¿Qué es un espacio de Banach?

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Luis Fuentes:
Hola

Cita de: Raúl Aparicio Bustillo en 20/10/2015, 05:00:14 pm

Una sucesión de vectores de Cauchy, ¿qué es?, que la diferencia en modulo entre un vector y el inmediato anterior tienda a 0, como las sucesiones de Cauchy de reales con el valor absoluto?


Pues el concepto de sucesión de Cauchy en un espacio normado es efectivamente el mismo que para sucesiones reales, pero no es el que dices. Una sucesión [texx]\{x_n\}[/texx] es de Cauchy si:

para todo [texx]\epsilon>0[/texx] existe [texx]N\in \mathbb{N}[/texx] tal que si [texx]n,m\color{red}\geq\color{black} N[/texx] entonces [texx]\|x_n-x_m\|<\epsilon[/texx]

Eso no es lo mismo que decir que la diferencia entre un término y el siguiente, en norma, tienda a cero. Por ejemplo la sucesión[texx] x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\color{red}1/k\color{black}[/texx] cumple que [texx]x_{n+1}-x_n=\dfrac{1}{n+1}[/texx] tiende a cero, pero no es de Cauchy.

Saludos.

CORREGIDO (gracias Piockñec et al.)

Piockñec:
En la definición de sucesión de Cauchy, el_manco, se te ha escapado un [texx]\leq{}[/texx] donde las n,m, cuando es [texx]n,m\geq{N}[/texx]
(Con n,m suficientemente grandes, la serie converge lo suficiente y la distancia entre los puntos se hace más chica que el épsilon que hemos fijado)

Completo mi comentario :laugh: : Un espacio X de Banach tan sólo es un conjunto equipado con una norma y completo, es decir, que toda sucesión de Cauchy converge en el espacio X.

Esto último de completo se puede interpretar así: Un espacio de Banach es un conjunto sin agujeros.

Por ejemplo, si tomas los números reales [texx]\mathbb{R}[/texx] y los equipas con la norma "valor absoluto" típica, toda sucesión de Cauchy convergerá dentro de [texx]\mathbb{R}[/texx]. Peeero si haces lo mismo con los racionales.... podrías encontrarte con alguna sucesión de Cauchy que va tocando sólamente números racionales y... de repente... puf! en el límite converge a un número irracional!!! (Muy típico de las definiciones de pi, de la raíz de 2, de e... como límites de sucesiones de números racionales :) La sucesión de Cauchy convergería... fuera del espacio, así que no es de Banach.
La mayoría de los espacios que yo conozco son de Banach :)

Si alguien no está de acuerdo o quiere aportar sutilezas o matices, que lo haga jajaja que llevo poco tiempo con esto y no lo domino.

Nota: Los libros que yo he visto cogen a los reales y a los racionales como ejemplos típicos en todo, todo!!! Lo guay, por lo que estoy viendo, es verlo como algo gracioso, y centrar la imaginación y el trabajo en los espacios de funciones :P o al menos en mis cortas luces, que eso es de lo que van mis estudios y parece una idea muy bien encaminada! También estoy viendo que se le aplican a las probabilidades, teoría de juegos y equilibrio de Nash para el análisis convexo (minimización/optimización), no sé, tienen un horizonte muy amplio estos conceptos de topología/espacios métricos, y en los libros ni los mencionan. Está bien que un libro te abra los ojos de cuando en cuando :)

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