Hola!
El método de ortogonalización de Gram-Schmidt permite definir un retracto [texx]r:GL(n)\rightarrow{O(n)}[/texx]. He mostrado que [texx]r[/texx] es una retracción por deformación. Ahora, si [texx]GL^{+}(n)\supset{SL(n)\supset{SO(n)}}[/texx] denotan las matrices de orden [texx]n[/texx] con determinante positivo, determinante [texx]1[/texx] y ortogonales con determinante [texx]1[/texx] respectivamente, debo mostrar que tienen el mismo tipo de homotopía.
Hay una sugerencia: [texx]GL^{+}(n)[/texx] es homeomorfo a [texx]\mathbb{R}^{+}\times SL(n)[/texx] y [texx]GL^{+}(n)[/texx] es homeomorfo a [texx]P\times SO(n)[/texx] donde [texx]P[/texx] es el conjunto convexo de matrices positivas.
Es claro que una vez demostrada la sugerencia el problema queda resuelto el problema porque [texx]\mathbb{R}^{+}[/texx] es contráctil y [texx]P[/texx] visto en [texx]\mathbb{R}^{n^{2}}[/texx] también es contráctil.
Sé también por un bue artículo que encontré (
http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/gramconnd.pdf) que [texx]GL^{+}(n)[/texx] y [texx]SO(n)[/texx] son conexos por caminos.
Me parece que el meollo del problema está en el álgebra lineal. Sé que dispongo de herramientas como la factorización LU, que si [texx]A\in{GL(n)}[/texx] entonces [texx]A=B(SD)^{1}[/texx] donde [texx]B\in{O(n)}[/texx], [texx]S[/texx] es una matriz triangular superior y [texx]D[/texx] es una matriz diagonal. A pesar de esto, no he podido utilizar bien estos datos.
Por otro lado, no sé cómo utilizar la primera parte ([texx]r[/texx] retracción por deformación) para la segunda.
¿Me podrían dar alguna sugerencia?
