{2},p\cdot{}q)[/texx] tendremos que [texx]q=2p+1[/texx] un primo que está fuera del salto y aunque el salto duplique, triplique ó n-plique a [texx]p[/texx] siempre tendremos un primo [texx]q[/texx] que evade el salto, dándose en el intervalo cuando menos mas de un primo, puesto que los Saltos, no eliminan a los primos, debido a que en cada Salto, siempre hay un rango generador de primos, asi como el que encontré en el Rango([texx]10^{41}[/texx]).

* La Conjetura de Legendre es algo similar a la que dices, donde entre [texx]n^{2}[/texx] y [texx](n+1)^{2}[/texx] siempre se tendría un primo, algo comprobable al principio de la recta numérica, ya que el ritmo con que se incrementan los Saltos, no es tanto asi como el cuadrado de [texx]n[/texx]
→ Pero en esto, se dan como constantes [texx](n+1)[/texx] y el cuadrado de estos, donde especulativamente, podría darse un Salto que supere este intervalo, algo que por ahora no podemos comprobar, al no tener una función contadora de primos, que ne verdad sea determinista y práctica.


CONCLUSION del POSTULADO de BERTRAND.

(Entre Feriva y Victor Luis)

◘ En esta nuestra época, no se tiene un criterio contundente que certifique este postulado y con "contundente" me refiero, a que no tenemos una concepción cabal y exacta de cómo es que los números primos se van distribuyendo a lo largo de la recta numérica, por lo que la determinación de su cantidad, en rangos grandes, no se lo puede hacer, para decir, por lo menos, que hasta cierto rango Bertrand se cumple y al aplicar criterios pseudo-axiomáticos referente a los primos, es comprensible dar con una o mas demostraciones para el mismo, donde su verificación y posterior re-validación se la podrá dar, cuando tengamos la tan ansiada Distribución de Números Primos.

◘ Si bien es muy cierto, lo que nos dice Feriva, de que los primos, al marcar como sus múltiplos en los naturales de la recta numérica, no alcanzan a cubrir a todos como compuestos, dándose "huecos" de donde surgirán y ocuparán los siguientes y nuevos naturales primos, este proceso no se lo puede resumir en una simple función; pero si en un simple algoritmo, necesitando de los primos, para cuantificar los múltiplos propios que tienen y asi determinar exactamente, cuántos primos mas se darán, lo que implica descontar los múltiplos multi-repetidos que se van dando cuanto mas grande sea el rango tomado.
   La modalidad para descontar estos compuestos multi-repetidos, si es simple, mas no sigue la proporcionalidad que nos fue explicando nuestro Amigo Feriva, pudiendo encontrar un contraejemplo que compruebe una falla en su modalidad de calculo de primos, algo que no hicimos; pero es de darse, por tomar reducciones constantes y es que no todos los primos dados hasta la raiz cuadrada del rango, tienen la posibilidad de conformar estos compuestos múlti-repetidos, algo que tampoco se ha considerado.

◘ Es evidente que los "Saltos" inevitablemente llegan a un salto doble ó dos saltos repetidos, donde si llegamos en la recta numérica a que después de un ultimo primo [texx]p[/texx] dado, se dá un salto de la extensión del primo, siendo [texx]n=p[/texx] tendremos que en (n,2n) no encontraremos un solo primo.
  También, siendo un salto [texx]S=\displaystyle\frac{p}{2}[/texx] que se dá luego de un ultimo primo, coincidiendo con que se dé un salto doble, en el intervalo (n,2n) no encontraremos un solo primo, algo no evidente por ahora, ya que como dije, no contamos con una función contadora de primos, para determinarlos en rango un poquitin algo mas grandes, puesto que hasta donde se pudo llegar, es tan solo una astronésima parte de la recta numérica, habiendo validado los criterios encontrados, como también generalizado estos.



UNA CONSULTA.


○ Siendo [texx]n=652606745862121[/texx] un natural de 15 digitos

¿ Cuáles son los criterios que denotarían la complejitud de su factorización ?

Si hasta su raiz cuadrada se dan 1.597.888 primos, la evaluación de divisibilidad con todos estos primos, es lo que lo haría complejo ?




Saludos...
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Luis Fuentes
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« Respuesta #169 : 28/04/2016, 08:46:02 am »

Hola

CONCLUSION del POSTULADO de BERTRAND.

(Entre Feriva y Victor Luis)

◘ En esta nuestra época, no se tiene un criterio contundente que certifique este postulado y con "contundente" me refiero, a que no tenemos una concepción cabal y exacta de cómo es que los números primos se van distribuyendo a lo largo de la recta numérica, por lo que la determinación de su cantidad, en rangos grandes, no se lo puede hacer, para decir, por lo menos, que hasta cierto rango Bertrand se cumple y al aplicar criterios pseudo-axiomáticos referente a los primos, es comprensible dar con una o mas demostraciones para el mismo, donde su verificación y posterior re-validación se la podrá dar, cuando tengamos la tan ansiada Distribución de Números Primos.

No, no. Eso no es cierto. El Postulado de Bertrand está perfectamente demostrado en nuestra época, de la manera mas contundente posible. Con una serie de argumentos lógicos que simplemente se derivan de la definición de número primo y de número natural y sus operaciones (sin las cuales no sabríamos de que estamos hablando). Entonces no está pendiente de ninguna verificación.

En la Wikipedia tienes esbozadas pruebas y enlaces a otras demostraciones:

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate

Saludos.
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« Respuesta #170 : 28/04/2016, 11:32:44 am »

Hola, Víctor Luis.

Cita
   La modalidad para descontar estos compuestos multi-repetidos, si es simple, mas no sigue la proporcionalidad que nos fue explicando nuestro Amigo Feriva, pudiendo encontrar un contraejemplo que compruebe una falla en su modalidad de calculo de primos, algo que no hicimos; pero es de darse

No sé cuál es la proporcionalidad, pero el método que yo te digo no tiene ningún fallo porque es de Perogrullo, como todo lo que alcanza a pasar por mi cabeza, no es más que una criba. Distinto es que con lo dicho no haya terminado de demostrar el Postulado de forma rigurosa.


A ver si repitiendo:

Todos los números de [texx](n,2n)[/texx] tienen al menos un múltiplo de los de [texx](0,n)[/texx]; pero en todos los casos que encontramos algunos son comunes a varios de los números de este último intervalo.

[texx](0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),11,12,13,14,15,16,17,18,19,(20)[/texx]

Así, 18 es múltiplo de 9, luego, 16 es múltiplo de 8, tenemos que 15 es de 5, 14 lo es de 7, doce lo es de 6.  Y ya están todos los compuestos que hay ahí, el intervalo queda completado con los múltiplos de todos los números de la derecha:

[texx](0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),[-],12,[-],14,15,16[-],18,[-],(20)[/texx]

Esos huecos que se abren no están a una distancia constante, pero la cuestión es ver que se abren y por qué; tiene una razón de ser:

En [texx](0,n)[/texx] hemos llegado hasta 6, encontrando el último múltiplo que de los números de ese intervalo entran en el siguiente... Pero quedan más números en [texx](0,n)[/texx] y por el teorema 2 tienen que tener también algún múltiplo de [texx](n,2n)[/texx]; y lo tienen.

Seguimos con 4, y existen los múltiplos 12 y 16, que se relacionan con números ya correspondidos, son repeticiones, seguimos con 3, que tiene los múltiplos 15 y 18; y después seguimos con 2, que tiene los múltiplos 12, 14, 16, y 18. Contamos ocho repeticiones, de las cuales hay que quitar algunas para ver cuáles son, digamos “efectivas”.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

El método consiste en empezar por meter (o no sacar) todos los múltiplos del primo más pequeño, 2; éstos se van a quedar ahí, ya sean a la vez múltiplo de 3, de 5... Al ser los primeros que se meten, todavía no se repiten. Tenemos la seguridad de que al menos existen cuatro compuestos: 12, 14, 16, 18.

Si ahora introducimos los múltiplos de 3, éstos son 12, 15 y 18; pero, obviamente, si metemos al 12 y al 18, hay dos múltiplos “falsos”, porque ya estaban ahí metidos.

 Así que si hay 4 múltiplos de 2, que ya estaban, y dos múltiplos de 3 que son también de 2, nos queda uno que no estaba; luego tenemos hasta ahora 4+1=5 compuestos seguros.

Los cuatro primeros, los pares, no los tocamos en ningún caso, no quitamos ninguno, es al meter los de 3 cuando quitamos los que coinciden; pero no quitamos pares (por eso son importantes los pares, porque vamos desde los múltiplos del primo más pequeño en adelante).

Como ya están metidos los de 3 (que no son de 2) éstos tampoco se tocan ya.

Y al contar los múltiplos de 5 hacemos lo mismo: vemos cuántos hay de 5 que no sean de 2 y de 3, que no estén puestos; en este caso no hay ninguno, porque 15 es múltiplo de 3, no se mete ningún múltiplo de 5, momento en el que sabemos que tampoco podrán entrar múltiplos de los siguientes primos, dado que son mayores y estarán igualmente ya metidos, serán múltiplos de 2 y de 3 (entre otros que puedan ser, pero al ser de éstos ya están puestos en sus lugares). ¿Entiendes el mecanismo?

Así pues, son 5 compuestos en total, ni uno más ni uno menos, exactos. Y como la cantidad de lugares es [texx](n-1)=10-1=9[/texx], pues habrá [texx]9-5=4[/texx] primos en [texx](n,2n)[/texx].


Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Si entraran todos compuestos, por el método explicado, iríamos metiendo todos los posibles múltiplos, todos, de los primos pequeños y medianos en sus lugares (sin repeticiones).

Al llegar al primo o primos más grandes, éstos son los que sólo entran en [texx](n,2n)[/texx] multiplicados por 2. Pero al llegar a 2 y multiplicar por ese primo (o primos) más grande, sólo quedan dos lugares por cubrir; los que se corresponden con el propio 2 y el 1, los otros están todos, no cabe un par más, no cabe un múltiplo de 3 más... Pero qué pasa ahora, que antes hemos multiplicado un primo grande por 3, que ya está colocado, y antes un primo grande por 5... Y esos múltiplos de los primos grandes son siempre repeticiones y no pueden cubrir esos puestos.

Esto quiere decir, simple y llanamente, que hemos tenido que llenar todos los lugares antes de llegar a multiplicar esos números del principio 1,2,3... por los primos grandes, pero... cómo puede ser esto, faltarían los múltiplos de esos primos. , no, eso no, porque hemos multiplicado  los grandes del principio por los pequeños, lo que ocurre es que a partir de n/2 aproximadamente ya son casi todo repeticiones.

Porque en qué otro caso te puedes poner, ¿en que no se han llenado todos los lugares? Pues entonces ya no los llenamos:

[texx]1*P_{grande}[/texx]   no entra;  [texx]2*P_{grande}[/texx]    repetición;  [texx]3*P_{grande}[/texx]    repetición...

No te lo vendo como una prueba, pero a la vez no alcanzo a ver escapatoria; no cabe tanto compuesto ahí.


Cita
Sobre esa conjetura de que entre p⋅p y p⋅q donde p es primo y q es el siguiente primo después de p, es una extensión del Postulado de Bertrand... nada mas... algo que de hecho se cumple, porque se obian los "Saltos".


Se acerca más a la de Legendre, como dijo el_manco, porque en el postulado no se habla de cuadrados.


Un cordial saludo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #171 : 28/04/2016, 08:15:02 pm »

Buenas Feriva y El_Manco...


Cita
Los cuatro primeros, los pares, no los tocamos en ningún caso, no quitamos ninguno, es al meter los de 3 cuando quitamos los que coinciden; pero no quitamos pares (por eso son importantes los pares, porque vamos desde los múltiplos del primo más pequeño en adelante).

Como ya están metidos los de 3 (que no son de 2) éstos tampoco se tocan ya.

Y al contar los múltiplos de 5 hacemos lo mismo: vemos cuántos hay de 5 que no sean de 2 y de 3, que no estén puestos; en este caso no hay ninguno, porque 15 es múltiplo de 3, no se mete ningún múltiplo de 5, momento en el que sabemos que tampoco podrán entrar múltiplos de los siguientes primos, dado que son mayores y estarán igualmente ya metidos, serán múltiplos de 2 y de 3 (entre otros que puedan ser, pero al ser de éstos ya están puestos en sus lugares). ¿Entiendes el mecanismo?

• Recuerda que la función contadora de primos que les expliqué es:

[texx]Numeros \ Primos= Total \ de \ NB \ - \ Total \ de \ mp[/texx]

* Esto si se cumple para cualquier Rango(x)... donde antes, al tratar este tema, la determinación de múltiplos que hacías, era considerando fracciones decimales, algo que vimos no era exacto, dándose con esto el 1° Abordaje a la "Densidad de Números Primos".
→ Este fue el titulo del hilo que abrí, en mi 2° Abordaje sobre el tema en cuestión, donde la determinación se hacía en base al Conjunto FV, donde, funcionando todo bien, se dió un fallo, próximo al Rango([texx]10^{12}[/texx]) situación inesperada, ya que como tú, al verificar que las determinaciones en rangos menores eran exactos, estimé que se cumpliría para todo rango sin darse falla alguna.

* Ahora, que tocaste el Postulado de Bertrand, era necesario, estimar el curso que sigue la densidad de primos, por lo que reinicié desde cero el análisis, llegando a casi lo mismo del ultimo Abordaje, por lo que opté a hacerlo a mi modo, decir que no hice ni se nada y tomarme el tiempo, para comprender el proceso, paso a paso, en especial, el proceso de descontar lo que tu llamas múltiplos repetidos, siendo un proceso de iteración que se incrementa con cada digito que aumenta el Rango, limitando esto, su aplicación práctica.
→ Como el testarudo que soy... volvi a analizar esto, con mayor detenimiento y con papel y lapiz... un gusto aprendido de mi maestro... Con el resultado, de que la cancelación y/o reducción de los múltiplos repetidos, esos que dices que ya no entran, no sigue un ritmo constante ni regular, tal cual como lo describes, simplemente, la recursividad de múltiplos repetidos y de estos los múltiplos multi-repetidos y asi los múltiplos multi-n-repetidos que se irán dando, son determinables y deben determinarse, para obtener la cantidad exacta de múltiplos de los primos (no repetidos) lo que no es simplemente, decir, que como un múltiplo repetido es múltiplo de un primo, los que se den a partir de este ya están cancelados y asunto arreglado... nada que ver... por eso te dije que aplicaras tu metodología en el Rango(500), no como una prueba ó competencia de tiempo de proceso, sino para que te dieras cuenta, de los factores que no has considerado e incluyas esto, en el desarrollo de tu demostración y como no sucedió esto, que mas uno le va hacer, no diciendo para nada que la metodología sea compleja, simplemente que ese criterio metodológico, está incompleto, siendo esto una observación personal, nada mas.

○ Por ultimo... los primos PIG son: {5,7,11,13} donde el primer compuesto es [texx]25=5^{2}[/texx] y este desencadena una serie de improporcionalidad relativa a partir del compuesto [texx]625=25^{2}[/texx] por eso te dije que evaluaras el Rango(500) porque en el intervalo (0,n) hasta [texx]n=250[/texx] se dan 51 primos, donde tú al llegar en tu ejemplo al primo 5, dictaminas que es el final del proceso, que los siguientes primos, no tendrán múltiplos no repetidos que cancelar en (n,2n) lo que es cierto para el rango [texx]2n=20[/texx] que tomaste y será así, para el rango [texx]2n=500[/texx] que te dije evaluaras ?
Yo ya se la respuesta... y volví a reiterar esto, solo por compartir, las nuevas curiosidades que uno va encontrando, no siendo el criterio tan lineal como lo hacer ver...

(Fin a la Densidad de Números Primos...)



FACTORIZACION con DIVISORES SELECCIONADOS.


* Les había consultado Feriva y El_Manco, sobre el criterio de complejidad que se tiene, al tratar de factorizar un natural compuesto, que como ejemplo puse uno de 15 digitos.
→ La metodología de Factorización Clásica, por asi decirlo, nos indica evaluar su divisibilidad con los primos dados hasta la raiz cuadrada del compuesto, lo que en algunas publicaciones, el tiempo de este proceso se estima en horas, días, meses, años y demás, por la complejidad que conlleva no solo el realizar las operaciones, sino también el disponer con una base suficiente de primos ya validados como tales para dividir al compuesto.

* Les había comentado, de esto que llamo como "Factorización de Divisores Seleccionados" mismos que se seleccionan de acuerdo a la propiedad de los Primos-Relacionados, algo ya expuesto y explicado también.
→ El TFA nos dice que todo natural compuesto, tiene una descomposición única en factores primos, lo que no lo discuto, pero al tomarse a los primos como elementos de un solo conjunto, todos serían iguales porque el TFA nos dice que un número primo, es aquel que solo es divisible entre 1 y entre si mismo, incluidos en estos al 2 y 3.

* En mi criterio, si bien los primos, comparten la propiedad de indivisibilidad con los naturales dados en el intervalo [texx](1,p)[/texx] este conjunto, no se lo concibe como un todo, sino, de acuerdo al primo PIG de origen, desde los cuales se generan los primos, dándose entre los Grupos PIG, relaciones específicas que nos indican dónde encontrar a los divisores específicos de cualquier natural "nb" compuesto.

Veamos unos ejemplos:

Código:
NB: 425895541296481876121938841622630742547983

* Este digo es el compuesto de Feriva, puesto que me lo dió, para factorizarlo, el cual tiene 42 digitos siendo su raiz cuadrada:

Código:
Raiz= 652606727897040551936

→ Que sospechando, sería un compuesto RSA, podemos iniciar la evaluación de divisibilidad, desde la raiz, no asi desde los primeros números primos. Si nos fijamos, la raiz tiene 21 digitos, necesitando contar con una base todos los primos dados hasta este limite, lo cual es demasiado.

* A pesar de ahora tener una metodología de primalidad determinista, el tiempo de proceso no es de vida util ó polinomial, comprendiéndose esto claramente. Pero si contáramos con la base de primos validos como divisores, el tiempo de operacionalización con cada primo de estos, nos lleva a lo mismo, no siendo práctico, ni funcional el realizarlo en un tiempo de vida util, que como comentaron, se habrían tardado meses y para otros compuestos, años en factorizarlos.
→ Pero ahora, como sabemos en qué Grupos PIG, se darán sus divisores especificos, y partiendo con primos desde la raiz hacia los primeros, sucede que desde la raiz cuadrada hasta 652606727895101240091 no se dá ningún "Divisor Seleccionado" para este compuesto, por lo que viene siendo inutil el dividir al compuesto con todos estos primos, que serían mas de mil millones de primos, sabiendo esto por los Primos Relacionados, sucediendo lo mismo, si seleccionáramos primos desde el inicio de la recta numérica.

1° Lema. Si bien, todos los naturales compuestos, son divisibles por al menos dos primos, esto no quiere decir, que todos los primos deberán considerarse como potenciales divisores.

○ La comprobación de esto es simple, si generamos "nb" desde la raiz 652606727897040551936 hasta 652606727895101240091, encontrarán que ningún primo es divisor del compuesto... menuda tarea que nos habríamos dado, en determinar la primalidad de los divisores.

* Un otro compuesto, es el dado por El_Manco, específicamente este de 42 digitos:

Código:
NB: 1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413 PO[13] 232 dgts PB: 1501 Rz:35074017228286206361702047260432124469247449953276097103426319521261492314842683659206970902535223881552152580063232

→ Siendo que desde la raiz cuadrada hasta menos 2.349.106.819.669.290 no se dá ningún natural seleccionado como potencial divisor específico del compuesto, algo que desde ya, sería y es, un proceso inútil, no sabiendo de esto nuestros antiguos matemáticos, quizás Euler y Fermat, pero ahora ya lo sabemos.

* Denominaremos como "Salto de Divisores" al intervalo de la recta numérica, donde tanto primos como compuestos, no llegan a ser divisores potenciales del natural que queremos factorizar, siendo "Rango de Divisores" el intervalo de la recta numérica, donde encontramos naturales con muy alta probabilidad de ser los divisores específicos que estamos buscando, mismos que se dan por los primos relacionados.
→ Resulta, que tanto saltos como rangos de divisores, no se dan de una forma única, es decir, no hay un intervalo de divisores y no divisores, sino que estos se van dando de forma intercalada: {Salto _ Rango _ Salto _ Rango _ ...} no encontrándose, a priori, una sucesión o proporción de secuencia entre estos.

* Implementando una modalidad para evadir los Saltos y pasar de un Rango al siguiente Rango, encontramos que el proceso de factorización se simplifica notablemente, respecto a la cantidad de operaciones a realizarse hasta dar con el divisor específico del compuesto, donde suceden varias situaciones curiosas.
→ Una de ellas, es que en ciertos compuestos, tan solo se dan como divisores seleccionados, naturales "nb" pertenecientes a un mismo Grupo PIG de origen, indicativo que en los primos de este grupo encontraremos al divisor específico que buscamos, lo que simplifica aún mas la complejidad y el tiempo del proceso.
→ En algunos otros casos, el divisor específico se dá como el primer natural impar que inicia el Rango de Divisores, es decir, tras concluir un Salto de Divisores, encontramos al natural que divide exactamente al compuesto que estamos factorizando.
→ Y en la mayoría de los casos, la extensión de los Saltos de Divisores, es regularmente constante, mas grande que la extensión de los Rangos de Divisores, lo que conlleva el efectuar el minimo de operaciones y dar mas pronto con el divisor específico del compuesto.

* Cabe aclarar, que en el proceso de analisis y evaluación que se hizo, la verificación de la divisibilidad se lo hizo con los naturales seleccionados, sean estos primos o compuestos, llegando siempre a dar con un factor divisor específico para el compuesto.
→ Por ultimo, según hasta donde pude analizar esta modalidad de factorización, encontré que si consideramos como una secuencia las extensiones de saltos y rangos dados, para un [texx]m[/texx] natural compuesto, encontraremmos que para [texx]m+1[/texx] el siguiente natural compuesto, se dará la misma secuencia de saltos y rangos, siendo indiferente, a que Grupos PIG pertenezcan los divisores especificos, importando si, a qué Grupo PIG pertenece el natural compuesto, donde las alteraciones y/o modificaciones de la extensión de Saltos y de Rangos no es para nada proporcional, es decir, los Saltos de Divisores comienzan un incremento hasta cierto punto, donde luego descienden a casi lo mas minimo, sin llegar a 0 ó 1 y de pronto, pasan a un valor mayor para iniciar otro incremento hasta otro punto mayor y asi, luego volver a descender, repitiéndose el mismo proceso oscilatorio. Por otro lado, los Rangos de Divisores, tienen una oscilación muy moderada, con tendencia al incremento, esto observando al manipular uno de los divisores primos que conforman un natural compuesto de igual tamaño en digitos, mientras que comparando Rango con Salto de un compuesto, en el Rango la extensión tiende a descender y en el Salto la extensión es oscilatoria (aumenta y disminuye).

  Uno puede suponer, al menos mi persona, que entre Salto y Rango no hay proporcionalidad, por la oscilación y el sentido diferentes que tienen, por lo que se me ocurrió contabilizar cuántos saltos y cuántos rangos se daban antes de dar con el divisor específico, resultando que ambas cantidades son iguales en todos los compuestos evaluados y/o factorizados y al sumar las extensiones de saltos como de rangos, la sumatoria de saltos siempre es mayor a la sumatoria de rangos, algo evidente, puesto que en los Rangos encontramos a los naturales que se dan seleccionados como divisores potenciales.

○ De esta forma, la conceptualización que se da a la Factorización por Fuerza bruta, no debe considerarse a todos los primos como divisores probables de un natural compuesto dado, sino tan solo a los seleccionados por la propiedad de los primos relacionados, naturales que conforman lo que dijimos es un Rango de Divisores.



Saludos..
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« Respuesta #172 : 29/04/2016, 08:51:11 am »

Hola, Víctor, buenos días.


La culpa es mía por no explicarlo con un ejemplo más extenso. Creo que lo mejor es poner un ejemplo más largo para que se vea bien que no es cuestión de probabilidad (aunque también se pueda por probabilidad) se pueden hallar los primos de forma totalmente determinista:

Me dijiste que lo hiciera hasta el rango 500, hacerlo entero sería muy largo, pero podemos suponer que tenemos, por ejemplo, ya colocados los múltiplos de 2,3,5 y 7, sin repeticiones.
Ahora tocaría los de 11. Vamos a calcular cuántos múltiplos de 11 (que no son múltiplos de los anteriores más pequeños) hay  entre 250 y 500.

Lo haremos primeramente de 1 hasta 500 y después ya vemos los que hay en la mitad:


Editado desde aquí...

[texx]\lfloor\dfrac{500}{11}\rfloor=45
  [/texx]

hay exactamente 45 múltiplos de 11.

Quitaremos los pares ahora, pues ya están puestos, es decir, quitaremos los que son múltiplos de

[texx]11*2=22
  [/texx]

[texx]\lfloor\dfrac{500}{22}\rfloor=22
  [/texx]

22 son pares, así que se los restamos a los 45 que teníamos

[texx]45-22={\color{blue}23}
  [/texx]

Seguidamente vamos a quitar los de [texx]11*3=33
  [/texx]

[texx]\lfloor\dfrac{500}{33}=15\rfloor
 [/texx]

tendremos

[texx]23-15=8
  [/texx]

pero al hacerlo hemos quitado pares que ya estaban quitados y que hay que devolver; son los múltiplos de [texx]11*3*2=66
  [/texx]; entonces:

[texx]\lfloor\dfrac{500}{66}=7\rfloor
 [/texx]

Luego tenemos que hacer esto:

[texx]8+7={\color{blue}15}
 [/texx]

Quitamos los de 5, o sea los de[texx]11*5=55
  [/texx]:

[texx]\lfloor\dfrac{500}{55}=9\rfloor
 [/texx]; entonces tenemos:

[texx]15-9=6
  [/texx]

De esos 6, hay que ver los que son pares y devolverlos; son los múltiplos de [texx]11*5*2=110
 [/texx]:

[texx]\lfloor\dfrac{500}{110}\rfloor=4
  [/texx]; así que nos quedan

[texx]6+4=10
  [/texx]

De ésos hay que ver también los que son múltiplos de 3, que también los hemos quitado de más, es decir, tenemos que devolver los de [texx]11*5*3=165
 [/texx]:

[texx]\lfloor\dfrac{500}{165}\rfloor=3
 [/texx]

Así tenemos

[texx]10+3=13
  [/texx]

Pero al devolver ésos, hemos devuelto pares de más, que hay que volver a quitar, son los múltiplos de [texx]11*5*3*2=330
 [/texx]; sólo hay uno, así que tenemos

[texx]13+1=14
  [/texx]

Quitamos los de 7, es decir, los de [texx]11*7=77
 [/texx]

[texx]\lfloor\dfrac{500}{77}\rfloor=6
  [/texx]

son hasta aquí [texx]14-6=8
 [/texx]

Como anteriormente, hacemos las operaciones para devolver los pares [texx]11*7*2=154
  [/texx]

[texx]\lfloor\dfrac{500}{154}=3
  [/texx]; nos quedan

[texx]8+3=11
  [/texx]

En el spoiler va el primer paso que estaba mal

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Devolvemos los de 3; [texx]11*7*3=231
  [/texx]

[texx]\lfloor\dfrac{500}{231}\rfloor=2
  [/texx]; nos quedan

[texx]11+2=13
  [/texx]

Segundo paso que estaba mal en spoiler

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

quitamos los de [texx]11*7*3*2=462
 [/texx], hay uno nada más...

[texx]13-1=12
  [/texx]

quitamos los de [texx]11*7*5=385
  [/texx]; también hay uno solo:

[texx]12-1= 11 [/texx]

Devolvemos los de [texx]11*7*5*2=770>500
 [/texx]; no existen, así que hemos acabado; resultado:

Hay [texx]{\color{blue}11}
  [/texx] primos múltiplos de 11 desde 0 a 500, no siendo éstos múltiplos de los primos menores que 11; ni pares ni múltiplos de 3 ni de 5 ni de 7.

Hasta aquí

Como en los intervalos [texx](0,n)[/texx] y [texx](n,2n)[/texx] tiene que haber la misma cantidad de múltiplos de un número o uno más en el segundo intervalo, al ser la cantidad 11 impar, en el primer intervalo tendremos 5 múltiplos de éstos y 6 múltiplos de los dichos en [texx](n,2n)[/texx]

Mira a ver si con el ordenador puedes comprobarlo haciendo un programa; pero si me he equivocado no significa que el método no funcione, significa que soy un trasto, no tiene la culpa el método.

Esto se puede hacer con el resto delos múltiplos de todos los primos que haya para determinar exactamente y sin error (salvo despiste) la cantidad de compuestos en un intervalo. El que sea lento, el que a uno se le olviden pasos, etc., y se pueda equivocar, no es un problema matemático; no hay misterio, lo que hay es vaguería para pensar despacio lo que ocurre y detallarlo (y esto de la vaguería lo digo por mí, porque te podría haber puesto hace mucho este ejemplo u otro y haber acabado con la historia de una buena vez, es culpa mía).

Además, con lo dicho, se ve que es insalvable sufrir el rollo patatero de hacer esto, no hay más remedio; ¿cómo se podría evitar para dar siempre la cantidad exacta? Yo no veo cómo, puede haber algún tajo, pero no se puede evitar hacer muchas operaciones en cualquier caso. Sin embargo, queda patente que existe el método.

Como ves, hay que meter los pares; si no, te pasa lo que te pasa, que tú método falla, porque no empiezas desde el principio; hay que ir metiendo y sacando todos de esa forma que ves, así de rollazo y con todos, los de 2, 3, los de 5...

Si lo has entendido y si te parece bien, seguimos con el intento de probar Bertrand basándonos en este método; quizá podamos lograrlo.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #173 : 29/04/2016, 12:58:26 pm »

Sigo, que quería decirte algo más y hasta ahora no he podido ponerme otra vez con el ordenador porque he tenido que salir y hacer varias cosas hoy:



Fíjate en que todo eso es un método para lograr un idea; y la idea es la que te decía:

Tomamos todos los de 2, luego los de tres y se quitan los de 2, luego los de 5 y se quitan los de 2 y los de 3 (de los que son de 5, claro) luego los de 7 y se quitan los de 2, los de 3, los de 5... y así, nunca se suman, siempre se quitan; ésos que se “suman” al aplicar el método no se suman de verdad, es metodología, lo que se está haciendo es esto que acabo de decir, no otra cosas, y es muy sencillo y muy lógico; ¿qué compuestos va a haber? Pues de Perogrullo, ésos, todos los de cada uno sin repetirse.

Comprenderás entonces que cuando se quitan los primeros que son de 2 y de 3, no se vuelve a poner ya a nadie en su sitio; e igual con los demás de 5, 7, etc., lo que se quita ya no se pone.



Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Esa forma de verlo del spoiler es muy confusa; es mejor así

En [texx](n,2n)[/texx], por el teorema 2, hay, un múltiplos de [texx](n-1)[/texx], [texx](n-2)[/texx]... de todos. Y un múltiplo de 1, por el lugar del uno en el otro intervalo, que tiene que ser a la vez múltiplo de uno de esos [texx](n-1)[/texx], [texx](n-2)[/texx]... etc.

Será el múltiplo más grande el algún primo; esto es lógico, véase con un ejemplo

[texx](0)1,2,3,4,5,6,7,9...(n)...
  (2n)[/texx]...

Si fuera un múltiplo de 5 el que falta, vamos a poner por caso, en [texx](n,2n)[/texx] estarán ya todos los múltiplos de 5 que hayan entrado ordenados; por ejemplo, supongamos que el primero fuera 25, pues si hay un segundo será por fuerza 30, un tercero será 35, que ya estaría puesto... así que, el que ocupa el lugar que se corresponde con el hueco que deja el 1, será el múltiplo más grande de algún primo.

Pero no puede ser ni igual ni mayor que el doble del anterior múltiplo, porque se saldría.

Por otra parte, sabemos por el método que los múltiplos de los primos pequeños entran todos, el que faltaría sería el múltiplo de un primo grande... y el que sea el múltiplo más graden quiere decir también que el número por el que está multiplicado sea el más grande de todos los de su clase. Ésa es la idea


Ese básicamente es el argumento que llevo tiempo queriendo que juzgues.

Ahora, me puedes poner una objeción, pero para que sea una objeción como Dios manda, tienes que decirme cómo se puede evitar esta situación, qué podría pasar en otro caso; no sirve decir “huy, es que las estadísticas hacen ver que baja mucho la densidad”, eso no es una objeción, si haces eso el que objetaré seré yo, tiene que ser un contraargumento que dé alguna salida posible a eso.

Saludos.
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Víctor Luis
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« Respuesta #174 : 30/04/2016, 07:26:30 am »

Buenos Días Feriva...
(Respondiendo a la entrada #172)



Cita
Lo haremos primeramente de 1 hasta 500 y después ya vemos los que hay en la mitad:


[texx]\displaystyle\frac{500}{11}=49[/texx]

hay exactamente 49 múltiplos de 11.

• Ya comenzaste un tanto mal... en el Rango(500) hay 44 múltiplos de 11, pero como tú tomas como múltiplo al 11 que es dividendo y divisor al mismo tiempo, diremos que hay 45 múltiplos de 11 en el intervalo (0,500)


Cita
Hay 11 múltiplos de 11 desde 0 a 500, no siendo éstos múltiplos de los primos menores que 11; ni pares ni múltiplos de 3 ni de 5 ni de 7.

• Es correcto, hay 11 múltiplos de 11 en el intervalo (0,500) que son estos:

Código:
{11,121,143,187,209,253,319,341,407,451,473}

Pero como 11, la cantidad de múltiplos, es impar, no pueden darse la misma cantidad de múltiplos en los intervalos:

Código:
(0,n)= {11,121,143,187,209}

Código:
(n,2n)= {253,319,341,407,451,473}

○ Por lo tanto, esto no es generalizable, el decir que siempre los primos, tendrán la misma cantidad de múltiplos en los intervalos.


Cita
Como ves, hay que meter los pares; si no, te pasa lo que te pasa, que tú método falla, porque no empiezas desde el principio; hay que ir metiendo y sacando todos de esa forma que ves, así de rollazo y con todos, los de 2, 3, los de 5...

◘ NOOO....!!!! Mi metodo « NO FALLA »... Otra vez me has entendido mal...

○ Cuando te digo en el desarrollo de mis metodologías que algo falló, no es que el fallo sea definitivo, sino que algo no consideré y por eso se dio el fallo, indicativo de corregir algo y continuar el desarrollo.

◘ Los Sprimos {2,3} notienen nada que ver con los naturales que realmente serán primos, el excluirlos no afecta para nada, cualquier analisis que hagamos sobre los primos, simplemente porque en el Conjunto FV encontraremos a todo el universo de naturales primos (verdaderos) donde para respaldar tu afirmación y/o criterio, te reto a que me des un contraejemplo de lo que acabo de decir, que en el Conjunto FV se darán, sin excepción alguna, el universo de primos, claro, sin considerar a los Sprimos 2 y 3... Espero con ansias tu contra-ejemplo.



Cita
Además, con lo dicho, se ve que es insalvable sufrir el rollo patatero de hacer esto, no hay más remedio; ¿cómo se podría evitar para dar siempre la cantidad exacta? Yo no veo cómo, puede haber algún tajo, pero no se puede evitar hacer muchas operaciones en cualquier caso. Sin embargo, queda patente que existe el método.

* Sinceramente, con esta tu metodología, estás como estuve en mi 1°Abordaje a este tema, eso de restar y sumar los múltiplos repetidos con los primos que anteceden a un primo.
→ Es razonable, que por este hecho, el proceso se vaya haciendo complejo, lo que no impide el poder hacerlo de una forma mas simple y con una reducidísima complejidad.

* Mira que en el Rango(500) aún tu metodología, podría determinar la cantidad exacta de primos, pero desde yá, puedes darte cuenta de los ajustes que debes hacer.
→ Ya con esto, debes comprobar tu metodología en el Rango(1000) donde encontrarás que debes volver a hacer ajustes a tu metodología, al haber restado demás o al haber sumado demás o al haber restado y sumado menos.

* En mi 2° Abordaje a la Densidad de Números Primos, hilo donde también nos explayamos en esto, intercambiando nuestros criterios, ya con el Conjunto FV se llegaba a lo mismo, donde luego comprendí que los múltiplos multi-repetidos seguian una secuencia de iteración constante, lo que me permitió llegar a determinar la densidad de primos, en rangos mas grandes a donde había llegado en el 1° Abordaje.
→ Ya con esto, pude llegar al rango de 12 digitos, donde se dio un fallo, algo que ajusté y determiné la cantidad exacta de primos que se dan, con la única dificultad, de que la metodología era compleja y mas al intentar determinar primos en el rango [texx]10^{13}[/texx] de 13 digitos y el uso de la raiz cuadrada, no lo tomaba como un limite definitivo, siendo la raiz cubica un limite para la metodología que emplee en ese entonces.

* Ahora, en este mi 3° Abordaje, ya sabía que se dá un proceso iterativo, donde los bucles de iteracion serán para restar y sumar cantidades proporcionales y asi ajustar a la cantidad exacta de múltiplos no repetidos (múltiplos propios) de cada primo.
→ Pero hasta qué primo debemos hacer esto? Pues hasta el ultimo primo dado hasta la raiz cuadrada del rango, encontrando esto, no porque comprenda la raiz cuadrada que no lo comprendo en si bien, sino, porque esto coincide con mi criterio de múltiplos propios siendo para un primo [texx]p[/texx] que el primer múltiplo propio será [texx]mp=p\cdot{}p[/texx] por lo que si llegamos a que [texx]p^{2} > Rango[/texx] los primos que suceden a [texx]p[/texx] no tendrán múltiplos propios, donde coincidentemente los múltiplos comunes (múltiplos repetidos para ti) comienzan a ser mayores a los múltiplos que inicialmente determinamos tiene [texx]p[/texx] en el rango.

* Comprende, que lo que nos interesa determinar, es la cantidad de múltiplos propios (múltiplos no repetidos) que corresponden a la cantidad de compuestos en el rango, por lo tanto, al saber cuántos naturales [texx]nb[/texx] se generaron en el rango, tenemos un solo ajuste final [texx]Primos=nb-mp[/texx] una función tan simple, que es contadora infallable de primos, para cualquier rango dado.
→ Como te decía, en este 3° Abordaje, comprendí que hay reducciones generales que se hacen a todos los múltiplos de los primos dados hasta la raiz cuadrada, donde luego todas las reducciones que se hagan solo será en restar una cantidad proporcional cuantificada, sin tener que sumar, restar, sumar, restar,... que es como lo vas haciendo, resultando que la cantidad de bucles iterativos, se simplifican a tan solo dos bucles, permitiendonos llegar a evaluar con facilidad hasta el rango de 9 digitos y con un poco mas de tiempo el rango de 10 digitos y con muchisimo mas tiempo cualquier rango dado, al incrementarse su complejidad con el incremento del rango.
→ Pero si implementamos un bucle iterativo mas, resulta, que la complejidad se reduce drásticamente a mas de la mitad, algo que no estimé aún, donde si para el rango [texx]10^{9}[/texx] tardábamos 4 minutos, con tres bucles se demora menos de 2 minutos, siendo esto solo un ejemplo estimativo, para que comprendas que la complejidad de un rango [texx]10^{x}[/texx] hacia el rango [texx]10^{x+1}[/texx] se reduce aproximadamente, con la implementación de un solo bucle iterativo, es por eso que te digo en rangos de digitos, ya habiendo dejado atrás que si la determinación de primos es exacta o se daban fallos... No se dan fallos y el procedimiento es simplificable... respondiendo con esto a tu interrogante.



Saludos...
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feriva
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« Respuesta #175 : 30/04/2016, 09:40:27 am »

Hola, Víctor, buenos días.

Es generalizable que, si nos referimos a múltiplos que ocupan lugares diferentes en [texx](n,2n)[/texx], como mucho podría haber un múltiplo más respecto de todos los  números (primos y compuestos) que ocupan lugares diferentes en [texx](0,n)[/texx]. Y ese lugar de más, donde puede entrar un múltiplo más, lo provoca el 1 al no ser múltiplo de ningún primo, al no ser primo ni compuesto; eso da lugar a un múltiplo más como mucho:

[texx](0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10),11,12,13,14,15,16,17,18,19,(20)[/texx]

¿Puede haber más de un múltiplo de 9 en (10,20); no. ¿Puede haber un múltiplo más de 8? No... Vámonos más abajo: ¿puede haber un múltiplo más de 3, que no sea múltiplo de 6 o de 9, que son múltiplos que consideramos por otra parte? En este caso no lo hay. Pero sí podría haber uno como mucho; y ya no podría haber más exceso en cuanto al total de múltiplos de todos los primos posibles, porque faltarían lugares.

Es una cuestión de geometría, la cantidad de segmentos que pueden medir 3, o el primo que sea, es la misma en los dos lados. Pero al empezar por 1 el primer intervalo, como el 1 no es múltiplo de nadie, permite un múltiplo extra en teoría (en teoría, porque en realidad ese múltiplo ocupa el mismo lugar que el de otro u otros primos) ni uno más, porque no hay dos unos, si hubiera dos unos al principio sí podría haber dos extra. 

Y si nos ponemos en el caso de que no se cumple Bertrand, todos los múltiplos, más el múltiplo extra, tienen que ocupar un lugar distinto; porque, si no, ¿qué números puede haber en esos lugares vacíos? Ésa es la hipótesis.

Pues bien, si existe ese número extra, tendrá que estar en el intervalo [texx](n,2n)[/texx], sería el descompensado.

En el caso particular, estamos hablando de un múltiplo de 11 que no lo es de los primos anteriores, pero es un caso real, donde los múltiplos individualmente no ocupan todos un sólo lugar  (en la realidad) y, por tanto, no hay esa descompensación en cuanto lugares, sólo en cuanto múltiplos; una cosa es cuándo hablo de un caso real y cuándo hablo de la hipótesis (de la condición necesaria) para que no se cumpla Bertrand.


Añado

Pero sí tienes razón en que la descompensación puede ocurrir a un lado u otro, no sólo en sobrecargando siempre el intervalo [texx](n,2n)[/texx]

[texx](0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(15),16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,(28) [/texx]

Aquí, por ejemplo, tenemos dos múltiplos de 7 en el primer intervalo y sólo uno en el segundo. Visto esto, el  método sigue siendo igual de válido para hallar los primos en de 1 hasta "n", pero el último pasa para decir los que hay en [texx](n,2n)[/texx] no es válido; no obstante, se puede estimar de otras maneras dónde está ese múltiplo de "más".

Añado más

Y añado otra cosa

Cita
Ya comenzaste un tanto mal... en el Rango(500) hay 44 múltiplos de 11, pero como tú tomas como múltiplo al 11 que es dividendo y divisor al mismo tiempo, diremos que hay 45 múltiplos de 11 en el intervalo (0,500)

Pues entonces he hecho algo mal, ha sido casualidad que me haya salido bien, pura carambola. Resulta que mi calculadora es viejísima y una de las rayas con que se forman los números se ve a veces más oscura de lo normal, así que el 5 del 45 parecía un un 49.

Lo tengo que hacer otra vez. Ya lo pongo luego bien hecho (Ya está, lo he editado; ha sido un casualidad increíble :cara_de_queso: :cara_de_queso: pues realmente no comprobé los múltiplos que había (ya sabes de mi vaguería)  Échale un ojo, qué curioso como unos errores encadenados pueden llegar a dar un resultado correcto)






Cita
NOOO....!!!! Mi metodo « NO FALLA »...

No es que falle, es que no se puede hacer de una forma metódica como, sin embargo, sí ocurre con el método de inclusión; que fue ideado por matemáticos antes de ser ideado por mí, recalco.

 Si yo quiero saber cuántos múltiplos de 127 hay en los [texx]10000[/texx] primeros números, divido [texx]10000/127[/texx] tomo la parte entera y ya lo tengo. Pero tengo que dividir “10000” sin quitar números, sin quitar pares, sin quitar múltiplos de ningún número, usando todos para que me dé la cantidad de múltiplos de 127.

En principio, sí puedes quitar los pares y buscar algún método, pero a la larga será más complicado porque quitas “el origen de los números,” los mutilas.

Cita
 Sinceramente, con esta tu metodología, estás como estuve en mi 1°Abordaje a este tema, eso de restar y sumar los múltiplos repetidos con los primos que anteceden a un primo.
→ Es razonable, que por este hecho, el proceso se vaya haciendo complejo, lo que no impide el poder hacerlo de una forma mas simple y con una reducidísima complejidad.

Insisto en que no se puede decir que sea mía; llegué tarde :sonrisa:

Poco se puede acortar, pero ¿para qué quieres acortar? Lo que importa es ver cómo funciona y a partir de ahí deducir principios teóricos,  el objetivo no es saber cuántos compuestos exactamente puede haber desde un número de un cuatrillón de cifras a hasta su doble, ¿para qué queremos eso? ¿Te vuelves loco por no tener tiempo en la vida para poder simplemente sumar o dividir esas cantidades a mano? No, porque ya sabes que existe la suma y que funciona; qué pasa entonces con esto, qué tiene de especial para buscar con tanta urgencia un método.

Ten en cuenta que estamos hablando de muchas combinaciones, que son más según tenemos más números, y la combinatoria es algo muy complicado; mira, he encontrado un PDF de un profesor de matemática discreta de la Universidad de Granada, en él  vienen algunos métodos de conteo que sirven para esto (por supuesto, habla del principio de inclusión-exlclusión, del principio del Palomar... de las mismas cosas que yo uso; pero no conocía este PDF, no he copiado, es que, como dije hace días, todos los caminos llevan a Roma).

http://www.ugr.es/~jesusgm/Curso%202005-2006/Matematica%20Discreta/Combinatoria.pdf



Un cordial saludo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #176 : 02/05/2016, 09:56:53 am »

Buenos Días Feriva...



Cita de: Feriva
Lo tengo que hacer otra vez. Ya lo pongo luego bien hecho (Ya está, lo he editado; ha sido un casualidad increíble :cara_de_queso: :cara_de_queso: pues realmente no comprobé los múltiplos que había (ya sabes de mi vaguería)  Échale un ojo, qué curioso como unos errores encadenados pueden llegar a dar un resultado correcto)

Qué curioso como unos errores encadenados pueden llegar a dar un resultado correcto. (Feriva 2016)


• Hay mucha sabiduría en estas tus palabras, algo tan cierto, que un día, no muy lejano, se recordará y enunciará esto.


☼ Una SOLICITUD...
Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Cita
Si yo quiero saber cuántos múltiplos de 127 hay en los 10000 primeros números, divido 10000/127 tomo la parte entera y ya lo tengo. Pero tengo que dividir “10000” sin quitar números, sin quitar pares, sin quitar múltiplos de ningún número, usando todos para que me dé la cantidad de múltiplos de 127.

En principio, sí puedes quitar los pares y buscar algún método, pero a la larga será más complicado porque quitas “el origen de los números,” los mutilas.

○ El 2 que es divisor universal de los naturales pares, como un "primo origen" ?  :sorprendido:  qué ocurrencia la tuya  :sonrisa_amplia: ... si fuera por lo menos primo, quizás habría la posibilidad de esto, mas como no lo es, salvo para todo el mundo, ni en el pais de las maravillas de Alicia... o quizás si ?

◘ Vamos a ver esto que dices, donde se quiere saber cuántos múltiplos no repetidos tiene el primo 127 en el Rango(10.000)

* Es simple, pero antes recordemos que a los múltiplos no repetidos, los denominamos como [texx]mp[/texx] "Múltiplos Propios" y a los múltiplos repetidos como [texx]mc[/texx] "Múltiplos Comunes".
→ Pues bien, como dijimos, todo primo [texx]p[/texx] tiene con seguridad [texx]mp[/texx] a partir del primero que es [texx]mp=p^{2}[/texx] siendo los anteriores a este [texx]mc[/texx] comunes con los primos que le anteceden.

* De esta forma tenemos que [texx]mp[127]=127^{2}=16219[/texx] el cual excede del Rango, por lo que a priori nos dice que tendrá ningún múltiplo no repetido.
→ Debemos recordar, que de acuerdo a la Metodología de Densidad de números primos, el ultimo primo a considerar en evaluar sus múltiplos es el dado hasta [texx]\sqrt[ ]{10000}=100[/texx] donde 127 es un primo que está fuera de este limite, no teniendo por tanto múltiplos propios ó múltiplos no repetidos, lo que ya fortalece nuestro criterio a priori.

* Pero veamos y comprobemos esto mismo, con las cuantificaciones de múltiplos que tiene el primo 127 en el Rango(10.000) para lo cual al Sprimo 2 ni lo necesitamos, sino empleamos el Conjunto FV, donde la SMD nos determina los múltiplos que tiene todo natural [texx]nb[/texx] del Conjunto, siendo este "nb" primo ó compuesto.
→ Esto es muy importante, ya que ustedes toman como divisores, únicamente a los que son primos, donde el FTA nos dice que todo natural compuesto tiene una única descomposición en "factores primos" algo muy cierto; pero qué sucede cuando un primo y un compuesto conforman otro compuesto? pues se sabe que el nuevo compuesto será múltiplo del primo y del primo que divide al compuesto dado como factor, lo que también es muy muy cierto... Pero y qué nos dice sobre la cantidad proporcional de múltiplos que le corresponden al factor compuesto y de éste la cantidad proporcional de múltiplos hacia el primo que es su divisor? Y si el factor compuesto resulta de dos factores compuestos, cómo determinar la cantidad proporcional de múltiplos hacia estos factores compuestos y de estos hacia los primos que los conformaron? Es un tremendo lío verdad?... En verdad que nó! y no estoy de acuerdo con el principio de Palomar, que según comprendo, es un criterio "probabilístico" y en las "determinaciones" no entra lo probabilístico, tan solo lo "determinístico"... continuemos...

Los "nb" múltiplos de 127 son, indicados como [texx]mg[/texx] "Múltiplos en General":

Código:
mg[127]={635,889,1397,1651,2159,2413,2921,3175,3683,3937,4445,4699,5207,5461,5969,6223,6731,6985,7493,7747,8255,8509,9017,9271,9779}= 25

* De estos 25 múltiplos, no todos son propios ó no repetidos, por lo que debemos descontar y/o reducir y/o ajustar con los múltiplos comunes ó múltiplos repetidos que se dan con los naturales "nb" que le anteceden... verdad?
→ Si consideraríamos esto que parece razonable, cometeríamos un grave error, encontrando que se darán mas múltiplos comunes que los múltiplos generales que tienen los primos, por lo que necesariamente debemos contar con los naturales "nb" que son primos, teniendo estos las siguientes cantidades de "mc" múltiplos comunes:

Código:
mc[5]={635,3175,4445,6985,8255}= 5
mc[7]={889,4445,6223,9779}= 3
mc[11]={1397,6985,9779}= 1
mc[13]={1651,8255}= 1
mc[17]={2159}= 1
mc[19]={2413}= 1
mc[23]={2921}= 1
mc[29]={3683}= 1
mc[31]={3937}= 1
mc[37]={4699}= 1
mc[41]={5207}= 1
mc[43]={5461}= 1
mc[47]={5969}= 1
mc[53]={6731}= 1
mc[59]={7493}= 1
mc[61]={7747}= 1
mc[67]={8509}= 1
mc[71]={9017}= 1
mc[73]={9271}= 1

* Para determinar estos múltiplos volvemos a emplear la SMD (Secuencia de Múltiplos Directos) la cual tiene como términos iniciales de base [texx]SMD=\{4,2,4,2\}[/texx] donde esta secuencia se amplifica con el "nb" que le pasemos de modo que resulta [texx]SMD[nb]=\{4nb,2nb,4nb,2nb\}[/texx] siendo el primer múltiplo [texx]m_{1}=nb+4nb[/texx] y los siguientes [texx]m_{2}=m_{1}+2nb[/texx], [texx]m_{3}=m_{2}+4nb[/texx] y [texx]m_{4}=m_{3}+2nb[/texx] generándose 4 múltiplos directos, ya que en el Conjunto FV en cada linea de generación se generan 4 números base.

→ No hay error en las cuantificaciones de múltiplos comunes de la tabla anterior, si es que consideraron esto, para lo cual analicemos los primeros datos:

mc[5]={635,3175,4445,6985,8255}= 5
mc[7]={889,4445,6223,9779}= 3
mc[11]={1397,6985,9779}= 1
mc[13]={1651,8255}= 1
mc[17]={2159}= 1


* En mc[5] no indicamos cuántos múltiplos comunes tiene el primo 5 en el Rango(10.000) no teniendo ninguno, pues sabemos que no hay primos que le anteceden, sino indicamos los múltiplos comunes que tiene el primo 5 con el primo 127, siendo estos 5 y cómo determinamos esto? Muy simple, como dijimos con la SMD pasándole en este caso no un "nb primo", sino un "nb compuesto" el cual es [texx]m=5\cdot{}127=635[/texx] donde con [texx]SMD[635][/texx] nos determina los múltiplos que tiene en el rango, siendo que en este caso, al pasarle un natural compuesto, este se incluye entre los múltiplos determinados.
→ Ahora, en mc[7] con SMD[7*127=889] se determinan 4 múltiplos, de los cuales 4445 es un múltiplo común que está en mc[5] y como estamos determinando múltiplos comunes con el primo 127, resulta que 4445 es múltiplo común y común, razón por el cual los denomino como "Múltiplos Multi-comunes" siendo mas complejo determinarlos, desde los múltiplos de 127, algo que tú haces Feriva, en el Conjunto de Números Naturales e iniciando desde los naturales compuestos pares, dandole importancia al Sprimo 2, importancia que como ves no la tiene.

* Bueno continuando... el primo 7 tiene mc[7]=3 múltiplos en común con 127, el siguiente tiene mc[11*127]=3 múltiplos siendo 6985 común con mc[5] y 9779 común con mc[7] por lo que mc[11]=1 un solo múltiplo común con 127.
→ El primo 13 tiene mc[13*127]=2 de los cuales 8255 es común con mc[5] resultando tener solo un múltiplo común y ya con los siguientes primos, encontramos que todos estos tienen mc[p]=1 un solo múltiplo en común con 127, pudiendo salir del proceso, adicionando a la sumatoria de múltiplos comunes, la cantidad de primos dados hasta la raíz cuadrada del rango... verdad?  Otra vez esto sería errado el hacerlo y/o considerarlo, puesto que resulta que el ultimo primo que conforma un múltiplo con 127 es 73 y el ultimo "nb" es 77 ya que dividiendo [texx]\displaystyle\frac{10000}{127}=78[/texx] lo que no nos dice nada, respecto a los múltiplos que tiene en el rango, tan solo que es el limite del ultimo "nb" ó primo a considerar la cuantificación de múltiplos propios, aplicando la ecuación: [texx]mp=mg-mc[/texx]

◘ Ahora aplicamos la ecuación, donde los múltiplos comunes de 127 son [texx]mc=(5+3+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=25[/texx] por lo que tiene [texx]mp=25-25=0[/texx] múltiplos propios ó múltiplos no repetidos en el Rango(10.000) lo que confirma de algún modo, el criterio apriori que tuvimos al principio.


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« Respuesta #177 : 02/05/2016, 02:56:21 pm »


Hola, Víctor, buenos días.

Cita

 El 2 que es divisor universal de los naturales pares, como un "primo origen" ?  :sorprendido:  qué ocurrencia la tuya


De la forma que yo lo hago, desde luego, es un lío quitar los múltiplos de 6 de golpe:

Si tenemos, por ejemplo, hasta 500, y dividimos entre 6, nos queda la cantidad de  83 múltiplos de 6; como cada múltiplo de 6 tiene a cada lado un [texx]6n\pm1 [/texx], la cantidad de este tipo de números en los primeros 500 números será [texx]2*83=166[/texx] (la cantidad de los que tú defines como números base).



Ahora vamos a ver cuántos múltiplos de 5 hay en 166:

[texx]166/5=33[/texx]

y en 500 hay [texx]500/5=100[/texx]

no hay los mismos.

Y si lo hacemos con 7, 11... pasa igual, y  tampoco encuentro la cantidad de múltiplos de 7 que hay en 500... Qué ocurre, es obvio, entre esos múltiplos de 6 que he quitado de golpe hay también múltiplos de 5, 7... y al final tendré que tenerlo en cuenta.
Es mucho más cómodo, al menos haciéndolo a mano (porque un ordenador... que sude él) empezar desde el principio, mucho más metódico y ordenado tener en cuenta el número más pequeño, después el siguiente... etc.



Cuando decía el “origen de los números” no pasaba por mi cabeza tu teoría, de de verdad te lo digo, te doy mi palabra, perdona si te ha molestado. Usé esa palabra porque me salió así y pensando en esto que te acabo de decir; los números van unidos unos a otros. Tú puedes pensar “quito el 2”, pero no lo quitas, porque el 2 no sólo un símbolo que hay al principio con el 1 detrás, es una distancia, la distancia que existe, por ejemplo, entre 5 y 7; ¿realmente prescindes del 2?  No, no se puede prescindir de ningún número, otra cosa es poner nombres a las cosas, pero en esto no se puede inventar nada verdaderamente nuevo; sí pueden unir ideas ya inventadas y, quizá, con eso llegar a algo interesante.
Los números nos son objetos aislados, van de aquí hasta allá, y luego se repiten, modularmente, por eso no puedes quitar ningún número en estas cuestiones. 


 ….
Tenía esto ya escrito; es lo último ya sobre el tema del postulado y demás, no merece la pena abrir un hilo nuevo:

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En esa imagen ves un múltiplo cualquiera de (0,n) que se multiplica dejando unos puntos donde estarán, claro, sus múltiplos. Ambos intervalos, en realidad, están unidos, las distancias no son independientes, están relacionadas en ambos como se ve bien en esa animación.

Los puntos rojos de (0,n) tienen como imagen otros puntos rojos en el intervalo (n,2n).

 Pueden entrar todos los múltiplos que quieras de 11, de 71.., del primo que quieras, pero cada uno irá en los puntos de su color (imagina que hay verdes, azules...) Un múltiplo de 23 que sea par, irá en las casillas comunes de ambos, pero si no es múltiplo de 5 (y aquí está la calve, si no es múltiplo de un cierto primo[/b]) por ejemplo, no irá en las casillas de los múltiplos de 5.
Y hay colores para cada uno de los números que existen en (0,n).

El 1 tiene muchos múltiplos, pero no puede ir en las casillas rojas de los múltiplo de 2, porque no es par, no es su distancia, en esos puntos no encontraremos su imagen. Tampoco es múltiplo de 3 ni de ningún otro; pero tiene que tener al menos una imagen que ocupe su correspondiente lugar; y la tiene, pero con un color especial, con un color sólo para él.

Esas rayas rojas o del color que sea son multiplicaciones, no divisiones, multiplicando es cómo extendemos los múltiplos por esos dominios. Y el 1 es divisor de todos, pero múltiplo de ninguno; y eso es lo que se uso.

Sea esto una “demostración sintética” del postulado de Bertrand; asumirla o no depende un poco de la visión de cada uno, no es como una demostración formal por reducción al absurdo o algo así.

 
…......


También empecé a escribir esto; no está acabado, pero lo que puedo terminar añadiendo es previsible, tampoco merece la pena decir más; te lo pongo porque ya lo tenía escrito:


Cualquier múltiplo de [texx](0,n)[/texx] (compuesto con los primos de este intervalo e incluidos los propios primos) se puede expresar como el producto de dos números.

Es cierto que pueden ser múltiplos de más de dos primos, pueden ser por ejemplo el producto de tres o más números [texx]a*b*c*d[/texx], pero en ese caso podemos asociar así [texx]a*(b*c*d)[/texx] y [texx](b*c*d)[/texx] siempre será otro número de [texx](0,n)[/texx], de lo contrario el producto [texx]a*(b*c*d)[/texx] sería mayor o igual que “2n” y no pertenecería a [texx](n,2n)[/texx].

Por otro lado, en [texx](0,n)[/texx] entra una cantidad de [texx](n-2)[/texx] múltiplos, debido a que 1 no es múltiplo de ningún primo; supongamos cualquier caso para ilustrarlo, “n=7”; entonces:

[texx]1,2,3,4,5,6(7)[/texx]; [texx]n-1=6[/texx]

y los múltiplos de los primos que hay ahí, son: [texx]card\,|2,3,4,5,6|=5[/texx] o sea [texx]n-2[/texx].

Por tanto, para ir viendo las combinaciones que caben en [texx](n,2n)[/texx], en principio podemos por empezar por ver cuántas combinaciones con repetición de dos elementos (factores de cualquier compuesto) podemos formar  con los [texx]n-2[/texx] múltiplos que haya en el intervalo [texx](0,n)[/texx].

En este caso particular, con dos elementos nada más, se puede usar la fórmula de las combinaciones sin repetición y sumarles la cantidad [texx](n-2)[/texx], que nos da la cantidad de combinaciones con repetición; para mí es más “descriptivo” que usar directamente la fórmula de las combinaciones con repetición:

[texx]\dfrac{(n-2)!}{2(n-2-2)!}+(n-2)[/texx]

(en realidad el 2 del denominador es 2 factorial, pero en este caso no hace falta ni escribirlo porque es lo mismo)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Por qué digo que para mí es más descriptivo hacerlo así, pues porque le doy sentido de forma más fácil; pongo un ejemplo:

[texx](0)1,2,3,4,(5),6,7,8,9,(10)[/texx]

Tenemos los múltiplos [texx]2,3,4[/texx], que hacen la cantidad [texx]n-2=5-2=3[/texx] tres múltiplos.

Para combinarlos sin repetición, basta tomar el primero y asociarlo a los siguientes...

[texx](2,3);(2,4)[/texx]

Después con el segundo se hace lo mismo (se combina con los siguientes, mayores, porque el primero ya está asociado con el segundo de antes)

[texx](3,4)[/texx]

Y aquí ya está, sólo nos queda uno, el 4, y no hay siguiente para formar pareja; en otro caso, con más números, seguiríamos el mismo procedimiento (ya te lo expliqué por ahí).

Las repeticiones son los cuadrados de cada elemento, como hay [texx](n-2)[/texx] elementos, pues sumamos [texx](n-2)[/texx] y ya tenemos las combinaciones con repetición.

Hacemos lo dicho, añadimos a ésos de antes las repeticiones:

[texx](2,2);(3,3);(4,4)[/texx]

En total tenemos 6 combinaciones con repetición; luego este caso [texx](n-2=5-2=3)[/texx]; hay tres de más, tres que, por ser representantes del mismo número o por ser grandes, no entran.

Como [texx]n-2= 3[/texx] y hay 6 productos posibles, los tres que entren en [texx](n,2n)[/texx] serán los valores del centro, los centrados (esto ya lo expliqué para otra cosa).

En principio, al sobrar tres, que es impar (6-3=1+2=2+1) el primer valor que podrá entrar, ordenando los productos de las combinaciones de menor a mayor, sera o bien el segundo (quitando uno de la derecha, el primero) o bien el tercero (quitando dos de la derecha, hasta el segundo). Es decir, puede sobrar uno por la derecha o dos por la izquierda o viceversa; en este caso sobra uno por la derecha y, entonces, tendrán que sobrar dos por la izquierda; vamos a verlo:

Ordenamos los productos según hemos combinado los números:

[texx](2*2);(2*3);(2*4);(3*3);(3*4);(4*4)[/texx]

Así pues, el primero en entrar será el 6 o el 8 (que aquí lo vemos directamente, es el 6). En general, con un intervalo más grande, bastará probar a mano con las posibles “sobras” (como siempre conocemos el valor de “n” según qué intervalo estudiemos, pues no hay problema). Además, si la cantidad que sobra es par, no hay que hacer esta operación, porque lo que sobra a un lado y otro está igualado.

Viendo ya que entra el segundo por la derecha, por el otro lado sobrarán dos, dos que no entran; y son los productos de las últimas combinaciones según el orden, los dos de mayor valor: 12 y 16.

Efectivamente, los productos que entran son entonces 6, 8 y 9; y en este caso particular no hay productos distintos (siempre de combinaciones diferentes) que den un mismo número; cosa que podrá pasar más en general; y entonces habrá que quitar esos productos repetidos.

Y ahora se ve bien lo que quería que se viera; en los dos intervalos hay [texx](n-2)[/texx] múltiplos, pero hay un lugar mas, [texx](n-1)[/texx] lugares (debido al 1 y a su falta de multiplicidad) con lo cual, el lugar que falta se llena con un número que no puede ser ningún producto de ninguna combinación posible (porque ya hemos visto que no caben) y ese número es el 7; uno que no es múltiplo de los del intervalo [texx](0,n)[/texx].




Aunque sea un ejemplo particular, la fórmula de las combinaciones que se usa no es particular; el que entren los valores más centrados de los productos ordenados que dan esas combinaciones tampoco es particular, sirve para cualquier “n”. El que nunca pueda haber mayor cantidad de múltiplos posibles que los que dan esos valores centrados, no es particular;  sí podría haber menos cantidad de múltiplos (por dar esos productos un mismo número) pero nunca más.

Como ves, esto lo podemos usar para elaborar un método para contar los compuestos posibles de [texx](n,2n)[/texx] y, con ello, los primos; pero será largo.
...


Y ya he terminado de dar el rollo; espero entonces a ver ese método de factorización.


Un cordial saludo.

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Víctor Luis
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« Respuesta #178 : 04/05/2016, 06:53:32 am »

Buenos Días Feriva...



Cita
Como ves, esto lo podemos usar para elaborar un método para contar los compuestos posibles de (n,2n) y, con ello, los primos; pero será largo.

• Pero si contar compuestos no es una posibilidad, es un hecho y con resultados exactos, por eso, reiteradamente te fui indicando la metodología que empleo, para que de ahi saques los principios y/o criterios y lo apliques al desarrollo de tu demostración.

* Con el criterio que aplicas para contar compuestos, que a mi modo de ver es "lineal", digo esto porque analizas un rango pequeño y las conceptualizaciones que sacas lo generalizas para cualquier rango que se dé, lo que no me parece, porque los múltiplos de un primo no solo se obtienen dividiendo el rango entre el primo, lo que serían los "mg" sus múltiplos en general, donde si fuera el primo 5 que no tiene primos que le anteceden, podemos asegurar que esos son los múltiplos que tendrá.
→ Pero como se dan mas primos, al 7 le antecede: [5], al 11 le anteceden: [5,7,{5,7}], al 13 le anteceden: [5,7,{5,7},11,{5,11},{7,11},{5,7,11}] y asi con los demás primos que se van dando, donde como podrás observar, es una combinatoria secuencial, referente a los múltiplos de los primos, que inicialmente son no repetidos; pero de estos se irán dando los múltiplos repetidos, algo que tu metodología de combinatoria, supongo, debe considerar, ya que lo validas directamente.
→ El asunto no está en determinar la cantidad de múltiplos repetidos solamente para restarlos a los múltiplos en general (no repetidos) que se determinó inicialmente, sino descontar entre los múltiplos repetidos, ajustando este valor y recién restar a los múltiplos en general, teniendo asi la cantidad exacta de múltiplos que tiene un primo, ya sea en (0,n) ó en (n,2n) algo que necesitar, por lo menos, saber son precisión, para conjeturar a priori, si Bertrand se cumplirá o no y las razones del por qué lo haría y no lo haría, buscando las respuestas para cada caso.

* En algunas publicaciones, observo demostraciones que se dan por reducción al absurdo, donde si no es posible algo, se concluye que es cierto... y es que acaso para validar a una persona que dice verdades, el demostrar que es absurdo que mienta lo certifica como tal?
→ Por ejemplo, como ya dije, el "2" no es primo y según los enunciados del TFA y sin emplear esta demostración por reducción al absurdo... me puedes demostrar tácitamente que el "2" si es número primo ?... No porque en el idioma de antes, primo significa o quiere decir primero, al 2 se le daría como primo, las reglas deben aplicarse para este y los demás primos y si recurres a que es divisible entre 1 y si mismo, debes comprobar y/o demostrar que los naturales en el intervalo (1,2) no dividen a 2... espero conocer a esos naturales...

* Asi mismo, si el 2 es primo, siendo par, donde el resto de universo de primos son naturales impares, debes comprobar y demostrar que también se dan primos pares a parte del 2. Por ultimo, entre los primos se dan los primos gemelos, distantes o separados por un natural, debiendo también explicar y demostrar, que [texx]q=2+2[/texx] es primo, algo que hasta el Sprimo 3 podríamos decir que cumple, ya que [texx]q=3+2[/texx] es primo y de este [texx]q=5+2[/texx] también es primo...
→ De acuerdo a esto que demuestres tácitamente, podré decir que la metodologia de primalidad estructural está mal, lo que sería curioso, ya que los primos de hasta 1250 digitos cumplen y no asi, el Sprimo 2... millardos de primos y no asi el 2... es razonable esto ?




◘ Sobre la Factorización con Divisores Seleccionados, es totalmente válido, no hay un natural impar compuesto, del Conjunto FV, que entre los naturales seleccionados, no se den los divisores específicos del compuesto.

* Según comprendo, esto se relaciona con lo que se dice es la factorización por fuerza bruta, empleando primos como divisores, pues con seguridad que daremos con el divisor específico del compuesto, lo que para un compuesto grande, esto sería muy complejo y no se bien, si la metodlogía como tal se denomina asi como fuerza bruta, para abrir el hilo y poner adecuadamente el titulo... es lo que te consultaba.
→ Sobre esto, hay muchas interrogantes que deseo consultarte, como también el que se estime el tiempo de factorización por fuerza bruta para compuestos de hasta 30 digitos, ya que después no tenemos como estimar los primos que se dan hasta su raiz de 15 digitos, necesitando esto, para estimar el tiempo que llevaría el factorizar con todos esos primos, y comparar con los que solo fueron seleccionados como divisores potenciales, que desde luego, son escasamente muy pocos, donde la selección de divisores lo haremos desde el principio ó desde la raiz cuadrada del compuesto... y asi, en base a ejemplos y evaluaciones, espero podamos ir analizando nuestros criterios sobre esta metodología de factorización.



Saludos...
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« Respuesta #179 : 04/05/2016, 08:28:29 am »

Hola, Víctor, buenos días.


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Cita
Sobre la Factorización con Divisores Seleccionados, es totalmente válido, no hay un natural impar compuesto, del Conjunto FV, que entre los naturales seleccionados, no se den los divisores específicos del compuesto.

* Según comprendo, esto se relaciona con lo que se dice es la factorización por fuerza bruta, empleando primos como divisores, pues con seguridad que daremos con el divisor específico del compuesto, lo que para un compuesto grande, esto sería muy complejo y no se bien, si la metodlogía como tal se denomina asi como fuerza bruta, para abrir el hilo y poner adecuadamente el titulo... es lo que te consultaba.
→ Sobre esto, hay muchas interrogantes que deseo consultarte, como también el que se estime el tiempo de factorización por fuerza bruta para compuestos de hasta 30 digitos, ya que después no tenemos como estimar los primos que se dan hasta su raiz de 15 digitos, necesitando esto, para estimar el tiempo que llevaría el factorizar con todos esos primos, y comparar con los que solo fueron seleccionados como divisores potenciales, que desde luego, son escasamente muy pocos, donde la selección de divisores lo haremos desde el principio ó desde la raiz cuadrada del compuesto... y asi, en base a ejemplos y evaluaciones, espero podamos ir analizando nuestros criterios sobre esta metodología de factorización.

Respecto de esta cuestión se me ocurre una idea que quizá podría acortar bastante.

Tú no tiene problema para averiguar sin un número de 200 cifras o así es primo, tu programa lo hace en un tiempo despreciable (es así, ¿no?). Bien pues si es así mi proposición es que pruebes esto:

Para ilustrarlo tomemos cualquier número impar, 9, por ejemplo.

0,1,2,3,4 _ 5,6,7,8,9

Voy a emplear mi idea de los simétricos pero con impares.

Tal como puedes observar, tenemos las sumas

 [texx]0+9=9;\,1+8=9[/texx] etc.

Fíjate en la suma [texx]3+6=9[/texx]; ocurre que no son coprimos con 9, es decir, ambos tienen un divisor común, el 3; 3 dividie al número “n” que hemos tomado.

Cuando sean coprimos nunca pasará esto.

Si el número del primer intervalo es primo (y no coprimo con “n”) dividirá siempre a su compañero (como en el caso del ejemplo, 3 divide a 6).

El último número del primer intervalo es la parte entera de “n/2=k” (le llamo “k” por darle algún nombre).

Y “k” es tal que [texx]k+m=n[/texx], donde “m” es simétrico y muy fácil de hallar para el ordenador simplmente usando esa ecuación.

Entonces, podrías hacer un programa que fuera tomando los valores “k”, “k-1” etc y hallando así las parejas de simétricos.

A la vez, el programa ha de ir verificando si el “k” que toque es primo; si no, se lo salta. Cuando ve que sí lo es, prueba a hacer la división con su simétrico y si el resto no es cero se lo salta.

Cuando encuentre un resto cero, ese “k” será un factor de “n”.

Tiene una pequeña ventaja (quizá demasiado pequeña como para que sea práctica) y es que el número “m” es más pequeño que “n” y más fácil de dividir. Por otra parte, cuando “k” es compuesto en vez de primo se descarta directamente y no se hace la división.

Y, no hace falta decirlo, pero lo digo, se puede hallar la raíz de "n" para buscar un "k" que ya pueda dividir a "n", claro; y otras cosas más que veas que pueden abreviar

No sé, es una idea (que seguramente estará bien para tirar a la basura porque será muy lenta :sonrisa: ) pero ahí queda por si te lleva a otra idea mejor.

*En cuanto a lo del hilo haz como tú veas, no hay problema en abrir otro supongo.


Quizá podría ser mejor esto: hallas la parte entera de la raíz y el número “k” por el que empezar. En vez de despreciar los compuestos del primer intervalo como divisores, lo que haces, por el contrario, es saltarte los casos en los que el simétrico del segundo intervalo sea primo; entonces la pareja será de coprimos seguro.

Y divides usando todos los números "k", "k-1"... Si llegas a un compuesto que divide a otro del otro lado, ese compuesto es factor de “n”; con lo que ya tienes un número más pequeño que será más fácil de factorizar en primos.
Creo que así se mejora el método, ya que, al ir tomando primero los divisores más grandes (según hacemos en el método empezando por los “k” y luego quitándoles unidades) supongo que es más probable encontrar primero un divisor compuesto.  Prueba a ver (y no quites los pares, porque fíjate que los pares aquí son fundamentales).


Un cordial saludo.
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