Pregunta del millón

[island in the darkness]

Hola amig@s:

Me gustaría plantear una pregunta cuya formulación es muy simple.

¿Qué es una "elemento diferencial" en Matemáticas? ¿Existe tal definición? ¿Cuál es?

Salu2,

island in the darkness.

[el_manco]

Hola

 De manera intuitiva un elemento diferencial representa o mide, como varía una función al variar una o varias variables de las que depende:

 Por ejemplo para una función de una variable un elemento diferencial es:



ó



 Cuando hacemos tender a 0 nos acercamos al concepto de derivada.

 Por ejemplo cuando hablas de elemento diferencial de área de una superficie medimos el área del trozo de superficie que aparece al avanzar sobre dos direcciones. En el caso simple del plano:



 En fin esto es sólo una idea intuitiva y general. En los casos particulares se darán definiciones más precisas.

Saludos.

[el_manco]

Hola

 Un añadido.

 El concepto matemáticamente riguroso más parecido a "elemento diferencial" y definido con la mayor generalidad posible es el estudio de las formas diferenciales.

 La idea es estudiar esas variaciones como funciones (multi) lineales entre el espacio de parámetros y los valores de la función. De manera mas precisa entre el tangente al espacio de parámetros y el tangente al espacio de valores de la función.

 Intutivamente los espacios tangente a una variedad reflejan el comportamiento infintesimal de la misma. O dicho de otra forma la linealizan localmente.

 Por ejemplo la aplicación diferencial de una función derivable de una variable es una aplicación lineal de R en R definifida como . Da una medida "local" de la variación de f en a: en puntos cercanos varía de forma lineal con pendiente f'(a).

 La teoría de formas diferenciales generaliza todo esto. Abstrae las propiedades usuales de la derivación y la integración, de manera que se puede llegar a trabajar con "elementos diferenciales" olvídandose completamente incluso del contexto geométrico y trabajando con ellas únicamente formalmente (hablando incluso de "derivada" sin pasar a límite alguno, como un operador que cumple determinadas propiedades). En cualquier caso introducidas así se perderiá mucha intuición y no aclararía cual es el concepto que las motiva.

 Algunas cosas de formas diferenciales pueden leerse aquí:

http://www.branchingnature.org/Formas_Diferenciales_Dario_Sanchez_2004_Matematica.pdf

http://www.ehu.es/~mtpalezp/mundo/ana2/formasdif.pdf

[island in the darkness]

En primer lugar, muchas gracias, el_manco, por tu pronta respuesta.

Sin embargo, el enfoque de mi pregunta era menos teórico y más práctico. Me explico. Seguro que con Matemáticas avanzadas de Geometría Diferencial y Álgebra Lineas se pueden definir estos conceptos y muchos otros también, pero la idea, que antes no expliqué, es poder explicárselo a un chaval que sí entiende el concepto de derivada y de recta tangente a una curva en un punto. Es decir, este chaval cuando está en la clase de mates le cuentan que la diferencial de una función se define matemáticamente como el producto entre la derivada de la función y el incremento de la variable independiente y lo entiende analíticamente y geométricamente. Por cierto, en esta definción no va impplícito lo grande o pequeño que pueden ser tanto la diferencial como el incremento. De hecho, pueden ser negativos o positivos, grandes o pequeños. Esto "contradice" la idea clásica de infinitesimal, infinitésimos, etc., que siempre denotan algo lo más pequeño posible.

No obstante, en la clase de física al mismo chaval le dicen que cuando tiene un cilindro hueco de radio R y altura H, para calcular el volumen, puede coger una rebanada de volumen (elemento diferencial de volumen) de radio también R y espesor diferencial dH e integrarlo entre h=0 y h=H para concluir que el volumen es V=PI·R^2·H, o sea área de la base (círculo) por la altura. Aquí el elemento diferencial sí lleva implícita la idea de lo más pequeño que queramos, puesto que es necesario para que al integrar (paso al límite) todo encaje y se reproduzca el volumen deseado.

La cuestión es cómo puede relacionar este chaval estos dos conceptos. ¿Son el mismo concepto o conceptos diferentes? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Por qué matemáticamente no importa el tamaño del elemento y físicamente sí? ¿Será que los elementos diferenciales sólo tienen sentido aplicados a magnitudes geométricas o físicas? He aquí la cuestión o cuestiones.



island in the darkness.

[el_manco]

Hola

Por cierto, en esta definción no va impplícito lo grande o pequeño que pueden ser tanto la diferencial como el incremento. De hecho, pueden ser negativos o positivos, grandes o pequeños. Esto "contradice" la idea clásica de infinitesimal, infinitésimos, etc., que siempre denotan algo lo más pequeño posible.

mmmm... OJO con esto. Efectivamente cuando definimos la aplicaición diferencial como un aplicación lineal, podemos evaluarla sobre números tran grandes como quieramos.

Sin embargo su motivación y su uso SI ESTA FUERTEMENTE relacionado con la idea clásica de inifinitesimos.

Como dije en mi anterior mensaje, la idea de diferencial es dar una aproximación local lineal de la función que tenemos. De manera que en puntos "cercanos" a donde calculamos la diferencial, la función inicial sea muy parecida a la aplicación diferencial. Geométricamente la curva es muy parecida a su recta tangente. Pero eso sólo funciona en puntos cercanos, a medida que nos alejamos aumenta el error.

Por tanto creo que ambas ideas si están claramente relacionadas y no se contradicen en absoluto.

Saludos.

[island in the darkness]

Estoy de acuerdo contigo, el_manco, pero lo que quiero decir es que si coges la definición matemática pura y dura a secas de la diferencial de una función, allí no hay ninguna indicación de lo pequeño o grande que debe ser el incremento. Es la interpretación geométrica (recta tangente a una curva en un punto, linealización, etc.) con la que tiene sentido que los incrementos sean lo más pequeños posibles (la tangente de la curva se confunde con la propia curva).

No obstante, no me negarás que el concepto de infinitésimo que tenía Newton, Euler o Leibniz ya sufrió cambios importantes con la introducción del límite en las definición de derivada de Cauchy. Y al hilo de esto, me gustaría poner la famosa frase de Euler que inlcuyó en su Introductio in Analysis Infinitorum (1748): "... si una cantidad no negativa fuera tan pequeña que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podría ser sino cero. A quienes preguntan qué es una cantidad infinitamente pequeña en Matemáticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de los infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las páginas siguientes, donde explicaremos este cálculo...".

Y todo esto nos lleva inexorablemente a la siguiente cuestión. Hoy en día en Matemática se define la derivada de una función mediante el límite del cociente incremental:



Por otro lado, según la definición de diferencial:



Por tanto, según lo anterior:


Entonces, ¿podemos afirmar que la derivada es el límite de un cociente de incrementos a la vez que un cociente de diferenciales? ¿Por qué?

¿Qué le diríamos a un chaval que de lo anterior infiere lo siguiente?:





island in the darkness.

[el_manco]

Hola

 Es que yo creo que lo que no se puede tener es todo.

 Por un lado queremos dar una idea intuitiva de diferencial que "hasta un chaval entienda", pero por otro lado pretendemos que esa idea intuitiva sea manejada por ese chaval rigurosamente.

 No, una idea intuitiva nos dará un manejo intuitivo, más rápido, pero con más posibilidad de equivocarse.

 Una idea rigurosa nos dará un manejo riguroso, más lento, pero más fiable.

 No es mejor una cosa que la otra; depende del caso. En situaciones normales, funcionarán las ideas intuitivas (como referencia el manejo de las diferenciales que se hace en física); en situaciones patológicas, críticas, usamos la rigurosidad (como referencia las formas diferenciales y el formalismo que conllevan).

 Con esto quiero decir que intuitivamente, todo lo que me has dicho que infiere el chaval, pues... no pasa nada... no está intuitivamente mal, aunque si rigurosamente mal.

 La "diferencial de x" es un incremento de x que se hace muy pequeño: SI.
 Esto puede "interpretarse" como un paso al límite: SI.

 Además a mi me da igual que la definición de diferencial no explicite si algo ha de ser grande o pequeño; para entenderla es bueno saber "a que viene".

 De hecho si nos ponemos rigurosos rigurosos. La definición de diferencial no es esta (aunque equivalga):

 df_x=f'(x)dx

 Sino una aplicación lineal de R en R que cumple:



 Lo bueno de esta definición es que se extiende de manera natural a funciones de en .

 Pero una vez más siendo más papistas que el papa, tampoco esta es la definición más general de diferencial. Si uno quiere trabajar en cualquier tipo de variedad (curvas, superficies, etcétera no necesariamente lineales). Entonces la aplicación diferencial en un punto de una función entre dos variedades es una aplicación entre los espacios tangentes, que de manera intuitiva, nos dice como se transforma el vector tangente de una curva por ese punto, al vector tangente de la curva imagen.

 De nuevo ahí, insisto, está implícito la idea de algo infinitesimal: el tangente a una variedad en un punto, es una propiedad local: describe propiedades infinitesimales de esta en un punto.

 En resumen: si yo quisiese dar una idea intuitiva de elemento diferencial de una magnitud a un chaval, le diría que es una medida de la variación de esa magnitud al aumentar las variables respecto a las cuales está definida. La "gracia del asunto" es que sumando (integrando) esas variaciones infinitesimales (a mi si me apetece usar ese término, con todos los respetos para Euler) ó locales uno obtiene propiedades globales de la magnitud.

 Ahora si me pide rigurosidad, pues según el contexto, le "meto" alguna de las definiciones que di antes. Y en todo caso, que expresiones del tipo "dx" , "dy" ó "df" son NOTACIONES motivadas por la idea intuitiva que le dimos antes, pero en cualquier caso sólo notaciones. Explicándole después las "reglas" para manejarlas.

Saludos.

[island in the darkness]

Estoy de acuerdo contigo, el_manco, no se puede tener todo en esta vida. Créeme con este debate no he pretendido aburrir a nadie. Tú me has entendido y yo te he entendido. En cualquier caso, puede no ser lo habitual pero hay chavales que tienen inquietudes de esta índole, lo cual creo que es motivo de satisfacción para la comunidad científica, ya que quien no tiene inquietud no despierta deseo de aprender. La parte mala de la notación intuitiva es que al final se abusa de ella y a veces se pierde el horizonte (los chavales suelen ver las derivadas parciales como cocientes de diferenciales sin pararse a pensar exactamente que aunque algebraicamente puedan interpretarse así, formalmente no son eso), pero no cabe duda que la potencia de la notación bien vale la pena. Y sí, la mejor manera de explicar una derivada o un elemento diferencial es relacionarlo con la idea de cambio o variación infinitesimal (a mí también me parece el mejor término, aunque sólo sea por rendir honores a los clásicos, a quien yo adoro).

Finalmente y cerrando un poco el círculo (que no cuadrándolo), a mi entender y salvo que alguien demuestre lo contrario, no existe la definición de "elemento diferencial" así tal cual en Matemática, pero curiosamente estas dos palabrejas son la base del resultado de cualquier teoría física que podamos imaginar por no hablar de la propia ingeniería.

Para mí un placer, debatir contigo. Enriquecedor.



island in the darkness.

[island in the darkness]

Hola, el_manco:

Me gustaría, si te parece bien, profundizar más en el tema que inicié y plantear algunas cuestiones más para que déis vuestra opinión.

Siguiendo un poco el hilo, ahora sería interesante preguntar si tiene sentido hablar de "diferencial de orden superior", es decir "diferencial de un diferencial". Me estoy refiriendo a diferenciales de segundo orden, tercero, etc. y más concretamente, ¿existe la definición de diferencial n-ésimo en el mismo sentido que existe la derivada n-ésima?

Todas estas preguntas surgen de la definición de diferencial para una función real de variable real, es decir:



Y así sucesivamente.

Ahora, quedándonos con orden 2 y atendiendo a la definición de derivada, sabemos que:



Por lo tanto, ¿qué ocurre con el segundo sumando de (*)? ¿Es despreciablemente pequeño frente a ? ¿Cómo se puede justificar este desprecio? ¿Hay algún error en todo lo anterior?



island in the darkness.

[el_manco]

Hola

 mmmm...de nuevo se juega un poco con fuego mezclando intuición, con formalismo, mezclando que sabemos como son las cosas, con como deberían de ser según esa intuición.

 La cosa es: ¿cual es la interpretación intuitiva que le estamos dando a este símbolo?

ó

 Volvamos a los orígenes. La idea de una diferencial es un incremento:



 ó



 Cuando ese incremento lo pasamos al límite, "el se transforma en d" y en ese cociente aparece la primera derivada.

 Un incremento de segundo orden sería:



 ó



Ahora si tomas el límite cuando tiende a cero, verás que te aparece justo la segunda derivada. Es decir te queda:



donde puede escribirser como (esto es una notación: ).

Por otra parte, fíjate que la fórmula del incremento de orden 2 aplicado a la función f(x)=x, es cero. Eso equivale a que la segunda derivada de x es cero. Y a que en tu expresión (*) es cero.

Saludos.

[argentinator]

A veces se usa la diferencial en problemas de geometría o de física a modo de cambio de variable en una integral. Por ejemplo, se suele definir la diferencial ds como .
Eso parece un sinsentido en la teoría de diferenciales, pero cobra significado si se mira a los diferenciales como ''medidas deformadas'' de un conjunto.
La definición rigurosa puede requerir distintos tipos de formalización.
Un modo más o menos accesible es el de integral de Stieltjes, que generaliza la integral de Riemann.
El caso más simple es la propiedad de sustitución de integrales. Si u es una función diferenciable, entonces



Cuando u no es diferenciable, el diferencial du aún puede tener sentido, siguiendo un proceso de definición de integral tipo Riemann-Stieltjes.
Pero aquí el sentido es de ''medida de conjuntos'', porque está involucrada una integral. Esa medida puede ser una longitud de arco, o alguna otra cosa.

Nunca me quedó del todo claro la relación entre los diferenciales vistos de esta manera, y los diferenciales tipo abstracción ''operadores en un espacio lineal tangente'' tal como los están discutiendo.

[Jabato]

Una pregunta para el manco, ¿Porque cuando tratabas de calcular el diferencial segundo has supuesto que el segundo incremento de la variable debe ser igual que el primero?¿Hay alguna razón para ello ó pueden ser distintos?

En mi modesta opinión un diferencial segundo, si es que existe definido algo así, es una función de dos "variables", el primer incremento de x y el segundo que no son necesariamente iguales y que por lo tanto debemos representar con símbolos distintos. Para hacer tender dicho elemento a cero en una integración, por ejemplo, deberíamos considerar límites dobles, en fin que la cosa no es tan sencilla como a primera vista parece.

Saludos, Jabato.

 

[el_manco]

Hola

 Si es que al final vuelvo a lo mismo. Se está intentando usar con rigurosidad ideas intuitivas. Si uno quiere ser riguroso mejor usar las construcciones rigurosas; si uno va a trabajar de manera inutitiva, admitamos flexibilidad.

Una pregunta para el manco, ¿Porque cuando tratabas de calcular el diferencial segundo has supuesto que el segundo incremento de la variable debe ser igual que el primero?¿Hay alguna razón para ello ó pueden ser distintos?

En realidad el desarrollo que hice es intuitivo: es una forma intutiva de ver que el diferencial segundo se comporta como debe, si lo interpretamos como un incremento de un incremento. Efectivamente uno podría haber intrepretado que el segundo incremento es diferente del primero.

Si queremos una definición rigurosa de derivada segunda: la conocemos todos.

En general la aplicación diferencial primera para una función de en , es una aplicación lineal de en , cuya matriz asociada es .

La aplicación diferencial k-ésima es una aplicación multilineal de en , cuyo tensor asociado es .

Nunca me quedó del todo claro la relación entre los diferenciales vistos de esta manera, y los diferenciales tipo abstracción ''operadores en un espacio lineal tangente'' tal como los están discutiendo.

A ver la relación es clara: su motivación inicial es la misma. Digamos que las ideas nacieron del cálculo diferencial en una variable para "buenas" funciones. Éste es (moderadamente) intuitivo. A partir de ahí se fue extendiendo a otras situación, conservando la notación, perdiendo en intuición pero ganando en generalidad y abstracción. Efectivamente en teoría de la medida se emplea la notación du para indicar con respecto a que medida se integra; pero esa "d" ha perdido su significado inicial relativa al cálculo diferencial. Por otro lado ese cálculo diferencial cásico nos da una forma de medir (integrando), luego la notación es buena.

Saludos.

[island in the darkness]

Veamos, el_manco:

Estoy de acuerdo con lo que expones y sí, tengo claras las diferencias que haces notar:

Diferencial de un diferencial o diferencial segunda o diferencial de segundo orden: o por convenio.
Cuadrado de un diferencial: o simplemente por convenio.
Diferencial de un cuadrado:

Dejando al margen lo que comenta muy acertadamente Jabato sobre la no necesidad de que el segundo incremento (diferencial en el límite) sea del mismo tamaño que el primero y admitiendo que todos los incrementos son iguales, quiero hacer los siguientes desarrollos basados en la definición de derivada como el límite del cociente incremental.



Esta última expresión nos daría el cociente incremental para en el paso al límite poder calcular la derivada n-ésima. Y ahora vuelvo a incidir sobre el tema, ¿qué relación hay entre esto y la expresión (*) que expuse en mensajes anteriores¿ ¿Qué es, si lo hay, erróneo en (*)? Algo debe ser erróneo o despreciable para que aplicando la definición de diferencial de una función real de variable real, ésta sea compatible con la definición de derivada. ¿O acaso podemos afirmar que no se puede utilizar la definición de diferencial recursivamente para hallar diferenciales de diferenciales? ¿Por qué?



island in the darkness.

[el_manco]

Hola

 Ya lo indiqué antes, aunque quizá de pasada.

Por otra parte, fíjate que la fórmula del incremento de orden 2 aplicado a la función f(x)=x, es cero. Eso equivale a que la segunda derivada de x es cero. Y a que en tu expresión (*)  es cero.

 En tu expresión (*), el término , se anula, porque el incremento segundo de x es nulo. O si prefieres:



 De todas formas en tu deducción de la expresión (*) mezclas intuición y rigurosidad. Estás aplicando la regla de la cadena. ¿Por qué puedes hacer eso? ¿Que interpretación de "d" estás utilizando para permitirse ese "lujo"?.

Saludos.

[Jabato]

Decididamente la definición de derivada si permite el cálculo de la derivada n-sima pero la definición de diferencial no permite el cálculo del diferencial n-simo tan facilmente como se expone aquí, ya que al realizar n incrementos de la variable no necesariamente iguales obtenemos una "función de n variables distintas y absolutamente independientes, que son cada uno de los diferenciales dix.

Dicho de otra manera, tiene sentido matemático hablar de derivada n-sima pero no lo tiene hablar de diferencial n-simo ó al menos no tiene sentido en la forma que se pretende:

dnf = f(n · dxn

Esa expresión no tiene validez general, ó al menos no está tan claro que la tenga, debería demostrarse su validez en todo caso.

Saludos, Jabato.

[island in the darkness]

Particularizar para f(x)=x no aporta mucha luz al tema, ya que las expresiones que se están considerando se supone que sirven para culaquier función real de variable real.

No obstante, considerando por un momento en mi expresión (*), si no me equivoco resulta lo siguiente:

, donde por convenio se acuerda que:



Como , entonces:



Es decir, se llega a la igualdad .

No veo por qué dices que en (*) resulta .

Creo que no queda más remedio que decir claramente qué está bien y qué está mal, porque veo que impregnando las cosas con la idea de la intuición sólo llegamos a contradicciones. Es decir, ¿la pregunta sería qué es correcto y qué no lo es? Y la segund apregunta es, ¿qué te parece la cuestión que plantea Jabato en su último mensaje?

island in the darkness.

[Jabato]

Voy ahora a reaizar el desarrollo que a mi me parece correcto, en relación con los diferenciales n-simos. Supongamos una función f(x) de la que voy a tratar de realizar el cálculo de su diferencial segunda usando el proceso de incrementarla dos veces.

El primer paso está claro y creo que no le debe plantear dificultades a nadie:

según la definición más ortodoxa del diferencial de una función, ahora bien en este punto debemos considerar que x y dx son dos variables independientes, lo que convierte a esta expresión en una función de dos variables, y por lo tanto para calcular su diferencial debemos aplicar la definición para este tipo de funciones, (consideraré que el primer incremento de x y el segundo sean iguales ya que de otra forma el resultado no es ni parecido):

y no existe ninguna razón para considerar que alguno de estos términos deba anularse, absolutamente ninguna, por lo que aún suponiendo que ambos incrementos sean iguales llegamos a la conclusión de que la ecuación:

es absolutamente falsa.

En el caso de considerar que ambos incrementos de x fueran distintos la ecuación a la que se llega es:

que está todavía más alejada de la que se propuso puesto que , y son tres variables distintas y absolutamente independientes entre sí.

Saludos, Jabato.

[el_manco]

Hola

Veamos:

es cero prácticamente con cualquier intepretación razonable que se me ocurre de diferencial.

- Punto de vista 1: Simplemente la derivada segunda de x es cero.

- Punto de vista 2: el incremento de segundo orden de la función f(x)=x es cero, incluso trabajando con dos incrementos distintos:



da 0 para f(x)=x. ¡Incluso sin pasar al límite!.

(utilizo h y g para denotar a los incrementos para no andar con subíndices).

Intuitivamente:

- La diferencial de primer orden es la aplicación lineal que "más se parece" a la función cerca del punto.

- La diferencial de seguno orden es la aplicación bilineal que "más se parece" a la función cerca del punto y de su diferencial de primer orden.

- Esto generaliza a la diferencial enésima.

Formalmente para una variable, recuerdo que la definición más ortodoxa de diferencial es esta. Es una aplicación lineal de R en R verificando:



De ahí se deduce que df(x)(h)=f'(x)h.

Esto se generaliza a dos variables así. La diferencial de segundo orden es una aplicación bilineal de en verificando:




(o incluso creo que es válido para incrementos distintos:



De ahí se deduce que:



Y generaliza a la diferencial de orden n, como una aplicación multilineal:



verificando:



De ahí se deduce que:



Lo bueno es que esto todavía puede generalizarse fácilmente a funciones de varias variables.

Una buena forma de entender geométricamente todo esto es pensar en el polinomio de Taylor, tanto en una como en varias variables.

Saludos.

[Jabato]

¿Qué significa "practicamente cero"?

Veamos:

es cero prácticamente con cualquier intepretación razonable que se me ocurre de
diferencial.

Te recuerdo que la definición de df(x) es una función que depende de h, el incremento de la variable, luego es imposible que tal definición dependa de un límite en el que h tiende a 0. Revisa eso por favor

author=el_manco link=topic=8421.msg35003#msg35003 date=1194370219]
- Esto generaliza a la diferencial enésima.

Formalmente para una variable, recuerdo que la definición más ortodoxa de diferencial es esta. Es una aplicación lineal de R en R verificando:



De ahí se deduce que df(x)(h)=f'(x)h.