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Autor Tema: Variación Acotada de una función continua en el campo de los Reales  (Leído 815 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Angela
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« : 15/01/2016, 10:56:17 pm »

Favor ayudarme mediante un ejemplo a expresar las funciones de variación acotada como la diferencia de dos funciones crecientes.

Aguardo su ayuda. Gracias anticipadas... :cara_de_queso:
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 16/01/2016, 07:29:12 am »

Te pongo esto:

Sea [texx] V_f(a,b) = sup\{\sum(P): P \in \wp[a,b]\} [/texx] la variación total de [texx] f [/texx] en [texx] [a,b] [/texx].

Sea [texx] x \in [a,b] [/texx] entonces [texx] S(x) = V_f(a,x) [/texx] es creciente.

Sean [texx] a < x < y \leq b [/texx] entonces [texx] V_f(a,y) - V_f(a,x) = V_f(x,y) [/texx]

Sea [texx] T(x) = S(x) - f(x) [/texx] entonces si [texx] a < x < y \leq b [/texx] tenemos:

[texx] T(y) - T(x) = (S(y)-S(x)) + (f(y)-f(x))  [/texx] entonces [texx] T [/texx] creciente.

En la próxima pon lo que intentas.
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Angela
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« Respuesta #2 : 16/01/2016, 01:28:13 pm »

Gracias Juan Pablo por tu ayuda.

Lo que sucede es que se son preguntas teóricas, en donde me piden demostrar que la variación acotada de una función se puede expresar como la diferencia de dos funciones crecientes.- por eso no use simbología. Me piden que con un ejemplo le presenta esa demostración.-

Gracias.-
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #3 : 16/01/2016, 03:07:42 pm »

Me piden que con un ejemplo le presenta esa demostración.-

Pues si lo que te piden es sólo eso, lo tienes bien fácil. Elige la función [texx]f=0[/texx] definida en [texx][a,b].[/texx] Esta función es de variación acotada y si sigues la demostración estándar (por ejemplo la de Juan Pablo) obtendrás fácilmente que [texx]S=0[/texx] y [texx]T=0[/texx] y ya tienes la descomposición pedida: [texx]f=S-T.[/texx]
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