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Autor Tema: Punto Nagel e Incentro  (Leído 1081 veces)
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Dpride
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« : 20 Febrero, 2016, 19:42 »

Demostrar que el punto Nagel del triángulo medial y el incentro del triángulo coinciden.
Nota:El punto Nagel es aquel formado por los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas y el vértice opuesto del respectivo lado donde se encuentre el punto de tangencia de dicha círcunferencia exinscrita.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 28 Enero, 2017, 09:34 »

En la figura y en el fichero GeoGebra que se adjunta, y que también puede verse en http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Nagel_punto.html, se demuestra algo equivalente: Que el punto de Nagel [texx]Na[/texx] de [texx]△ABC[/texx] es el incentro de su triángulo antimedial, [texx]△A''B''C''[/texx].



1. [texx]C[/texx] es el centro de homotecia directa de las circunferencias [texx]c_C[/texx] y [texx]c_i[/texx], en la que [texx]\overline{C'I_C}[/texx] y [texx]\overline{D'I}[/texx]
son segmentos homólogos [texx]⇒[/texx] son [texx]∥[/texx] entre si y [texx]⊥[/texx] a [texx]\overline{AB}[/texx].

2. En el [texx]△D'DC'[/texx], [texx]\overline{IM_c}[/texx] es la paralela media al lado [texx]\overline{D'C'}[/texx] ⇒ [texx]\overline{IM_c} ∥ \overline{CC'}[/texx].

3. La homotecia de centro [texx]G[/texx] y razón -2 lleva [texx]△ABC[/texx] en [texx]△A''B''C''[/texx] y [texx]M_c[/texx] en [texx]C ⇒[/texx]
el incentro de [texx]△A''B''C''[/texx] está en [texx]\overline{CC'}[/texx], y a su vez en  [texx]\overline{AA'}[/texx] y [texx]\overline{BB'}[/texx], y por tanto es [texx]Na[/texx].

* Nagel_punto.ggb (10.72 KB - descargado 33 veces.)
* NagelIncentro_Antimedial.JPG (41.88 KB - descargado 241 veces.)
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
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