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Autor Tema: Conexo por caminos  (Leído 698 veces)
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catpe
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« : 17/02/2016, 05:57:24 am »

Un favor, como hacer este problema: ¿ Es el conjunto [texx]\mathbb{R}^{2} - \mathbb{Q}^{2}[/texx] conexo por caminos? (Justificar)

Gracias
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 17/02/2016, 06:30:17 am »

Hola

Un favor, como hacer este problema: ¿ Es el conjunto [texx]\mathbb{R}^{2} - \mathbb{Q}^{2}[/texx] conexo por caminos? (Justificar)

Dados los puntos [texx](x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X=\mathbb{R}^{2} - \mathbb{Q}^{2}[/texx].

Supón que [texx]x_1[/texx] es irracional:

- Si [texx]y_2[/texx] es irracional, entonces la poligonal [texx](x_1,y_1)\to (x_1,y_2)\to (x_2,y_2)[/texx] está en [texx]X[/texx].

- Si [texx]x_2[/texx] es irracional, entonces la poligonal [texx](x_1,y_1)\to (x_1,\sqrt{2})\to (x_2,\sqrt{2})\to (x_2,y_2)[/texx] está en [texx]X[/texx].

Análogamente si [texx]y_1[/texx] es irracional.

Saludos.

P.D. Con un argumento un poco más sofisticado, incluso puede probarse que el complementario de un subconjunto numerable del plano siempre es conexo por caminos. En el fondo la idea es que dados dos puntos del plano existe una cantidad no numerable de caminos disjuntos (salvo en los extremos) que los unen.
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