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Autor Tema: 2 ejercicios sobre caminos.  (Leído 1263 veces)
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« : 21/01/2016, 11:51:30 pm »

   1.Dar ejemplos de caminos f,g,h en algún espacio X tales que f(1)=g(0), g(1)=h(0) y que:
   
  i) [texx](f*g)*h\neq{f*(g*h)}[/texx]

  i)) [texx](f*g)*h=f*(g*h)[/texx]


   2.  Dar una demostración directa del resultado [texx]\epsilon_f(0) * f\sim{f*\epsilon_f(0)}[/texx]


   No sé cómo resolverlo, me sería de gran ayuda. Gracias
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Si alguien me invita a forocoches, se lo agradecería.
elmoreno
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« Respuesta #1 : 22/01/2016, 07:59:05 pm »

   1.Dar ejemplos de caminos f,g,h en algún espacio X tales que f(1)=g(0), g(1)=h(0) y que:
  
  i) [texx](f*g)*h\neq{f*(g*h)}[/texx]

  i)) [texx](f*g)*h=f*(g*h)[/texx]


Es sencillo encontrar el contraejemplo a la asociatividad del producto de caminos: Considera caminos [texx]a,b,c:I\rightarrow{X}[/texx] tales que: [texx]a(1)=b(0)[/texx] y [texx]b(1)=c(0)[/texx]. De la definición de producto se tiene:

[texx](a*b)*c(s)=\begin{cases} a*b(2s) & \text{si}& s\in{[0,\displaystyle\frac{1}{2}]}\\c(2s-1) & \text{si}& s\in{[\displaystyle\frac{1}{2},1]}\end{cases}=\begin{cases}{ a(4s)}&\text{si}& s\in{[0,\displaystyle\frac{1}{4}}\\b(4s-1) & \text{si}& s\in{[\displaystyle\frac{1}{4},\displaystyle\frac{1}{2}]}\\c(2s-1) & \text{si}& s\in{[\displaystyle\frac{1}{2},1]}\end{cases}[/texx]

De la misma forma puedes mostrar que

[texx]a*(b*c)(s)=\begin{cases}{ a(2s)}&\text{si}& s\in{[0,\displaystyle\frac{1}{4}]}\\b(4s-2) & \text{si}& s\in{[\displaystyle\frac{1}{4},\displaystyle\frac{1}{2}]}\\c(4s-3) & \text{si}& s\in{[\displaystyle\frac{1}{2},1]}\end{cases}[/texx]

Observa que [texx]a*(b*c)[/texx] y [texx](a*b)*c[/texx] se están recorriendo a distintas velocidades y por tanto en general no son iguales (construye tu propio caso dadas estas indicaciones).

Puedes tomar para mostrar la igualdad cuando los caminos vayan todos a un mismo punto [texx]x_{0}\in X[/texx].

  
   2.  Dar una demostración directa del resultado [texx]\epsilon_f(0) * f\sim{f*\epsilon_f(0)}[/texx]


Qué denota [texx]\epsilon_f(0)[/texx]? El camino constante a [texx]f(0)[/texx]?
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elmoreno
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« Respuesta #2 : 23/01/2016, 12:16:25 pm »

  
   2.  Dar una demostración directa del resultado [texx]\epsilon_f(0) * f\sim{f*\epsilon_f(0)}[/texx]
  

Creo que tal vez es [texx]\epsilon_{f(0)} * f\sim{f*\epsilon_{f(1)}}[/texx] donde [texx]\epsilon_{f(0)}[/texx] y [texx]\epsilon_{f(1)}[/texx] denotan los caminos constantes a [texx]f(0)[/texx] y [texx]f(1)[/texx] respectivamente. Y creo que es así porque me inclino a pensar que si fuera [texx]\epsilon_{f(0)} * f\sim{f*\epsilon_{f(0)}}[/texx] entonces [texx]f[/texx] sería constante. Si es como creo, considera las parametrizaciones:

[texx]\phi(s)=\begin{cases} 0 & \text{si}& s\in{[0,\displaystyle\frac{1}{2}]}\\2s-1 & \text{si}& s\in{[\displaystyle\frac{1}{2},1]}\end{cases}[/texx]

y

[texx]\psi(x)=\begin{cases} 2s & \text{si}& s\in{[0,\displaystyle\frac{1}{2}]}\\1 & \text{si}& s\in{[\displaystyle\frac{1}{2},1]}\end{cases}[/texx]

Intenta mostrar que [texx]f\circ{\phi}=\epsilon_{f(0)}*f[/texx] y que [texx]f\circ{\psi}=f*\epsilon_{f(1)}[/texx], luego probar que [texx]f\sim{f\circ{\psi}}[/texx] y que  [texx]f\sim{f\circ{\phi}}[/texx] para luego concluir por transitividad que [texx]\epsilon_{f(0)} * f\sim{f*\epsilon_{f(1)}}[/texx].
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« Respuesta #3 : 23/01/2016, 10:28:28 pm »

Gracias a vuestras respuestas, me ayudaron a comprender.
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