Pregunta del millón

[island in the darkness]

Después de estar analizando todo lo expuesto hasta el momento, me he dado cuenta de lo que me quiere decir el_manco.

Veamos, si tomamos la función real de variable real y la derivamos una vez, obtenemos:



Como , entonces:

Si la volvemos a derivar para calcular la derivada segunda, resulta:

(**)

Como , entonces: (***)

Por tanto, de la expresión (**) se deduce que: y como por (***) , resulta finalmente que:

, que es lo que me está tratando de decir el_manco todo el rato.

Asumiendo esto (cuando tengamos clara la cosa para diferenciales del mismo tamaño ya pasaremos a diferenciales de distinto tamaño), es muy fácil, a partir de la definición de diferencial, ir viendo qué forma adquieren los diferenciales de diferenciales de forma recurrente:



Recordará Jabato que este razonamiento ya lo esgrimí el 22.05.2006 en el pertinente hilo del MMM, con la salvedad de que allí dije, para despreciar , que cuando en realidad simplemente .

Según esto, queda demostrado que la derivada n-ésima y la diferencial n-ésima están absolutamente relacionadas y se puede pasar de una a la otra ambivalentemente teniendo en cuenta todo lo anterior, es decir, a través de la definición de derivada como cociente de diferenciales o a través de la definición de diferencial como producto de derivada por diferencial.

Por lo que a mí respecta y además añadiendo las generalizaciones de el_manco para diferenciales de distinto tamaño, la cosa ha quedado clara.

¿No os parece?

Por cierto, la suma finita que deducí operando con cocientes incrementales es idéntica a la que ha puesto el_manco en sus últimos mensajes, como no podía ser de otra manera. Y esto me da pie para escibir la derivada n-ésima de una función real de variable real, a través de la definición de derivada como límite del cociente incremental, de la siguiente manera:

, que como dice el_manco, tiene un tufillo muy embriagador a los desarrollos en Serie de Taylor.



island in the darkness.

[Jabato]

Pero el razonamiento es falso porque se está interpretando incorrectamente la expresión:

que no es un cociente, nunca puede serlo si aceptamos que dicha expresión representa la derivada segunda de x, ojo, volvemos a los errores del pasado, hacer eso es un abuso de notación grave. Una derivada nunca puede ser un cociente, es un límite.

Saludos, Jabato.

[island in the darkness]

Mmmmmmmmm, sí pero no. Ahí es donde está precisamente el meollo de la cuestión. La derivada se define como el límite de un cociente incremental. El tema es que cuando usamos "dy", "dx", implícitamente estamos asumiendo el paso al límite. Por eso, se puede escribir la derivada como cociente de diferenciales a nivel práctico.

Es impepinable que si queremos calcular la derivada de una función , podemos calcular el diferencial como y despues si dividimos el resultado es la derivada . Esto es innegable. Y se puede hacer por la propia definición de diferencial de la función (derivada por diferencial variable independiente). No tiene más vueltas. Todo está relacionado. Y al abuso o no de notación está ahí, pero todo encaja y es coherente.

Me gustaría, no obstante, saber qué tiene el_manco que decir sobre estos últimos mensajes.

island in the darkness.

[Jabato]

Vamos a ver Island, debes acostumbrarte a pensar que en la fórmula del diferencial:

es una "variable independiente" de y que puede tomar cualquier valor, represéntala por si quieres:

Sus valores tan pequeños como queramos solo se aplican a efectos de la integración, en otro caso es el resultado de multiplicar dos valores finitos, grandes pequeños positivos ó negativos y que el diferencial es por tanto una función de dos variables. Ya me contarás que es lo que hay que hacer para diferenciar una expresión como esa, quizás esto:

ó bien en notación convencional

En este caso representaría la diferencial de , es decir, la diferencial segunda de y el segundo incremento de que ya hemos visto que no tiene que ser igual al primero. ¿Puedes decirme cual de estos valores es nulo ó despreciable?

El resto es consecuencia directa de este razonamiento. Fíjate que la diferencial segunda aparece entonces como una función de tres variables distintas e independientes, y la diferencial tercera aparecería como una función de seis variables distintas, que serían las tres presentes más otras tres correspondientes a sus diferenciales. Etc.

Saludos, Jabato.

[el_manco]

Hola

 Vayamos por partes:

¿Qué significa "practicamente cero"?

En realidad no puse "practicamente cero", sino "cero practicamente en cualquier...". Sea como sea quizá me falto una coma.

En definitiva quiero decir que es CERO, CERO PATATERO, con las interpretaciones posibles que a mi se me ocurren de diferencial segunda. Me llama la antención que se discuta si es o no cero, al mismo tiempo que se discute que significa la diferencial segunda. Si no sabemos que significa, ¿cómo vamos a decir si es cero?.

Ahora bien YO SI DIGO QUE ES CERO, con las dos interpretaciones que indiqué, y que reitero:

I - es CERO, porque el incremento de segundo orden de la función es CERO.
II- es CERO, porque la segunda derivada de la función es CERO. (aunque me parece más intuitiva, la I).

Quizá tu/vosotros estéis manejando otra interpretación (que no alcanzo a ver) donde no sea 0.

Te recuerdo que la definición de df(x) es una función que depende de h, el incremento de la variable, luego es imposible que tal definición dependa de un límite en el que h tiende a 0. Revisa eso por favor

Como diría cierta persona, la definición de diferencial de una función f de R en R en un punto x es la que puse antes (bueno habrá otras equivalentes), "...aquí y en la china popular y en la otra..."  . La reitero: se trata de una aplicación lineal denotada por df(x) que verifica:



La ventaja además es que esta definición se extrapola directamente a funciones de varias variables. Pero para que se vea que no es un desvarío mío (por si hay duda), doy tres razones:

I- INTUITIVA -  La función constante que mejor aproxima f en x es la cte f(x). Si se la restamos el siguiente para aproximar f(x) sería estudiar la función lineal que "mejor aproxima" f(x)-cte. Eso es lo que hacemos con ese límite.

II - EQUIVALENCIA CON OTRA - Es equivalente a la que tu escribes. Tu pones directamente que:



como apliación lineal es la que lleva:



donde h es el "incremento" que queramos. Si sustituyes en la expresión que puse verás que te queda f'(x) igualado a la definición clásica de derivada.

III- BIBLIOGRAFÍA: Algunas referencias donde ver esa definición:

Definición 2.1: http://www.personal.us.es/jocar/_private/amii/tema2-0506.pdf
Definición 3.1: http://delta.cs.cinvestav.mx/~gmorales/Biberstein/fvd/node73.html
Sección 1.2: http://www.satd.uma.es/matap/personal/garvin/04Ca12.pdf
Definición 1.2: http://www.union-matematica.org.ar/reunion_anual/anteriores/derivacion1.pdf
Sección 3.4.1: http://www.ugr.es/~dpto_am/miembros/cabello/anteriores/metodos_matematicos/capIII.pdf

Más cosas:

A) Me choca el desarrollo que plantea Island para ir deduciendo la expresión de la diferencial enésima. No porque esté mal. Si no porque curiosamente, si lo entiendo bien, es más una aproximación formal que intuitiva; más algebraica que analítica.

Parte de:



y a partir de ahí vuelves a aplicar el "operador d" imponiendo que cumpla la regla de la cadena. Esto es justo el tipo de definición algebraica que se maneja de diferencial: como un operador que cumple unas determinadas propiedades que nos permite "hacer cuentas" con él. Desde ese punto de vista me convence lo que haces pero no me parece intuitivo; al menos no como lo es la interpretación de la diferencial primera.

B) ¿Cómo se introduce normalmente la diferencial enésima?.

B.1) Para funciones de una variable.

Vimos que la diferencial primera en un punto x es una aplicación lineal df(x) que cumple, bla, bla,bla.

Una apliación lineal queda determinada por su matriz asociada respecto a la base canónica. En este caso como es de R en R simplemente es un número que coincide con f'(x).

Eso nos permite definir una aplicación (la derivada segunda) de R en R que lleva cada punto x a la matriz asociada a su diferencial en ese punto. Pues bien podemos calcular de nuevo la diferencial de esa aplicación y tenemos la diferencial segunda.

Recursivamente a partir de esta construimos la tercera y así sucesivamente.

En este caso la construcción es totalmente equivalente a ir simplemente calculando las derivadas sucesivas, pero la forma de plantearla nos permite generalizarla fácilmente a varias variables.

B.2) Para funciones de varias variables.

Dada la diferencial primera es una aplicación lineal Df(x) de cumpliendo que el límite, bla, bla,bla.

Eso nos permite asignar a cada punto x de la matriz asociada a Df(x), que será de dimensión . Es decir definir una aplicación:



Como el espacio de matrices es isomorfo a , de nuevo podemos calcular la diferencial de esa aplicación, y llegamos a la diferencial segunda.

Recursivamente tenemos la diferencial k-nésima. Está en general vendrá dada por un tensor (que generaliza la idea de matriz asociada a una ap lineal), de dimensión:



cuyos coeficientes puede probarse que vienen dados por las parciales:



Además estas se intrepretan como aplicaciones multilineales de:



Por ejemplo la diferencial segunda sería bilineal. Eso nos permite calcuar la imagen de dos vectores:



que aunque no es inmediato darse cuenta (y es lo que no me gusta de este desarrollo) representa el comportamiento de f cerca del punto x respecto a "incrementos de segundo orden". u y v son esos dos incrementos.

C) C.1) Otra aproximación a la diferencial k-ésima para una variable es la que expuse en mi anterior correo. De manera resumida sería una aplicación multineal de



verificando que:



Como expliqué (con poco éxito) en mi anterior post, esto generaliza de manera natural la idea de diferencial primera; esta aproxima linealmente los incrementos de primer orden. En general con esta definición la diferencial enésima aproxima mediante una forma k-lineal los incrementos de orden k.

C.2) Para varias variables quedaría así. La aplicación k-diferencial de una aplicacióm sería una aplicación mutilineal:



verificando que:



Es decir se generaliza de manera inmediata.

 D) Para entender bien la definición anterior es útil ir calculando los incrementos de orden k en 0 para los monomios . Iremos viendo como incluso sin pasar al límite los incrementos de orden k para se anulan cuando k>n. Por el polinomio de Taylor (y es a esto a lo que me refería), (casi) cualquier función se descompone como suma de estos monomios. Esto es una forma de ver que las cosas funcionan bien.

Saludos.

P.D. Me ha salido un mensaje largo estilo argentinator 
P.D.D. Lo de "...aquí y en la china popular y en la otra..."  es una pequeña broma que supongo sólo se entenderá en España.

[Jabato]

Admitamos esos argumentos, supongamos que puede definirse la diferencial n-sima en la forma en que lo hizo Island, podemos deducir entonces algunas cosas interesantes:

                     

y ahora elevemos al cuadrado la primera con lo que llegamos

                     

ó lo que es igual:

     ó bien     

y se me ocurren un montón de funciones que no satisfacen esta ecuación.

Saludos, Jabato.

[el_manco]

Hola

Admitamos esos argumentos, supongamos que puede definirse la diferencial n-sima en la forma en que lo hizo Island, podemos deducir entonces algunas cosas interesantes:

Que, OJO, no es la forma que yo he desarrollado (y en ese sentido me siento ignorado...snifff). Pero sus consecuencias son que el escribe:





ESTO ES UNA NOTACIÓN. OJO NOTACIÓN, que es aceptable y coincide con la notación USUAL.

Pero... ¿quien nos ha dicho que nosotros podemos empezar ahí a elevar al cuadrado sumar, restar, dividir esas "d"s? ¿con qué reglas?.

Y volvemos a lo mismo. Si uno quiere interpretar la diferencial primera como una aplicación lineal, esto:



No está rigurosamente bien escrito. Lo correcto, para escribirla como apliación lineal, es:



Ahora si: h es un número, df(x) es una aplicación, su imagen es un número y ahí podemos hacer cuentas, elevar al cuadrado.. en fin todo lo que sabemos hacer con funciones.

De igual forma cuando escribimos que diferencial segunda es:



en realidad estamos indicando que la forma bilineal a la que corresponde tiene como tensor asociado f''(x) (en este caso es un número). De manera que como aplicación bilineal se comporta como:



y sobre un mismo elemento:



(ese h juega el "papel" de "dx" de ahí, el y que la notación sea buena).

Entonces, bien escrito, lo que estás haciendo es:

(1)



Elevar al cuadrado 1 significa:



Y de ahí:



Lo cual no tiene mayor problema.

Dicho de otra manera, poner una "d" delante de una función o de una "x" es, en principio, una notación. Entonces uno tiene que tener cuidado al manejar esas expresiones, porque no estamos seguros de que las reglas algebraicas típicas funcionen ahí. Si uno quiere manejarlas, entonces hay que intepretarlas rigurosamente.

En el fondo precisamente por eso decía que el desarrollo de Island, me parece un desarrollo más formal (es decir, un desarrollo de notación, algebraico) que algo intuitivo.

Saludos.

P.D. mmmm de todas formas creo que ya veo por donde van tus críticas. La notación de la diferencial primera:



funciona bien con esos "teje manejes" que hacen/hacéis físicos e ingenieros, de "dividir" y "multiplicar" por esos diferenciales que tanto nos irritan a los matemáticos (aunque a mi en su contexto adecuado, me parecen acpetables, e incluso deseables).

Si uno quiere extender esa notación a diferenciales enésimas, falla. En ese sentido cierto que la generalización no funciona bien.

Esto me reafirma en el enfoque de mi último largo e ignorado post. 

[Jabato]

Tu lo has dicho, es una notación, pero el problema es la interpretación que hace Island de esas expresiones, si eso es una notación es que no es un cociente pero el problema es que si se trató como un cociente cuando se dijo lo que se dijo, y cito:

Después de estar analizando todo lo expuesto hasta el momento, me he dado cuenta de lo que me quiere decir el_manco.

Veamos, si tomamos la función real de variable real y la derivamos una vez, obtenemos:



Como , entonces:

Si la volvemos a derivar para calcular la derivada segunda, resulta:

(**)

Como , entonces: (***)

Por tanto, de la expresión (**) se deduce que: y como por (***) , resulta finalmente que:

, que es lo que me está tratando de decir el_manco todo el rato.

¿En que quedamos es un cociente ó no lo es?

Lo que no puede hacerse es dar tratamiento como un cociente para algunas cosas y que sea considerado una notación para otras, eso no.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

No ignoré tu largo post, simplemente creo que para dar respuesta a una pregunta sencilla como la que se plantea aquí no es necesrio mostrar toda la teoría del calculo diferencial para funciones de n variables, interpreté mal tu fórmula de la definición del diferencial aplicada a funciones de una variable porque interpreté que en el numerador de dicha expresión era un producto y ya entendi que no lo es, es correcta esa definición, con lo que no estoy de acuerdo es con el razonamiento que establece que sea cero, que es otra cuestión aparte de esa.

Saludos, Jabato.

[el_manco]

Hola

¿En que quedamos es un cociente ó no lo es?

Lo que no puede hacerse es dar tratamiento como un cociente para algunas cosas y que sea considerado una notación para otras, eso no.

Pues cierto. Si eso es lo que decimos los matemáticos. De hecho en lo que escribió Island, mi cabeza no leyó "divido por" sino "derivado con respecto a".

El caso es que aunque no sea un cociente, si se emplea en la práctica esa notación. Por ejemplo la regla de la cadena se expresa a veces con esta notación:



Como si de alguna forma el dx "dividiendo y multiplicando" se cancelase. Bueno, esto funciona, pero en realidad es sólo una notación. Con la diferencial primera, va funcionando bastante bien; pero aun así, prudencia. Ahí estamos los matemáticos dando la lata para defender el formalismo (pero sin fanatismos, eh).

para dar respuesta a una pregunta sencilla como la que se plantea aquí no es necesrio mostrar toda la teoría del calculo diferencial para funciones de n variables

Una de las preguntas que yo entendí que se planteaban es como definir o introducir las diferenciales k-ésimas de manera intuitiva. El 75% de lo que escribí son desarrollos en una variable, que nacen de la idea de incrementos de orden k. Luego indiqué, para resaltar sus ventajas, que aun encima se extienden de manera natural a varias variables.

con lo que no estoy de acuerdo es con el razonamiento que establece que  sea cero

Mi razonamiento se base en que estoy intrepretando ese símbolo como un incremento de orden 2 de la función x. Un incremento de orden 2, lo he definido como un incremento de un incremento, llegando a la expresión:



Eso aplicado a la función f(x)=x da cero.

En otro caso dime como estás interpretando tu . Si simplemente es una variable independiente, como has dicho por ahí atrás, pues obviamente vale el valor que le demos. Pero no estoy seguro entonces de que significado tiene.

Saludos.

[argentinator]

En los textos de formas diferenciales se entiende que .

Creo que la clave de la discusión puede estar en eso de la regla de la cadena.

Sean y = f(x), x = g(t). Hacemos la derivada segunda de y respecto t, y nos da:

,





Definamos h(t) = f(x(t)).
Si ahora quiero interpretar


me encuentro conque:

De aquí me veo obligado a ''dividir'' por dt2, y me queda:

que es lo mismo que:

Despejando obtengo que:
.

En general eso no es cierto, y creo que ese término es lo que da la diferencia entre la interpretación de diferenciales como cociente, y la forma de límite de incrementos.

Quiero resaltar que para derivadas de primer orden, la interpretación anterior SÍ funciona:


y de aquí está bien deducir que

y ''dividiendo'' por dt:

que es correcto por regla de la cadena.

[Jabato]

Contestación al manco:

Pues lo que yo estoy dando es mi versión, como interpreto yo estos temas, porque estas cuestiones no se explican en los libros con el suficiente detalle.

Efectivamente para mi es lo que acabas de indicar en tu último mensaje, ahora has entendido mi idea pero llevo ya explicándola varios mensajes, exactamente eso y no debe anularse en la expresión del diferencial segundo ni tan siquiera despreciarse porque su valor sea muy pequeño comparado con los otros, nada de eso, x no debe interpretarse aquí como la función sino como una variable independiente que sufre dos incrementos sucesivos y que además, como ya os he dicho, no deben ser necesariamente iguales, razonando en esa forma es como llego a la expresión del diferencial segundo de la función, y creo fehacientemente que mi razonamiento es correto y el de Island no lo es.

Contestación a argentinator:

Tu idea funciona para el primer orden precisamente porque la propia definición de dy = y'dx permite establecer la derivada primera como un cociente de diferenciales, y de hecho así es pero siempre que se asuma que dy es lo que es y no otra cosa, hay que tener en cuenta que es el diferencial el que se define en función de la derivada y no al revés, pero el caso es excepcional y no puede generalizarse para diferenciales de orden superior que es la cuestión.

Poco más que añadir, saludos, Jabato.

[el_manco]

Hola

 No te entiendo:

x no debe interpretarse aquí como la función  sino como una variable independiente que sufre dos incrementos sucesivos

 Concreta. Exactamente que es para ti. Concreta que significa "sufrir dos incrementos sucesivos".

 Es curiosamente para mi, es justo, lo que hago considerar dos incrementos sucesivos de x.

 Vuelvo a hacer la cosa.

 Dada una función un incremento de f(x) es:



 un incremento de un incremento de un incremento f(x) es:



 Entonces:





 Y de ahí .

 Si no es ésto, de manera concreta (no vaguedades, sino conrecciones) sigo sin saber a que te refieres, que tenga alguna intepretación concreta, manejable, con .

 Mi interpretación además no es caprichosa; permite definir la diferencial k-esíma copiando lo que si sabemos para la diferencial primera (como he desarrollado en mis anteriores post). Hace que el significado de puesto delante de f ó de x sea análogo.

 En lo que si estoy de acuerdo contigo (y creo que en eso ya ha quedado claro que coincidimos), es que la notación usada por Island se comporta mal si uo trabaja con los "d^kf" o "d^kx" como cocientes.

Saludos.

[Jabato]

Vamos a ver yo no lo veo así:





hasta ahí estamos de acuerdo pero yo sigo en la siguiente forma:



y aquí aplico la diferencial para una función de dos variables, ya que son dos
las variables que intervienen, x , h:



Creo que esto deja muy claro que es lo que yo entiendo por :



Saludos, Jabato.

 

[el_manco]

Hola

 OK. Ya te entiendo ahora... pero así está ¿mal?...no. Más bien no se corresponde con la idea aceptada de diferencial segunda; ni con la intuitiva (aunque lo intuitivo siempre puede ser más subjetivo).

Revisando tus mensajes tu idea sale de aquí:

El primer paso está claro y creo que no le debe plantear dificultades a nadie:

según la definición más ortodoxa del diferencial de una función, ahora bien en este punto debemos considerar que x y dx son dos variables independientes, lo que convierte a esta expresión en una función de dos variables, y por lo tanto para calcular su diferencial debemos aplicar la definición para este tipo de funciones, (consideraré que el primer incremento de x y el segundo sean iguales ya que de otra forma el resultado no es ni parecido):

y no existe ninguna razón para considerar que alguno de estos términos deba anularse, ...

Estás intrepretando la diferencial primera como una aplicación que depende de dos variables:





En general cuando tenemos una función de dos variables:



su diferencial la hacemos así:



Me interesa resaltatar que aquí el término "dx" y "dy" es una notación. La forma correcta (o mejor más rigurosa) de esciribir esa aplicación de en R es:



Aplicado a tu caso te queda:



Pero escrito de manera más correcta, es la aplicación lineal:



donde a y b son dos "incrementos" de x y de h respectivamente. El (x,h) como subíndice indica el punto donde estamos diferenciando. Y esto es un primer detalle que plantea problemas, o si prefieres, que se sale de la interpretación usual: al estar diferenciando una función de dos variables, hay que especificar el punto (x,h) donde la calculas. Es decir no podríamos hablar de la diferencial segunda de f en un punto x, sino que tendríamos que hablar de la diferencial segunda de f en un punto (x,h), donde x representa el punto y h representa un vector de la recta en el punto.

Pero repito la idea tampoco es mala. La interpretación usual de diferencial segunda surge si uno toma la primera componente de tu diferencial segunda.

Quiero hacer hincapié en que incluso cuando hablamos de la diferencial primera. Escribir:



es algo confuso. Si uno quiere ser riguroso debemos de escribir:



El otro dx es una notación. Esta motivada (ojo, sólo motivada) por el hecho de que para incrementos pequeños de x e incrementos pequelos de f(x) esa fórmula se va haciendo "exacta": "El incremento de f en x es (casi) igual a la derivada de f en x por el incremento de x".

Lo bueno de mi (la que yo di) interpretación de la diferencial segunda es que generaliza de manera natural esa idea intuitiva. Y además coincide con la definición de diferencial segunda que se da en los libros (por ejemplo aquí:

http://www.personal.us.es/jocar/_private/amii/tema3-0506.pdf

Saludos.

P.D. mientras escribía esto modificaste un poco tu último mensaje. Pero no cambia lo que quería decir. Tan sólo me podía haber ahorrado citarte, porque tu mismo reexplicas tu idea. 

[Jabato]

No solamente no esta mal sino que es la forma general y correcta de hacerlo en mi opinión, ahora bien, si alguien me da un argumento suficiente que me permita considerar situaciones particulares para los valores de dh entonces estoy abierto a todo tipo de discusiones y sugerencias pero mientras no se impongan esas restricciones al valor de dh no hay razón alguna para considerarlo cero ó despreciarlo y entonces la diferencial segunda de una función debe responder a lo ya expuesto por mi de forma reiterada en este debate:



Para diferenciales de orden superior la cosa como es natural se va complicando ya que deberan aparecer los diferenciales terceros, cuartos etc. que no pueden despreciarse ó anularse, aunque lo dejo aquí ya que me parece que llegados a este punto carece de interés seguir por ese camino.

Saludos, Jabato.

[el_manco]

Hola

 Cierto. Tu has dado tu defininción de diferencial segunda y yo la mía (OJO, que no se parece en nada a la de Island en su construcción, aunque si algo, en sus fórmulas). No conciden. Pues cada cual que escoja la que mejor la parezca.

 Ventajas de la mía:

 - Es intuitiva.
 - Tiene una notación clara (que OJO no es la de Island).
 - Tiene una interpretación geométrica clara.
 - Se extiende fácilmente a varias variables.
 - Se define claramente la diferencial k-ésima en un punto (y no en un punto y en sucesivos vectores del tangente).
 - Coincide con la que aparece en la literatura matemática conocida.
 
 Desventajas de la mía:

 - Si uno quiere usar la notación "físico-ingenieril" se comporta mal.

 Ventajas de la tuya:

 - En tu diferencial hay más información que en la mía. Se mantiene la información sobre las derivadas anteriores.
 - Se extiende fácilmente a varias variables.
 - Se extiende incluso a variedades no "planas" trabajando con las variedades fibradas.

 Desventajas de la tuya:

 - Es menos intuitiva geométricamente (al menos para mi).
 - Hay que definirla no solo en un punto, si no ir arrastrando puntos (vectores) del tangente, y del tangente del tangente, ecétera.
 - Igualmente, si uno quiere usar la notación "físico-ingenieril" se comporta mal.
 - Bastante importante: no coincide con la que aparece en la literatura.

Saludos.

[island in the darkness]

Buenas noches, queridos contertulios:

Vamos a ver, para empezar pido disculpas por tener la boca callada todo el día, pero la culpa la tiene la retroexcavadora que se ha cepillado una manguera de fluido eléctrico.

Hay varios matices que yo quería introducir pero veo que ya lo habéis hecho vosotros. No obstante, me gustaría hacer los siguientes comentarios.

A estas alturas de discusión ya no se me ocurre otra cosa que ir puntualizando cada uno de los temas en cuestión.

i) La derivada se viene definiendo desde la reforma rigurosa de Cauchy como el límite de un cociente incremental:



En esto creo que todos estamos de acuerdo y nadie lo pone en duda. Hasta los libros de texto están de acuerdo con nosotros también.

ii) Por influencias clásicas (Leibniz, Newton, etc.), se denota también a la derivada con la notación donde no tiene sentido (y doy la razón a Jabato) considerar esta expresión como un cociente de diferenciales en ningún caso (aunque en la práctica se haga y para más inri se llegue a buen puerto), sino como "la derivada de f(x) respecto de x" (sí, el_manco, a mí también me enseñaron a leerlo así y no "diferencial de f(x) dividido por diferencial de x"). De hecho, y aquí quizás me acabe de volver un poco extremista, debiera prohibirse esta notación para evitar confusiones, o a lo sumo escribirse como para indicar claramente que "" es un operador que se aplica como un todo.

Esgrimo este argumento porque la Mátemática se conoce como ciencia exacta, de manera que aunque podamos admitir que haya enfoques intuitivos y rigurosos, aquí las cosas no pueden ser grises, han de ser o blancas o negras. Por lo tanto, lo que motiva duda, no debe utilizarse y debe decidirse sin dilación qué es correcto y qué no lo es y evitar hablar de planteamientos semicorrectos.

iii) Debido a Cauchy también, se define el diferencial de una función como la derivada de la función multiplicada por el incremento de la variable independiente, i.e. , pero de aquí no hay que inferir (y rectifico mis planteamientos informales de mensajes anteriores) mediante operatoria algebraica que precisamente por lo que acabo de explicar en ii).

iv) En mi opinión, tiene absoluto sentido y en este caso difiero completamente con la opinión de Jabato, que se puede hablar de diferenciales de diferenciales igual que se habla perfectamente de derivadas de derivadas. Por ello y, basándome en desarrollos que hice en anteriores mensajes, se puede generalizar:



De manera que, y en esto difiero completamente con Jabato y estoy de acuerdo con lo que dice el_manco y con la conclusión a la que yo también llegué, es igual a cero puesto que la "derivada segunda de f(x)=x respecto de x dos veces" es nula, se mire como se mire, i.e. , con lo cual, aplicando la definición de diferencial,

Y en consecuencia:



Por cierto, que en los detalles del desarrollo anterior, se deduce la expresión para el diferencial de un diferencial elevado a la potencia n-ésima, i.e. , lo cual no tiene mucho de especial teniendo en cuenta que se llega a lo mismo aplicando la regla de derivadas para potencias. No obstante, lo interesante y lo que cabe resaltar es que en la "construcción" del diferencial n-ésima a partir del diferencial de primer orden es que el diferencial de diferencial más grande que aparece es de orden dos, cuyo valor es nulo, según hemos explicado anteriormente, anulándose siempre el segundo sumando del desarrollo.

En lo que a mí respecta, el tema está claro y creo que es extrapolable a incrementos de distinto tamaño y a funciones de varias variables.

Pero como todo no es perfecto en esta vida, seguirá existiendo el choque formal matemático del diferencial con el enfoque físico-ingenieril del diferencial (elemento diferencial). Y los pobres chavales seguirán confundiéndose por esta falta de unicidad conceptual, máxime cuando se le saca tanto jugo al tratamiento de las derivadas como cocientes de diferenciales en cualquier disciplina científica que se nos ocurra a pesar de ser formalmente incorrecto como hemos explicado.

Salu2,

island in the darkness.

[Ulises2357]

Depende si a x le das una interpretación física o matemática.
Si le das la interpretación física y tomas x como la posicion de una particula en la dimencion 1. Segun la relatividad general, seguiria la ecuación de las geodésicas:

esta mal escrito pero la letra gamma es un símbolo de Christoffel.
Si le das la interpretación matemática, x es una variable, usando el analisis no standard, que es practicamente idem. al standard, siendo x=y(x):

[el_manco]

Hola

 Ufff... esto parece lo de nunca acabar.

 Lo que hace Jabato ya lo tengo claro:

 - considera la primera diferencial es una función de dos variables x y h.
 - aplica lo que sabemos sobre funciones de a y obtiene la diferencial segunda, que será de 4 variables (2 para fijar donde se calcula y 2 "incrementos").
 - aplica lo que sabemos sobre funciones de a y obtiene la diferencial tercera, que será de 8 variables (4 para fijar donde se calcula y 4 "incremento").
 - formalmente está bien la idea y ya hice mi valoración, en el post anterior.

 A lo que haces, Island, le veo un problema.

 En realidad todo reside en que la notación:



 a mi me parece malísima si aqui estamos queriendo expresar la aplicación lineal diferencial de f en x.

 Lo correcto sería:



 o en todo caso:



 Pero en general usar "dx" como variable independiente no me gusta; el "dx" es más una notación para indicar que hemos derivado respecto a x; que estamos tomando elementos "pequeños" de x.

 Mi crítica a tu razonamiento Island, es como pasas de esta expresión:


 
 a ésta:



 No me queda claro si al aplicar "d" a (1), la fórmula (1) la estás pensando como aplicación lineal, como simple notación; fíjate que lo que hacía Jabato era pensarla como función de dos variables y hallar su DIFERENCIAL primera con el sentido usual.

Tú, ¿estás hallando la diferencial a qué función? ¿respecto de que variable? ¿respecto a x?¿qué papel juega entonces el término "dx"?. Tú más que hallarle su diferencial, simplemente derivas con respecto a x usando la regla de la cadena. Y lo haces bajo la notación, bajo el disfraz de la notación "d".

No se si se me entiende el matiz. Tal como lo haces no queda claro que halla una definición recursiva de diferencial segunda, tercera,ecétera.. sino que directamente identificas diferencial con derivada.

Tus resultado son buenos, en la medida que se corresponden con la literatura usual. Pero insisto, utilizas sólo "formalmente" el operador "d".

Saludos.