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Autor Tema: ¿Cuándo la integral de una función es continua?  (Leído 987 veces)
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weyertrax
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« : 08 Enero, 2016, 17:21 »

Hola, tengo una duda para ver si esta función F(x) es continua:
[texx]F(x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-xy}\displaystyle\frac{\sin(x)}{x} dx[/texx], [texx]y>0[/texx]
¿Es suficiente probar que [texx]e^{-xy}\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}[/texx] es integrable Lebesgue?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 08 Enero, 2016, 18:31 »

Hola

Hola, tengo una duda para ver si esta función F(x) es continua:
[texx]F(x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-xy}\displaystyle\frac{\sin(x)}{x} dx[/texx], [texx]y>0[/texx]
¿Es suficiente probar que [texx]e^{-xy}\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}[/texx] es integrable Lebesgue?

Tienes que aplicar el Teorema que aparece en esta notas en la página 9:

http://ocw.unican.es/ciencias-experimentales/ampliacion-de-analisis-de-varias-variables-reales/material-de-clase-2/MCP14-der_leb-w.pdf

Es decir tienes que comprobar que:

1) la función: [texx]f_y(x)=e^{-xy}\dfrac{sin(x)}{x}[/texx] es Lebesgue medible para casi todo [texx]y\in I[/texx]. Y acotarla por una función integrable que no dependa de [texx]y[/texx].

2) que la función [texx]f_x(y)=e^{-xy}\dfrac{sin(x)}{x}[/texx] es continua para casi todo [texx]x\in [0,+\infty)[/texx]

[texx]I[/texx] es el intervalo donde quieres estudiar la continuidad.

Saludos.

P.D. La función debe de ser:

[texx]F(\color{red}y\color{black})=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-xy}\displaystyle\frac{\sin(x)}{x} dx[/texx]
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