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Autor Tema: Límite de una circunferencia en el plano  (Leído 500 veces)
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Julio_fmat
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« : 10 Septiembre, 2015, 01:41 »

Muestre que [texx]\displaystyle\lim_{p\to +\infty} C_p ((0,0);1)=C_{\infty} ((0,0);1).[/texx]

Nota: [texx]C_p ((0,0);1)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: |x|^p+|y|^p=1\}[/texx] y [texx]C_{\infty} ((0,0);1)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \max\{|x|,|y|\}=1\}[/texx]

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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10 Septiembre, 2015, 07:18 »

Hola

 Tengo algo de prisa.

 La idea es que si [texx](x,y)\in C_\infty[/texx] entonces o bien [texx]x=\pm 1[/texx] o bien [texx]y=\pm 1[/texx], y en cualquier caso [texx]x,y\in [0,1].[/texx]

 Entonces por ejemplo si [texx]x=1[/texx] y [texx]|y|\neq 1[/texx], se tiene que [texx]|y|^p\to 0 [/texx] cuando [texx]p\to \infty[/texx] y así [texx]x_p=(1-|y|^p)^(1/p)\to 1[/texx]. Por tanto tienes usa sucesión de puntos:

 [texx](x_p,y)\in C_p[/texx] que converge a [texx](x,y)[/texx]

Saludos.
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