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Autor Tema: Naturaleza de conjuntos  (Leído 625 veces)
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Julio_fmat
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« : 02 Noviembre, 2015, 06:23 »

¿Existe alguna explicación para los conjuntos?

[texx]\displaystyle\bigcap_{n\in \mathbb{N}} \left(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\right)=\{0\}[/texx] y [texx]\displaystyle\bigcup_{n=2}^{\infty}\left[0,1-\dfrac{1}{n}\right]=[0,1).[/texx]

No consigo comprender por qué la intersección es 0? y por qué en la unión es 1 abierto...
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 02 Noviembre, 2015, 06:44 »

Hola

¿Existe alguna explicación para los conjuntos?

[texx]\displaystyle\bigcap_{n\in \mathbb{N}} \left(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\right)=\{0\}[/texx] y [texx]\displaystyle\bigcup_{n=2}^{\infty}\left[0,1-\dfrac{1}{n}\right]=[0,1).[/texx]

No consigo comprender por qué la intersección es 0? y por qué en la unión es 1 abierto...

La intersección de una familia de conjuntos son los elementos comunes a todo ellos.

Si tomamos la familia de conjuntos  [texx]\left(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\right)[/texx], con [texx]n\in N[/texx], nos referimos a:

[texx](-1,1)[/texx]
[texx](-1/2,1/2)[/texx]
[texx](-1/3,1/3)[/texx]
[texx](-1/4,1,4)[/texx]

etcétera...

Son entornos del cero cada vez más pequeños; es claro que el cero está en todos ellos y más allá del formalismo, dado que cada vez son conjuntos más pequeños, cuya longitud tiende a cero debería de ser claro para ti que el cero es el único elemento común a todos ellos.

La unión de una familia de conjuntos son los elementos que están en al menos uno de los elementos de la familia.

Si consideramos [texx]\left[0,1-\dfrac{1}{n}\right][/texx] con [texx]n\in N[/texx] son los conjuntos:

[texx][0,0][/texx]
[texx][0,1/2][/texx]
[texx][0,2/3][/texx]
[texx][0,3/4][/texx]

etcértera...

Son intevalos cada uno conteniendo al anterior ("cada vez más grandes"), se aproximan cada vez más al intervalo [texx][0,1][/texx] sin embargo el [texx]1[/texx] realmente NO está en ninguno de ellos; luego no estará en la unión.

Una vez que para ti sea claro intuitivamente que la intersección y unión son las que se indican, entonces puedes plantearte en pensar como se demuestra rigurosamente.

Saludos.
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