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Autor Tema: Homeomorfismo entre la esfera y el plano sin el orígen de forma general.  (Leído 1080 veces)
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lindtaylor
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« : 26/01/2016, 05:50:18 pm »

En Kosniowski, piden probar que si [texx]X:=\mathbb{R}^{n+1}\setminus\left\{0\right\}[/texx] y [texx]Y:=S^n[/texx] tienen la topología del subespacio de [texx]\mathbb{R}^{n+1}[/texx] con la topología usual, entonces la función [texx]f:\mathbb{R}^{n+1}\setminus\left\{0\right\}\to S^n[/texx] definida por[texx] f(x)=x/||x||[/texx] es continua.

Sé que se debe partir así.
Sea O abierto en Y en la topología inducida, es decir, existe U abierto en [texx]\mathbb{R}^{n+1}[/texx] tal que [texx]O=U\cap Y.[/texx]
Se necesita ahora ver que [texx]f^{-1}(O)[/texx] es abierto en X, es decir, que exista V abierto en [texx]\mathbb{R}^{n+1}[/texx] tal que [texx]f^{-1}(O)=V\cap X[/texx], es decir, que [texx]\left\{x\in X: x/||x||\in U\cap  Y\right\}=V\cap X[/texx] para algún V adecuado.  Hasta acá llego no sé que V tomar...




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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 26/01/2016, 06:59:57 pm »

Hola

En Kosniowski, piden probar que si [texx]X:=\mathbb{R}^{n+1}\setminus\left\{0\right\}[/texx] y [texx]Y:=S^n[/texx] tienen la topología del subespacio de [texx]\mathbb{R}^{n+1}[/texx] con la topología usual, entonces la función [texx]f:\mathbb{R}^{n+1}\setminus\left\{0\right\}\to S^n[/texx] definida por[texx] f(x)=x/||x||[/texx] es continua.

Sé que se debe partir así.
Sea O abierto en Y en la topología inducida, es decir, existe U abierto en [texx]\mathbb{R}^{n+1}[/texx] tal que [texx]O=U\cap Y.[/texx]
Se necesita ahora ver que [texx]f^{-1}(O)[/texx] es abierto en X, es decir, que exista V abierto en [texx]\mathbb{R}^{n+1}[/texx] tal que [texx]f^{-1}(O)=V\cap X[/texx], es decir, que [texx]\left\{x\in X: x/||x||\in U\cap  Y\right\}=V\cap X[/texx] para algún V adecuado.  Hasta acá llego no sé que V tomar...

Pero la situación es mucho más general y de hecho sencilla.

Si tienes una función continua entre dos espacios topológicos [texx]f:X\longrightarrow{}Y[/texx] entonces la restricción  [texx]f':X\longrightarrow{}Z\subset Y[/texx],[texx] f'(x)=f(x)[/texx], con [texx]Z[/texx] tal que [texx]Im(f)\subset Z[/texx] es continua.

Basta tener en cuenta que dado [texx]U[/texx] abierto en [texx]Z[/texx] existe un abierto [texx]U'[/texx] en [texx]Y[/texx] tal que [texx]U=Z\cap U'[/texx] y:

[texx]f'^{-1}(U)=f'^{-1}(U'\cap Z)=f^{-1}(U')[/texx]

donde la última igualdad es cierta porque [texx]Im(f)\subset Z[/texx].

Como [texx]f[/texx] es continua,[texx] f^{-1}(U')[/texx] es abierto.

En tu caso la función [texx]f:R^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow{}R^{n-1},[/texx] [texx]f(x)=x/\|x\|[/texx]  es continua por ser composición y producto de funciones continuas; la restricción en la imagen (por lo que acabamos de ver) a [texx]S^n[/texx] sigue siendo continua.

Saludos.

P.D.Por cierto la aplicación es continua pero no un homeomorfismo; lo digo por el título del mensaje.
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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 27/01/2016, 01:34:15 am »

Entiendo. Pero si tengo la función [texx]f:R^n\color{red}\setminus \{0\}\color{black}\to R^n[/texx] con [texx]f(x)=x/||x||[/texx] con [texx] R^n [/texx]con la topología usual con métrica d, y quiero probar que f es continua usando abiertos lo que tengo es algo así:

Sea O abierto en [texx]\mathbb{R}^n.[/texx]
Necesito probar que[texx] f^{-1}(O) [/texx]es abierto en [texx]\mathbb{R}^n[/texx].
Es decir, que dado [texx]y\in f^{-1}(O)[/texx], exista r>0 tal que [texx]B(f(y),r)\subset f^{-1}(O),[/texx] equivalente a que [texx]f(B(y,r))\subset O [/texx]lo que se debe probar.

Ahora como [texx]y\in f^{-1}(O), f(y)\in O[/texx] y [texx]O[/texx] al ser abierto, existe [texx]r'>0[/texx] tal que [texx]B(f(y),r')\subset O.[/texx]
Por tanto, debo demostrar de alguna forma que cuando [texx]B(f(y),r')\subset O[/texx], se tenga que  [texx]f(B(y,r))\subset O[/texx] con un r adecuado.
Para aquello, se debe probar que [texx]f(B(y,r))\subset B(f(y),r')[/texx] para así concluir lo pedido. (Lo cual es la definición de continuidad cuando se sabe que f es continua de antemano).

Para lo anterior, sea [texx]f(z)[/texx] con [texx]d(z,y)<r[/texx] con un r adecuado para que funcione lo que viene después.
Se debe tener que [texx]d(f(z),f(y))<r'[/texx]. Es decir, que [texx]d(z/|z|,y/|y|)<r'.[/texx]

De lo anterior, necesito probar que si d(z,y)<r algún r adecuado entonces [texx]d(z/|z|,y/|y|)<r'[/texx], lo cual no sé como demostrar.


Pd. Me falto tomar el dominio sin el cero para que no se indefina la función pero no afecta a lo que necesito.

CORREGIDO.
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« Respuesta #3 : 27/01/2016, 06:07:14 am »

Hola

Entiendo. Pero si tengo la función [texx]f:R^n\color{red}\setminus \{0\}\color{black}\to R^n[/texx] con [texx]f(x)=x/||x||[/texx] con [texx] R^n [/texx]con la topología usual con métrica d, y quiero probar que f es continua usando abiertos lo que tengo es algo así:

¿Pero te obligan a demostrar la continuidad por definición? ¿Es algún tipo de castigo o tortura al qué quieren somerte?.

El prodedimiento usual para demostrar la continuidad de funciones entre espacios métricos [texx]R^k[/texx] con la topología usual, es utilizar que la continuidad de las funciones elementales es conocidas y ciertos teoremas conocidos sobre continuidad:

- La suma, resta y producto de funciones continuas es continua.
- El cociente de una función continua por otra que no se anula es continua.
- La composición de funciones continuas es continua

En tu caso:

- La función [texx]f_1:R^{n}\setminus \{0\}\rightarrow{}R^n,\quad f_1(x)=x[/texx] es continua por ser la inclusión.
- La función [texx]f_2:R^{n}\setminus \{0\}\rightarrow{}R^n,\quad f_2(x)=\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}[/texx] es continua por ser composición de una función continua (raiz cuadrada) con suma de funciones continuas (las proyecciones al cuadrado, que son a su vez producto de funciones continuas).
- La función [texx]f_1:R^{n}\setminus \{0\}\rightarrow{}R^n,\quad f(x)=x/\|x\|=f_1(x)/f_2(x)[/texx] es continua por ser cociente de funciones continuas, no anulándose el denominador.

Saludos.
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