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Autor Tema: Conjetura de Beal  (Leído 41378 veces)
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Gonzo
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« Respuesta #140 : 18/12/2017, 02:31:46 pm »

Hola.

Luis en los dos casos propuestos (x-1) = (y-1), además, [texx] a^n=(y-1)f(y)+1 [/texx] y no [texx] a^n=(y-1)f(y) [/texx]

Es decir en las proposiciones no hay tantas variables, o si lo prefiere x=y=a y f(y)=f(x)=f(a). Además, f(y) es una función bien determinada no cualquiera.

Mi planteamiento es el siguiente:

(a-1)(a)(a+1) + a + (b-1)(b)(b+1)+ b. De esta expresión intento obtener un 1 y al mismo tiempo que los restantes sumandos, todos ellos, tengan un factor común (c-1) y adopten la siguiente sistemática [texx] (c^n…c^2+c+1) [/texx]. ¿Cierto? ¿Sigue estando mal?


Ejemplo:

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6=3^5[/texx];

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6[/texx]; En este punto hay dos posibilidades.

[texx]2·3·4+3+5·6·7+5+1[/texx] ó [texx]2·3·4+2+1+5·6·7+6[/texx];

En la primera ecuación (izquierda de la ó) obtenemos un 1 tal que (i) pero el resto de los sumandos no poseen un factor común. Pero en la segunda si. Hay un 1 y el resto de los sumandos poseen un factor común tal que (i). Por lo tanto seguimos con la segunda, observemos que solo hay una posible factorización tal que (i).

[texx]2·3·4+2+5·6·7+6+1 [/texx];

[texx]2(3·4+1+5·3·7+3)+1 [/texx];

[texx]2(3·4+5·3·7+3+1)+1 [/texx] =[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i);

Es en este punto es donde igualamos con (i) y (a-1) es igual al factor común es decir 2. Si (a-1)=2 entonces a=3. Demonos cuenta que es el factor comun quien establece el valor de (a-1) siempre que dentro del parentesis haya un 1, es decir:

[texx](3·4+5·3·7+3+1)[/texx]. Seguidamente:

[texx]2(3·4+5·3·7+3+1)+1 [/texx] =[texx] (2)(3^{n-1} ... + 3^2 + 3 + 1)+1[/texx]; Simplificamos.

[texx](3·4+5·3·7+3+1)[/texx] =[texx] (3^{n-1} ... + 3^2 + 3 + 1)[/texx];

[texx](3(4+5·7+1)+1)[/texx] =[texx] (3^{n-1} ... + 3^2 + 3 + 1)[/texx]; Simplificamos de nuevo.

[texx](3(4+5·7+1))[/texx] =[texx] (3(3^{n-2} ... + 3 + 1))[/texx]; Nuevamente.

[texx]((4+5·7))[/texx] =[texx] ((3^{n-2} ... + 3))[/texx];

[texx]((3^3+3^2+3))[/texx] =[texx] ((3^{n-2} ... + 3))[/texx];

En este ejemplo concreto donde están la x y la y. Dichas variables son la misma, es decir a. ¿Cierto?

Atentamente.
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« Respuesta #141 : 18/12/2017, 07:49:41 pm »

Hola

Luis en los dos casos propuestos (x-1) = (y-1), además, [texx] a^n=(y-1)f(y)+1 [/texx] y no [texx] a^n=(y-1)f(y) [/texx]

Es decir en las proposiciones no hay tantas variables, o si lo prefiere x=y=a y f(y)=f(x)=f(a). Además, f(y) es una función bien determinada no cualquiera.

Es indiferente que aparecezca o no ese [texx]+1[/texx]. Sigues sin entender que asignas ciertos valores sin que haya ningún motivo para hacerlo.

Cita
Mi planteamiento es el siguiente:

(a-1)(a)(a+1) + a + (b-1)(b)(b+1)+ b. De esta expresión intento obtener un 1 y al mismo tiempo que los restantes sumandos, todos ellos, tengan un factor común (c-1) y adopten la siguiente sistemática [texx] (c^n…c^2+c+1) [/texx]. ¿Cierto? ¿Sigue estando mal?

Esto es una vaguedad; siempre que has concretado un poco más, has cometido errores gruesos.

Cita
Ejemplo:

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6=3^5[/texx];

[texx]2·3·4+3+5·6·7+6[/texx]; En este punto hay dos posibilidades.

[texx]2·3·4+3+5·6·7+5+1[/texx] ó [texx]2·3·4+2+1+5·6·7+6[/texx];

En la primera ecuación (izquierda de la ó) obtenemos un 1 tal que (i) pero el resto de los sumandos no poseen un factor común. Pero en la segunda si. Hay un 1 y el resto de los sumandos poseen un factor común tal que (i). Por lo tanto seguimos con la segunda, observemos que solo hay una posible factorización tal que (i).

[texx]2·3·4+2+5·6·7+6+1 [/texx];

[texx]2(3·4+1+5·3·7+3)+1 [/texx];

[texx]2(3·4+5·3·7+3+1)+1 [/texx] =[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i);

Es en este punto es donde igualamos con (i) y (a-1) es igual al factor común es decir 2. Si (a-1)=2 entonces a=3. Demonos cuenta que es el factor comun quien establece el valor de (a-1) siempre que dentro del parentesis haya un 1, es decir:

Ese es el error. De la expresión en rojo no se deduce que necesariamente [texx]a-1=2.[/texx]  Por ejemplo:

[texx]2(3\cdot 4+5\cdot 3\cdot 7+3+1)=242=11\cdot 22[/texx]

Entonces, ¿por qué no [texx]a-1=11[/texx] ó [texx]a-1=22[/texx]?.

Es en ese sentido en el que digo que igualas factores que no tienen porque ser iguales.

Saludos.
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« Respuesta #142 : 19/12/2017, 02:55:46 pm »

En relación al 1, dicho número es transcendental, es decir inicialmente adopta la siguiente formula [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx] y [texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3[/texx]. Este escenario puede provocar que de la suma de dos potencias sin factor común podamos obtener una tercera, siempre que alguna de las tres potencias sea de grado 2.

¿Pero porque no existen tres potencias todas ellas con exponentes mayores o igual que 3 que no necesiten tener un factor común? De esta duda surgió.

[texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3 [/texx];
[texx] (a-1)a(a+1)+a-1+1=(a-1)(a(a+1)+1)+1=(a-1)(a^2+a+1)+1=a^3 [/texx]. Por la similitud con [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx].

Si aparece esta última si que hay potencias sin factor común y si las tres potencias son iguales o mayores a la primera las potencias necesariamente tienen que tener un factor común.

Pero todo lo dicho son suposiciones que supongo, al igual que, todos los datos suponen que la conjetura es cierta, excepto la Conjetura ABC.

Aunque la razón primordial es que la ecuación (i) es una condición exigente con los números, con la cual se reduce significativamente el número de variables.

Si desaparece dicho 1 entonces a^n=(y-1)f(y) y las factorizaciones se vuelven no infinitas, pero si con una gran cantidad de posibilidades que dificulta obtener algo en concreto. Por lo tanto, creo que dicho 1 ayuda a establecer un orden en la factorización.

En relación a [texx] 2(3·4+5·3·7+3+1) [/texx] donde [texx] (a-1)=2[/texx]. Es decir (a-1)(f(a)+1)+1 donde f(a), todos sus sumandos, tienen que poseer un factor común en caso contrario no cumple con f(a)=a^n…a^2+a. Todas estos requisitos son condición necesaria que no suficiente para la ecuación sea igual a una potencia. Claro esta dentro de cada caso, con su debida concretización.

Por lo tanto mis propuestas de demostración se basan, en que la suma de dos potencias cumplan con los siguientes requisitos (siendo condición necesaria que no suficiente):

1.   Que toda la expresión adopte la siguiente estructura (a-1)(f(a)+1)+1.
2.   f(a) todos sus sumandos deben tener un factor común.
3.   Si los dos requisitos se cumplen entonces (a-1)(f(a)+1)+1 puede o no, entrar en el olimpo de las potencias.

Obviamente si eliminamos el 1 entramos en un profundo caos, porque las factorizaciones pueden ser casi casi infinitas. ¿Cierto?
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« Respuesta #143 : 19/12/2017, 03:19:34 pm »

Hola

En relación al 1, dicho número es transcendental, es decir inicialmente adopta la siguiente formula [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx] y [texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3[/texx]. Este escenario puede provocar que de la suma de dos potencias sin factor común podamos obtener una tercera, siempre que alguna de las tres potencias sea de grado 2.

¿Pero porque no existen tres potencias todas ellas con exponentes mayores o igual que 3 que no necesiten tener un factor común? De esta duda surgió.

[texx] (a-1)a(a+1)+a =a^3 [/texx];
[texx] (a-1)a(a+1)+a-1+1=(a-1)(a(a+1)+1)+1=(a-1)(a^2+a+1)+1=a^3 [/texx]. Por la similitud con [texx] (a-1)(a+1)+1=a^2 [/texx].

Si aparece esta última si que hay potencias sin factor común y si las tres potencias son iguales o mayores a la primera las potencias necesariamente tienen que tener un factor común.

Pero todo lo dicho son suposiciones que supongo, al igual que, todos los datos suponen que la conjetura es cierta, excepto la Conjetura ABC.

Aunque la razón primordial es que la ecuación (i) es una condición exigente con los números, con la cual se reduce significativamente el número de variables.

Si desaparece dicho 1 entonces a^n=(y-1)f(y) y las factorizaciones se vuelven no infinitas, pero si con una gran cantidad de posibilidades que dificulta obtener algo en concreto. Por lo tanto, creo que dicho 1 ayuda a establecer un orden en la factorización.

En relación a [texx] 2(3·4+5·3·7+3+1) [/texx] donde [texx] (a-1)=2[/texx]. Es decir (a-1)(f(a)+1)+1 donde f(a), todos sus sumandos, tienen que poseer un factor común en caso contrario no cumple con f(a)=a^n…a^2+a. Todas estos requisitos son condición necesaria que no suficiente para la ecuación sea igual a una potencia. Claro esta dentro de cada caso, con su debida concretización.

Por lo tanto mis propuestas de demostración se basan, en que la suma de dos potencias cumplan con los siguientes requisitos (siendo condición necesaria que no suficiente):

1.   Que toda la expresión adopte la siguiente estructura (a-1)(f(a)+1)+1.
2.   f(a) todos sus sumandos deben tener un factor común.
3.   Si los dos requisitos se cumplen entonces (a-1)(f(a)+1)+1 puede o no, entrar en el olimpo de las potencias.

Obviamente si eliminamos el 1 entramos en un profundo caos, porque las factorizaciones pueden ser casi casi infinitas. ¿Cierto?

Sobre todo esto por lo que tiene de vago, no digo nada.

Si insisto (y he argumentado) en que todos los intentos que has hecho de concretar esa idea están mal.

Saludos.

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« Respuesta #144 : 22/12/2017, 04:32:52 pm »

Hola.

Proponer tres casos muy breves, mediante una sistemática muy sencilla, primero dos ejemplos para verificar que el procedimiento es cierto y luego propuesta de un caso concreto.

Consideremos el siguiente ejemplo: [texx] 3^3 + 6^3 = 3^5[/texx]; por tanto [texx] a^3 + 2a^3 = a^5[/texx].

Si el procedimiento propuesto funciona, una de las posibles soluciones tendría que ser 3. ¿Cierto?

[texx] a^3 + 2a^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx];
[texx] a^3 + 2a^3 -1= (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (a^3 + 2a^3 -1)/(a-1) = (a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (a^3 + 2a^3 -1)/(a-1)[/texx]; Esta ecuación tiene que proporcionar un número entero. Simplificamos dicha expresión:
[texx] 3 a^2 + 3 a + 2/(a - 1) + 3 [/texx];

Los únicos valores que puede adoptar la a para que facilite un número entero es 2 y 3. Si a=2 la ecuación es igual a 24, si a=3 la ecuación devuelve 3^5. Dicha sistemática funciona. ¿Cierto?

Un nuevo ejemplo.

[texx] 70^3 + 105^3 = 35^4[/texx] =[texx] (2a)^3+(3a)^3 = a^4[/texx].
[texx] (2a)^3+(3a)^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx];
[texx] ((2a)^3+(3a)^3)-1 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (((2a)^3+(3a)^3)-1)/(a-1)= (a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (((2a)^3+(3a)^3)-1)/(a-1) = número entero [/texx];
[texx] 35 + 34/(-1 + a) + 35 a + 35 a^2 [/texx];

Los únicos valores que cumplen con la condición son 35, 18, 3 y 2. El único que proporciona una potencia es 35. ¿Cierto?

Para finalizar apliquemos la sistemática descrita en un caso concreto:

[texx] 2^3+(2a+1)^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx];
[texx] 2^3+(2a+1)^3 -1 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];
[texx] (2^3+(2a+1)^3 -1)/ (a-1) = (a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1) [/texx];

Simplificamos la primera expresión:

[texx] 8 a^2 + 20 a + 34/(a - 1) + 26 [/texx];

Los únicos valores que puede adoptar a para que la expresión facilite un número entero son 35, 18, 3 y 2. Y obviamente ninguno de ellos arroja una potencia, porque en su caso seria un contraejemplo que ya hubiera indicado los ordenadores,

¿Cierto? ¿Dicho razonamiento demuestra este caso concreto?

¿Luis esta vez en que me equivoco?

Atentamente.
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« Respuesta #145 : 23/12/2017, 12:52:01 pm »

Hola.

Esta mal porque la a de ambos lados de la igualdad no tiene porque coincidir.

[texx] 2^3+(2a+1)^3 = (a-1)(a^{n-1}+...+a^3+a^2+a+1)+1 [/texx]

ATentamente.
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« Respuesta #146 : 27/12/2017, 03:50:30 pm »

Hola.

[texx] 2^3+(2a+1)^3=(2b+1)^3 [/texx]. Intento demostrar que es imposible esta igualdad.

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a+1= 2b(2b+1)(2b-1)+2b+1 [/texx];

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a= 2b(2b+1)(2b-1)+2b [/texx]; Dividimos toda la expresión entre 2.

[texx] 2^2+a(2a+1)(2a-1)+a= b(2b+1)(2b-1)+b [/texx]; Simplificamos.

[texx] 4a^3+6a^2+3a+4= 4b^3+6b^2+3b [/texx].

Si damos valores a la ecuación [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] vemos que la unicidad de [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] es mucho mayor que 4. Por tanto el 4 impide que la ecuación de la derecha sea igual a la de la izquierda. Dicha sistemática se puede aplicar para cualquier  [texx] 2^n+(2a+1)^n=(2b+1)^n [/texx]. ¿Cierto?

¿Luis esta bien o mal?

De todas formas, este bien o mal, a priori no le veo relevancia con la conjetura de Beal.

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« Respuesta #147 : 28/12/2017, 06:48:32 am »

Hola

¿Luis esta bien o mal?

Pues "así asá". El problema es que el razonamiento final no está bien expresado, no está concretado.

[texx] 2^3+(2a+1)^3=(2b+1)^3 [/texx]. Intento demostrar que es imposible esta igualdad.

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a+1= 2b(2b+1)(2b-1)+2b+1 [/texx];

[texx] 2^3+2a(2a+1)(2a-1)+2a= 2b(2b+1)(2b-1)+2b [/texx]; Dividimos toda la expresión entre 2.

[texx] 2^2+a(2a+1)(2a-1)+a= b(2b+1)(2b-1)+b [/texx]; Simplificamos.

[texx] 4a^3+6a^2+3a+4= 4b^3+6b^2+3b [/texx].

Si damos valores a la ecuación [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] vemos que la unicidad de [texx] 4a^3+6a^2+3a [/texx] es mucho mayor que 4.

Esa frase es un galimatías. ¿Qué se supone que quiere decir que la unicidad de una expresión sea mayor que algo?¿Cómo se supone que se cuantifica una unicidad?. Además si el argumento pasa por dar valores así de manera imprecisa, eso no es sólido.

En realidad ver que la ecuación:

[texx]2^3+x^3=y^3 [/texx]

no tiene soluciones enteras positivas es trivial. De la ecuación se deduce inmediatamente que [texx]y>x[/texx] e [texx]y,x[/texx] tienen la misma paridad; por tanto [texx]y\geq (x+2).[/texx] Tendríamos así que:

[texx]8=2^3=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx].  ¡Contradicción!.

Saludos.
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« Respuesta #148 : 28/12/2017, 02:44:40 pm »

Hola.
Me lie con el concepto de unicidad.


De la ecuación se deduce inmediatamente que [texx]y>x[/texx] e [texx]y,x[/texx] tienen la misma paridad; por tanto [texx]y\geq (x+2).[/texx] Tendríamos así que:

[texx]8=2^3=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx].  ¡Contradicción!

Luis que precisión, concisión, eficacia, eficiencia, etc.

Pero, ¿que ocurriría si [texx]2^n=y^3-x^3 [/texx]?

[texx]2^n=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx]. ¿Contradicción?

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« Respuesta #149 : 29/12/2017, 06:02:47 am »

Hola

Pero, ¿que ocurriría si [texx]2^n=y^3-x^3 [/texx]?

[texx]2^n=y^3-x^3\geq (x+2)^3-x^3=6x^2+12x+8\geq 6\cdot 1^2+12\cdot 1+7=26[/texx]. ¿Contradicción?

No, ahí a prioiri no hay ninguna contradicción. Llegamos a que [texx]2^n\geq 26[/texx] lo cual es posible para [texx]n\geq 5[/texx].

En el caso inicial para [texx]n=3,[/texx] si había contradicción porque es falso que [texx]2^3\geq 26[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #150 : 07/01/2018, 06:36:27 am »

Hola.

Sean a y b dos números primos tal que:

[texx] (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/texx] recordemos el Triangulo de Pascal.
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];

Para complir la conjetura de Beal [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] tiene que ser potencia, por lo tanto;

[texx] (3a^2+3ab+b^2)=b^2, b^3, b^4,..., b^n [/texx].

UTF.

[texx] (a+b)^3= a^3+b(b^2) [/texx];
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];
[texx] b^2 = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; [texx] 0 = 3a^2+3ab [/texx]. Contradicción.

Beal.

[texx] (a+b)^3= a^3+b(b^n) [/texx]; n es un integro mayor o igual que 3.
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];
[texx] b^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

[texx] a = \displaystyle\frac{1}{6} (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{b^2 (4 b^{n-2} - 1)} - 3 b) [/texx].

Por tanto, a esta en función de b. Contradiciendo que a y b sean primos. ¿Cierto?

¿Luis en que me equivoco esta vez?

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« Respuesta #151 : 07/01/2018, 06:42:33 pm »

Hola

Sean a y b dos números primos tal que:

[texx] (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/texx] recordemos el Triangulo de Pascal.
[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];

Para complir la conjetura de Beal [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] tiene que ser potencia, por lo tanto;

[texx] (3a^2+3ab+b^2)=b^2, b^3, b^4,..., b^n [/texx].

¿Pero por qué una potencia de [texx]b[/texx] y no de cualquier otro número?.

Saludos.
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« Respuesta #152 : 08/01/2018, 01:41:45 pm »

Hola.

[texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx]

b es un número primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Un número primo, solo es potencia si se multiplica por el mismo o un número con el que posea un factor común, posiblemente si multiplicáramos el 2 o cualquier otro número primo por el resto de los infinitos números primos (finitas o infinitas veces) nunca obtendríamos ninguna potencia. ¿Cierto?

Por tanto [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] en este caso concreto, (quizás me equivoque) dicha ecuación, considerando que b es un número primo, solo puede ser potencia si [texx] (3a^2+3ab+b^2) [/texx] es igual a una potencia de b o un número con factor común de dicho primo.

Es decir, [texx] 7(7^2)(3^3) [/texx] donde b = 7 y [texx] (3a^2+3ab+b^2) = (7^2)(3^3) [/texx] ¿Cierto?

Cualquier otro número que no sea b o no contenga un factor común con b, su producto con b no será potencia. ¿Cierto?

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« Respuesta #153 : 09/01/2018, 06:54:28 am »

Hola

Hola.

[texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx]

b es un número primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Un número primo, solo es potencia si se multiplica por el mismo o un número con el que posea un factor común, posiblemente si multiplicáramos el 2 o cualquier otro número primo por el resto de los infinitos números primos (finitas o infinitas veces) nunca obtendríamos ninguna potencia. ¿Cierto?

Por tanto [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] en este caso concreto, (quizás me equivoque) dicha ecuación, considerando que b es un número primo, solo puede ser potencia si [texx] (3a^2+3ab+b^2) [/texx] es igual a una potencia de b o un número con factor común de dicho primo.

Es decir, [texx] 7(7^2)(3^3) [/texx] donde b = 7 y [texx] (3a^2+3ab+b^2) = (7^2)(3^3) [/texx] ¿Cierto?

Cualquier otro número que no sea b o no contenga un factor común con b, su producto con b no será potencia. ¿Cierto?

Si, eso si. Es decir [texx]b[/texx] es primo y [texx] b(3a^2+3ab+b^2) [/texx] es una [texx]n[/texx]-sima potencia entonces:

[texx]b(3a^2+3ab+b^2)=b^nk^n[/texx]

Saludos.

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] te estás centrando en el caso en el que [texx]x[/texx] es primo y [texx]z-x[/texx] es primo.
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« Respuesta #154 : 09/01/2018, 03:41:41 pm »

Hola.

Beal

[texx] b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

[texx] a = \displaystyle\frac{1}{6} (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{b^2 (4 b^{n-2}c^{n} - 1)} - 3 b) [/texx].

Si este razonamiento lo extendiéramos, mediante el triangulo de Pascal a todas las potencias, ¿estaria demostrada la conjetura de Beal?

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« Respuesta #155 : 09/01/2018, 06:34:44 pm »

Hola

Beal

[texx] b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

No hace falta que despejes nada; de esa expresión se deduce que [texx]b[/texx] es divisor de [texx]3a^2[/texx]. Dado que [texx]b[/texx] es primo y [texx]a[/texx] también, o [texx]b=3[/texx] o [texx]b=a[/texx].

Cita
Si este razonamiento lo extendiéramos, mediante el triangulo de Pascal a todas las potencias, ¿estaria demostrada la conjetura de Beal?

Pero no sé si eres consciente del comentario que te hice en mi anterior mensaje:

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] te estás centrando en el caso en el que [texx]x[/texx] es primo y [texx]z-x[/texx] es primo.

No sólo es particular que estés tomando la potencia [texx]3[/texx]; estás tomando además una situación nada general, considerando un factor primo y que se diferencia del segundo en otro primo. El caso general sería considerar los factore coprimos, es decir, sin divisores comunes (pero no necesariamente primos), que es bien distinto.

Saludos.
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« Respuesta #156 : 10/01/2018, 04:30:41 pm »

Hola.

Lanzo dos casos, para intentar, obtener la sistemática general para la conjetura de Beal. Siendo a y b coprimos.

[texx] a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 =(a+b)^4 [/texx];
[texx] a^4+b^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3 =(a+b)^4 [/texx];
[texx] a^4+b(b^3+4a^3+6a^2b+4ab^2) =(a+b)^4 [/texx];

De acuerdo con Luis [texx] b^3+4a^3+6a^2b+4ab^2 =b^{n-1}K^n[/texx] a es divisible con b contradiciendo que son coprimos.

Esta sistemática se puede extender a todos los grados del triángulo de Pascal tal que [texx] a^n+(Kb)^{n+c} =(a+b)^n [/texx] donde k y c son números enteros positivos. ¿Cierto?

Añado un nuevo caso:

[texx] a^4+ b^4=(a+b)^4-(4a^3b+6a^2b^2+4ab^3) [/texx];
[texx] a^4+ b^4=(a+b)^4-((a+b)(-((2a^4)/(a+b)) +2a^3+2a^2b+4ab^2)) [/texx];

[texx] \displaystyle\frac{2a^4}{(a+b)} [/texx]. Esta ecuación para que facilite un numeró integro, a y b deben tener un factor común. ¿Cierto? Bueno pues, con mucha paciencia, quizás esta sistemática se pueda extender a todos los grados en este caso concreto. ¿Cierto? Mediante una ecuación que generalice esta situación concreta tal que [texx]a^n +b^n = (a+b)^{n+c} [/texx] donde c es un número integro positivo. ¿Cierto?

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« Respuesta #157 : 12/01/2018, 02:47:01 pm »

Hola.

Sean a y b coprimos y t1, t2 coeficientes del triangulo de Pascal.


1) [texx] a^n+(Kb)^{n+c} =(a+b)^n [/texx]

Apliquemos el triangulo de Pascal:

[texx] a^n+t1a^{n-1} b+...+t1ab^{n-1}+b^n =(a+b)^n[/texx];
[texx] a^n+ b^n+t1a^{n-1} b+...+ t1ab^{n-1}=(a+b)^n [/texx];
[texx] a^n+ b(b^{n-1}+t1a^{n-1} +...+ t1ab^{n-2}) =(a+b)^n [/texx];

De toda la expresión [texx] b(b^{n-1}+t1a^{n-1} +...+t1ab^{n-2}) [/texx] (i), el producto [texx] t1a^{n-1} [/texx] es el único que no pose b, por lo tanto, para que sea (i) potencia a ha de ser divisible o tener un factor común con b. ¿Cierto?


2) [texx]a^n +b^n = (K(a+b))^{n+c} [/texx]


n par
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-( t1a^{n-1}b+ ...+ t1ab^{n-1}) [/texx];
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-((a+b)(-\displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)}+f(a,b))) [/texx];
La f(a,b) representa una suma de potencias de a y b sin ningún tipo de quebrado.


n impar
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-( t1a^{n-1}b+ ...+ t1ab^{n-1}) [/texx];
[texx] a^n+ b^n=(a+b)^n-((a+b)^2)(-\displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)^2}+f(a,b))) [/texx];

La f(a,b) representa una suma de potencias de a y b sin ningún tipo de quebrado.

[texx] \displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)} [/texx]. Esta ecuación para que facilite un numeró integro, a y b deben tener un factor común.

Este razonamiento demuestra la conjetura de Beal.


¿Luis en que me equivoco?

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« Respuesta #158 : 12/01/2018, 08:03:05 pm »

Hola

 No has prestado atención al comentario que hice al final de mi último mensaje.

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] te estás centrando en el caso en el que [texx]x[/texx] es primo y [texx]z-x[/texx] es primo.

No sólo es particular que estés tomando la potencia [texx]3[/texx]; estás tomando además una situación nada general, considerando un factor primo y que se diferencia del segundo en otro primo. El caso general sería considerar los factore coprimos, es decir, sin divisores comunes (pero no necesariamente primos), que es bien distinto.

Entonces, sin ir más lejos el caso más sencillo que era este:



Beal

[texx] b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2 [/texx]; Despejamos la a.

No hace falta que despejes nada; de esa expresión se deduce que [texx]b[/texx] es divisor de [texx]3a^2[/texx]. Dado que [texx]b[/texx] es primo y [texx]a[/texx] también, o [texx]b=3[/texx] o [texx]b=a[/texx].

Ya no funciona si [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son sólo coprimos, pero no necesariamente primos.

En ese caso que [texx]b(3a^2+3ab+b^2)[/texx] sea una potencia NO significa que ésta sea de la forma [texx]b^nk^n[/texx]. Por ejemplo [texx]b[/texx] podría ser de la forma [texx]b=s^n [/texx], de manera que que [texx]b(3a^2+3ab+b^2)[/texx] fuese una enésima potencia simplemente significaría que [texx](3a^2+3ab+b^2)[/texx] también lo es pero ya sin ninguna relación con [texx]b[/texx].

Esto ya invalida tus pretendidas generalizaciones.

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« Respuesta #159 : 13/01/2018, 10:43:52 am »

Hola.

Luis haber si lo entendido. Sea a y b coprimos y n potencia mayor o igual que 3.

[texx] (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2) [/texx];


[texx] b=x^n[/texx];

[texx] 3a^2+3ab+b^2=y^n[/texx];


[texx] 3a^2+3a x^n + x^{2n} = y^n[/texx];

[texx] 3a x^n + x^{2n} = y^n - 3a^2 [/texx];

[texx] x^n (3a+ x^{2})= y^n - 3a^2 [/texx];

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ y^n - 3a^2}{ x^n } [/texx];

Sustituimos [texx] 3a^2+3ab+b^2=y^n[/texx] y [texx] b=x^n[/texx].

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3a^2+3ab+b^2- 3a^2}{ b } [/texx];

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3ab+b^2}{ b } [/texx];

Simplifico.

[texx] (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3a+b}{ 1 } [/texx];

[texx] 3a + x^2 = 3a +b [/texx];

[texx] x^2 = b [/texx];

La n inicialmente la propusimos mayor o igual que 3, que no 2, por lo tanto contracción. ¿Cierto?

Atentamente.
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