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Autor Tema: Equivalencia Homotópica  (Leído 1844 veces)
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elmoreno
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« : 08/01/2016, 08:38:18 pm »

Hola!

El método de ortogonalización de Gram-Schmidt permite definir un retracto [texx]r:GL(n)\rightarrow{O(n)}[/texx]. He mostrado que [texx]r[/texx] es una retracción por deformación. Ahora, si [texx]GL^{+}(n)\supset{SL(n)\supset{SO(n)}}[/texx] denotan las matrices de orden [texx]n[/texx] con determinante positivo, determinante [texx]1[/texx] y ortogonales con determinante [texx]1[/texx] respectivamente, debo mostrar que tienen el mismo tipo de homotopía.

Hay una sugerencia: [texx]GL^{+}(n)[/texx] es homeomorfo a [texx]\mathbb{R}^{+}\times SL(n)[/texx] y [texx]GL^{+}(n)[/texx] es homeomorfo a [texx]P\times SO(n)[/texx] donde [texx]P[/texx] es el conjunto convexo de matrices positivas.

Es claro que una vez demostrada la sugerencia el problema queda resuelto el problema porque [texx]\mathbb{R}^{+}[/texx] es contráctil y [texx]P[/texx] visto en [texx]\mathbb{R}^{n^{2}}[/texx] también es contráctil.

Sé también por un bue artículo que encontré (http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/gramconnd.pdf) que [texx]GL^{+}(n)[/texx] y [texx]SO(n)[/texx] son conexos por caminos.

Me parece que el meollo del problema está en el álgebra lineal. Sé que dispongo de herramientas como la factorización LU, que si [texx]A\in{GL(n)}[/texx] entonces [texx]A=B(SD)^{1}[/texx] donde [texx]B\in{O(n)}[/texx], [texx]S[/texx] es una matriz triangular superior y [texx]D[/texx] es una matriz diagonal. A pesar de esto, no he podido utilizar bien estos datos.

Por otro lado, no sé cómo utilizar la primera parte ([texx]r[/texx] retracción por deformación) para la segunda.

¿Me podrían dar alguna sugerencia?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10/01/2016, 05:49:50 am »

Hola

Hay una sugerencia: [texx]GL^{+}(n)[/texx] es homeomorfo a [texx]\mathbb{R}^{+}\times SL(n)[/texx] y [texx]GL^{+}(n)[/texx] es homeomorfo a [texx]P\times SO(n)[/texx] donde [texx]P[/texx] es el conjunto convexo de matrices positivas.

Es claro que una vez demostrada la sugerencia el problema queda resuelto el problema porque [texx]\mathbb{R}^{+}[/texx] es contráctil y [texx]P[/texx] visto en [texx]\mathbb{R}^{n^{2}}[/texx] también es contráctil.

Para el homeomorfismo con [texx]\mathbb{R}^{+}\times SL(n)[/texx] puedes definir [texx]f(A)=(det(A),A\cdot \color{red}det(A)^{n^{-1}})\color{black}[/texx].

Para el homeomorfismo con [texx]P\times SO(n)[/texx] considera la descomposición polar de una matriz. La idea, en resumen, es esta:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?;topic=13991.0

Pero buscando en google por "descomposición polar" ó "polar decomposition" tienes abundante información al respecto. Por ejemplo:

http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9780387847931-c2.pdf?SGWID=0-0-45-1235437-p174262961 (Proposición 2.1.5.)

http://www.fing.edu.uy/imerl/gal2/2dosemestre2009/materiales/teorico/svd.pdf

http://buzzard.ups.edu/courses/2014spring/420projects/math420-UPS-spring-2014-buffington-polar-decomposition.pdf

Saludos.

CORREGIDO
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elmoreno
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« Respuesta #2 : 10/01/2016, 09:31:45 am »

Hola el_manco!!!

Gracias por toda tu ayuda. Ya demostré que [texx]GL^{+}(n) \approx{\mathbb{R}^{+}\times SL(n)}[/texx]. Creo que hay un error sin mucha importancia en la función [texx]f[/texx] que describes. Creo que es [texx]f(A)=(det(A),A\cdot{det(A)^{n^{-1}}})[/texx].

Ahora me dispongo a revisar las referencias que me recomendaste para el segundo homeomorfismo.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 10/01/2016, 01:21:39 pm »

Hola

Gracias por toda tu ayuda. Ya demostré que [texx]GL^{+}(n) \approx{\mathbb{R}^{+}\times SL(n)}[/texx]. Creo que hay un error sin mucha importancia en la función [texx]f[/texx] que describes. Creo que es [texx]f(A)=(det(A),A\cdot{det(A)^{n^{-1}}})[/texx].

Si, es como dices. Fue una errata. Ya lo he corregido. Gracias por la indicación.

Saludos.
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