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Autor Tema: Sucesión de números reales  (Leído 780 veces)
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Edison
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toi et moi


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« : 20/02/2016, 05:38:54 pm »

Buenas Tardes,

Se dice que [texx](x_n)[/texx] es una sucesión de Cauchy cuando, para todo [texx]\epsilon >0[/texx], existen [texx]n_0\in \mathbb{N}[/texx] tal que
[texx]m,n > n_0 ⇒|x_m−x_n|< \epsilon[/texx].
(a) Pruebe que toda sucesión de Cauchy está acotada.
(b) Pruebe que una sucesión de Cauchy no puede tener dos valores de adherencia distintos.
(c) Pruebe que una sucesión [texx](x_n)[/texx] es convergente si, y solo si, es de Cauchy.

No puedo empezar el ejercicio.

Saludos
Edison
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 20/02/2016, 06:12:06 pm »

Para el a):

Toma [texx]\epsilon= 1[/texx] existirá un [texx] n_0 \in \mathbb{N} [/texx] tal que para todo [texx] m,n \geq n_0 [/texx] se tiene [texx]|x_m - x_n| < \epsilon [/texx]

Entonces tienes que para todo [texx] m \geq n_0 [/texx] se tiene [texx] |x_m-x_{n_0}| < \epsilon [/texx] intenta acotar la sucesión.

Para el b):

Supón que tiene dos puntos de de adherencia [texx] x_1 , x_2 [/texx] sea [texx] d = |x_1 - x_2| [/texx] toma ahora [texx] \epsilon = \dfrac{d}{4} [/texx] existira un [texx] n_1 [/texx]

Tal que para todo [texx] m,n \geq n_1 [/texx] se tiene [texx] |x_m - x_n| < \epsilon [/texx].

Por ser [texx] x_1 [/texx] adherente existira un valor de la sucesión [texx] x_p [/texx] con [texx] p \geq n_1 [/texx] tal que [texx] |x_p - x_1| < \epsilon [/texx]

Por ser [texx] x_2 [/texx] adherente existira un valor de la sucesión [texx] x_q [/texx] con [texx] q \geq n_1 [/texx] tal que [texx] |x_q - x_2| < \epsilon [/texx]

Mira que pasa ahora con [texx]|x_1-x_2| = |x_1 - x_p + x_p - x_q + x_q -x_2| \leq   [/texx]....

Para el c):

Por ser [texx]\{x_n\}_{n=1}^{+\infty} [/texx] acotada tiene una subsucesión convergente [texx]\{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty} [/texx]

Sea [texx]\displaystyle \tau = \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} [/texx]

Dado [texx] \dfrac{\epsilon}{2} [/texx] existirá un [texx] n_3 \in \mathbb{N} [/texx] tal que si [texx] n \geq n_3 [/texx] entonces [texx]|x_{k_n}-\tau| < \dfrac{\epsilon}{2} [/texx].

Por ser de Cauchy dado [texx] \dfrac{\epsilon}{2} [/texx] existirá un [texx] n_0 \in \mathbb{N} [/texx] tal que para todo [texx] m,n \geq n_0 [/texx] se tiene:

Editado
[texx]\color{red} |x_m-x_n| < \dfrac{\epsilon}{2} \color{black}[/texx]

Mira ahora para [texx] n \geq max(n_0,n_3) [/texx] :

[texx]|x_n - \tau| = |x_n - x_{k_n} + x_{k_n} - \tau| \leq [/texx] ....

También se puede usar que sólo tiene un punto de adhrencia.

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