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Autor Tema: Conjetura de Beal  (Leído 21229 veces)
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Gonzo
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« Respuesta #120 : 12/01/2017, 02:03:38 pm »

Entiendo. Esto es una barbaridad.  [texx] B^n= (A^{2*3})-3ab=(A^3+c)^3 [/texx]. Con reflexión y tiempo se ve claramente que c es negativa. Sin llegar a ningún tipo de contradicción.
Atentamente.
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Gonzo
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« Respuesta #121 : 05/03/2017, 06:58:44 pm »

Hola,
[texx] B^n=a+b[/texx]
[texx] A^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Hay íntegros que cumplen con la segunda condición. Con a y b con y sin factor común.
Pero qué ocurre si [texx] A^n=(a+b)^3-3ab[/texx]. Pues que, no existe valor para a y b que cumplan con dicha condición. Considerando que todas las variables son enteras. Independientemente de que si a y b tienen o no factor común. ¿Por qué?
[texx] (a+b)^3 - 3ab=a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx].
Observemos que [texx] a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx] nunca será igual a [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx] ni a otra expresión que podamos obtener con el triángulo de Pascal.
Este razonamiento se puede extender a [texx] (a+b)^6 - 3ab[/texx].
Suponiendo que se cumplen las dos condiciones iniciales y suponiendo que todos los exponentes son iguales o mayores que 3. Esto es:
[texx] B^3=a+b[/texx].
[texx] A^n=(a+b)^{3*2}-3ab[/texx]; [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx].
Por lo tanto, [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx], nunca tendrá soluciones con números enteros.
Atentamente.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #122 : 06/03/2017, 07:08:44 am »

Hola

 No se entiende demasiado de tu último mensaje:

 1) Realmente no das ninguna justificación sólida de tus afirmaciones.
 2) No se sabe a que viene esa disquisición.

 Detallo el asunto:

Hola,
[texx] B^n=a+b[/texx]
[texx] A^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Hay íntegros que cumplen con la segunda condición. Con a y b con y sin factor común.
Pero qué ocurre si [texx] A^n=(a+b)^3-3ab[/texx]. Pues que, no existe valor para a y b que cumplan con dicha condición. Considerando que todas las variables son enteras. Independientemente de que si a y b tienen o no factor común. ¿Por qué?
[texx] (a+b)^3 - 3ab=a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx].
Observemos que [texx] a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx] nunca será igual a [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx] ni a otra expresión que podamos obtener con el triángulo de Pascal.

Que [texx](a+b)^3\neq a^3+b^3+3ab(a+b-1)[/texx] si [texx]a,b\neq 0[/texx] es una obviedad. Pero eso no tiene nada que ver o no dice nada sobre si [texx](a+b)^3-3ab[/texx] puede o no ser una potencia enésima. Es decir de ahí no se deduce que no puedan existir enteros verificando la ecuación  [texx] A^n=(a+b)^3-3ab[/texx].

Cita
Este razonamiento se puede extender a [texx] (a+b)^6 - 3ab[/texx].

Como te he dicho, el razonamiento esta mal, así que no hay nada que extender.

Cita
Suponiendo que se cumplen las dos condiciones iniciales y suponiendo que todos los exponentes son iguales o mayores que 3. Esto es:
[texx] B^3=a+b[/texx].
[texx] A^n=(a+b)^{3*2}-3ab[/texx]; [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx].
Por lo tanto, [texx] A^n=(a+b)^6-3ab[/texx], nunca tendrá soluciones con números enteros.

Por una parte no has probado nada de esto y por otra tampoco sé a que viene.

Las ecuaciones que estabas estudiando:

[texx]B^n=a+b[/texx]
[texx]A^n=(a+b)^2-3ab[/texx]

venían a cuento (surgían de manera natural) al estudiar la ecuación [texx]C^n=a^3+b^3.[/texx]

Pero por ejemplo estudiar:

[texx]B^n=a+b[/texx]
[texx]A^n=(a+b)^6-3ab[/texx]

ya no sé a que viene.

Saludos.
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« Respuesta #123 : 15/04/2017, 01:37:21 pm »

Hola.
[texx]A^n=a+b[/texx].
[texx] B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Lanzo la siguiente duda.
Supongamos que
[texx] B^3=(a+b)^2-3ab[/texx] y que operando llegamos a:
[texx] B^3=(a^3+b^3)/(a+b) [/texx] y [texx] B^3=3/2(a^2+b^2)-1/2(a+b)^2 [/texx].
Donde [texx] (a+b)^2 = A^6 [/texx]. Porque incialmente consideramos [texx] A^3=a+b[/texx].
Igualamos tal que [texx] (a^3+b^3)/(a+b)=3/2(a^2+b^2)-1/2(A)^6 [/texx]. Despejamos a.
Dos soluciones. [texx] a = -b - A^3 [/texx] y [texx] a =-b + A^3 [/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx]. La primera solución 2a=-2b y de la segunda a = a. Por lo tanto, a=-b.
¿Dicha igualdad, a=-b, contradice las condiciones iniciales? y por lo tanto verifica que es imposible este caso particular.
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« Respuesta #124 : 16/04/2017, 06:29:16 pm »

Hola

[texx]A^n=a+b[/texx].
[texx] B^n=(a+b)^2-3ab[/texx].
Lanzo la siguiente duda.
Supongamos que
[texx] B^3=(a+b)^2-3ab[/texx] y que operando llegamos a:
[texx] B^3=(a^3+b^3)/(a+b) [/texx] y [texx] B^3=3/2(a^2+b^2)-1/2(a+b)^2 [/texx].
Donde [texx] (a+b)^2 = A^6 [/texx]. Porque incialmente consideramos [texx] A^3=a+b[/texx].
Igualamos tal que [texx] (a^3+b^3)/(a+b)=3/2(a^2+b^2)-1/2(A)^6 [/texx]. Despejamos a.
Dos soluciones. [texx] a = -b - A^3 [/texx] y [texx] a =-b + A^3 [/texx]. Donde [texx] A^3=a+b[/texx]. La primera solución 2a=-2b y de la segunda a = a. Por lo tanto, a=-b.
¿Dicha igualdad, a=-b, contradice las condiciones iniciales? y por lo tanto verifica que es imposible este caso particular.

Si [texx]a=-b[/texx] queda descartada porque, entre otras coas, estamos suponiendo que [texx]a,b[/texx] son enteros positivos.

Pero la que no queda descartada es la solución trivial [texx]a=a[/texx], que obviamente es cierta. Así que el razonamiento que planteas no concluye nada útil.

Es lógico porque tan solo manejas identidades.

Saludos.
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« Respuesta #125 : 14/05/2017, 05:02:20 pm »

Hola.
Tiempo atrás:
[texx]a+b=c^3 [/texx] y [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx] donde d y c son coprimos.
Por lo tanto, [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx]; [texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]. En esta última expresión la forzamos para que cumpla con la primera de las condiciones iniciales:
[texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^3)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=d^3 +3ab [/texx]. Sustituimos [texx] d=a+e [/texx]. Por lo tanto, [texx] (c^2)^3=(a+e)^3 +3ab [/texx]. Triángulo de Pascal. [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e) +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab)[/texx]. Dicha expresión [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e)+ab) [/texx] en concreto [texx] (a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) [/texx]. Para ser igual a potencia de grado 3 debería cumplir con [texx] a*b=0 [/texx]. Condición imposible con el caso planteado.
¿Cierto?
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« Respuesta #126 : 15/05/2017, 07:43:40 am »

Hola

[texx]a+b=c^3 [/texx] y [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx] donde d y c son coprimos.
Por lo tanto, [texx] (a+b)^2-3ab=d^3 [/texx]; [texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]. En esta última expresión la forzamos para que cumpla con la primera de las condiciones iniciales:
[texx] (a+b)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^3)^2=d^3 +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=d^3 +3ab [/texx]. Sustituimos [texx] d=a+e [/texx]. Por lo tanto, [texx] (c^2)^3=(a+e)^3 +3ab [/texx]. Triángulo de Pascal. [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e) +3ab [/texx]; [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab)[/texx]. Dicha expresión [texx] (c^2)^3=(a^3+e^3+3ae(a+e)+ab) [/texx] en concreto [texx] (a^3+e^3+3(ae(a+e)+ab) [/texx]. Para ser igual a potencia de grado 3 debería cumplir con [texx] a*b=0 [/texx]. Condición imposible con el caso planteado.
¿Cierto?

No sé si es cierta o no la afirmación en rojo, pero en caso de serlo tienes que demostralo. ¿Por qué tiene que cumplirse que [texx]ab=0[/texx]?.

Saludos.
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« Respuesta #127 : 15/05/2017, 04:20:19 pm »

Hola.
[texx] (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx].
Toda potencia de grado 3, de cualquier entero, la podemos expresar mediante la ecuación facilitada por el Triángulo de Pascal mediante enteros. Excepto [texx] 1^3[/texx].
Para cada entero, su suma, [texx] (a+b)^3[/texx], la indicamos tal que, [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx]. Para cada par de [texx] a^3+b^3[/texx] tan solo existe un [texx] 3ab(a+b)[/texx], de tal modo que su suma proporciona una potencia de grado 3. Si añadimos a [texx] 3ab(a+b)[/texx], [texx] 3ae[/texx], de dicha ecuación, no obtenemos potencia de grado 3. Quizás obtengamos otra potencia, o quizás no.
Es decir, con [texx] a^3+b^3[/texx] solo formaremos potencia de grado 3, si y solo si, le sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx]. Si a este último término le sumamos un [texx] 3ae[/texx], podemos obtener potencia o no, pero nunca una potencia de grado 3. Porque con [texx] a^3+b^3[/texx] única y exclusivamente obtenemos potencia de grado 3 si sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx].
¿Cierto?
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« Respuesta #128 : 16/05/2017, 06:19:26 am »

Hola

Hola.
[texx] (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx].
Toda potencia de grado 3, de cualquier entero, la podemos expresar mediante la ecuación facilitada por el Triángulo de Pascal mediante enteros. Excepto [texx] 1^3[/texx].
Para cada entero, su suma, [texx] (a+b)^3[/texx], la indicamos tal que, [texx] a^3+b^3+3ab(a+b)[/texx]. Para cada par de [texx] a^3+b^3[/texx] tan solo existe un [texx] 3ab(a+b)[/texx], de tal modo que su suma proporciona una potencia de grado 3. Si añadimos a [texx] 3ab(a+b)[/texx], [texx] 3ae[/texx], de dicha ecuación, no obtenemos potencia de grado 3. Quizás obtengamos otra potencia, o quizás no.
Es decir, con [texx] a^3+b^3[/texx] solo formaremos potencia de grado 3, si y solo si, le sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx]. Si a este último término le sumamos un [texx] 3ae[/texx], podemos obtener potencia o no, pero nunca una potencia de grado 3. Porque con [texx] a^3+b^3[/texx] única y exclusivamente obtenemos potencia de grado 3 si sumamos [texx] 3ab(a+b)[/texx].
¿Cierto?


No, no es cierto.

Las afirmaciones que marco en rojo son falsas.

Por ejemplo para [texx]a=2[/texx] y [texx]b=\color{red}7\color{black}[/texx]:

[texx]2^3+7^{\color{red}3\color{black}}+\underbrace{3\cdot 2\cdot 7(\color{red}1404\color{black})}_{\neq 3ab(a+b)}=39^3[/texx]

Fíjate que aunque yo no fuese capaz de encontrar un ejemplo que mostrase que son falsas, serían en cualquier caso afirmaciones gratuitas, que no habrías justificado convenientemente. Pero es que aun encima hay contraejemplos.

Saludos.

CORREGIDO
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« Respuesta #129 : 16/05/2017, 11:01:13 am »

Hola.

El contraejemplo no se ajusta a lo establecido.

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« Respuesta #130 : 16/05/2017, 11:53:43 am »

Hola

El contraejemplo no se ajusta a lo establecido.

Perdón, me equivoqué al copiarlo. Ya está corregido.

Saludos.
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« Respuesta #131 : 02/12/2017, 06:39:38 am »

Hola.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^3=1·2·3+2[/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx]

Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
[texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx];
[texx]2·3 + 2 + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx]2·(3 + 1 + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx];
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] ecuación (ii) si comparamos esta ecuación con (i).
Podemos decir que para que (ii) cumpla con (i);
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx] 2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 +1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1 [/texx];
[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a+1)[/texx] = [texx](3^{n-1}...+ 3^2+1)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}...)+ 1)[/texx];
O sea [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] es decir el primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?
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« Respuesta #132 : 05/12/2017, 02:43:45 pm »

Hola

Hola.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^3=1·2·3+2[/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx]

Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
[texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx];
[texx]2·3 + 2 + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx]2·(3 + 1 + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx];
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] ecuación (ii) si comparamos esta ecuación con (i).
Podemos decir que para que (ii) cumpla con (i);
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx] 2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 +1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1 [/texx];
[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a+1)[/texx] = [texx](3^{n-1}...+ 3^2+1)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}...)+ 1)[/texx];
O sea [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] es decir el primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?

No, no está bien. Ese argumento no es concluyente. No he revisado las cuentas totalmente, pero aun admitiéndolas como buenas el razonamiento final no está bien.

Tu tienes dos expresiones factorizadas de distinta manera que pueden corresponder a un mismo número, pero no tienen porque ser la misma factorización. De manera que lo que se cumpla para una no tiene que ser cierto para la otra. Por ejemplo:

[texx]80=5(3\cdot 5+1)=8\cdot (9+1)[/texx]

En la primera factorización [texx]5(3\cdot 5+1)[/texx] el segundo factor menos uno comparte un divisor común con el primero.

En la segunda factorización [texx]8(9+1)[/texx] esto no se da y sin embargo ambas son factorizaciones correctas del [texx]80[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #133 : 05/12/2017, 03:22:41 pm »

Hola.

No, no está bien. Ese argumento no es concluyente. No he revisado las cuentas totalmente, pero aun admitiéndolas como buenas el razonamiento final no está bien.

Tu tienes dos expresiones factorizadas de distinta manera que pueden corresponder a un mismo número, pero no tienen porque ser la misma factorización. De manera que lo que se cumpla para una no tiene que ser cierto para la otra. Por ejemplo:

[texx]80=5(3\cdot 5+1)=8\cdot (9+1)[/texx]

En la primera factorización [texx]5(3\cdot 5+1)[/texx] el segundo factor menos uno comparte un divisor común con el primero.

En la segunda factorización [texx]8(9+1)[/texx] esto no se da y sin embargo ambas son factorizaciones correctas del [texx]80[/texx].
 

En la factorización que yo propongo, los dos primeros números (de ambas factorizaciones) son los mismos, en este caso es el 2 inicial:
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx]2·( ... + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( ... + 3 + 1)+1[/texx];

Fijese que donde los puntos suspensivos (arriba) deberia poner (abajo) y que excepto los puntos suspensivos todo lo demás coincide.

[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a)[/texx] = [texx](3^{n-1}+...+ 3^2)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx];

El primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?
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« Respuesta #134 : 05/12/2017, 03:34:35 pm »

Hola

En la factorización que yo propongo, los dos primeros números (de ambas factorizaciones) son los mismos, en este caso es el 2 inicial:
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)(3^{n-1}...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
[texx]2·( ... + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( ... + 3 + 1)+1[/texx];

Fijese que donde los puntos suspensivos deberia poner:

[texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a)[/texx] = [texx](3^{n-1}+...+ 3^2)[/texx];
[texx]( a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx] = [texx]((3^2)(3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx];

El primer paréntesis [texx]((3^2)[/texx] comparte factor común con el segundo [texx]((3^{n-3}+3^{n-4}+3^{n-5}...+ 1)[/texx] excepto el 1. Claramente esta condición no se cumple con [texx]·(a·((2a+1)(2a+2)+1))[/texx]. Por lo tanto este caso concreto cumple la conjetura de Beal. ¿Cierto?

No. Esa demostración no está bien, no es concluyente. El motivo es exactamente el mismo que te comenté en mi mensaje anterior. Un mismo número puede tener muchas factorizaciones distintas; algunas cumplirán que el primer factor respecto al segundo cumplira tal o cual condición y otras no. Y te acabo de poner un ejemplo.

Saludos.
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« Respuesta #135 : 06/12/2017, 07:11:17 am »

Hola.
Esta en lo cierto porque si donde los puntos suspensivos ponemos un 58, entonces:
[texx]2·( ... + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( ... + 3 + 1)+1[/texx];
[texx]2·( 58 + 3 + 1)+1 = 5^3 [/texx].
Pero obviamente el 58 no cumple con [texx]( a·(2a+1)(2a+2)+a)[/texx]. Si resolvemos la ecuación a no es un número natural positivo. Por lo tanto, ¿que ocurre si precisamos un poco mas?
[texx]2·(( a·(2a+1)(2a+2)+a) + 3 + 1)+1 [/texx] = [texx](2)( 3^{n-1}+...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx];
Entonces [texx]a = 3^2[/texx].
[texx]2·(( 3^2·(2a+1)(2a+2)+3^2) + 3 + 1)+1 [/texx];
[texx]2·((3^2·(2a+1)(2a+2)+3^2 + 3+1)+1[/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+ 3^2 + 3 + 1)+1[/texx].
Si extendemos la sustitución a todas las a:
[texx]2·((3^2·(2a+1)(2a+2)) [/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx]2·(36 a^2 + 54 a + 18) [/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx]2·(36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx]=[texx](2)( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx](36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx]=[texx]( 3^{n-1}+...+3^3) [/texx];
[texx](36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx]=[texx](3^3(3^{n-4}+...+ 3+1) [/texx];
Si dividimos [texx](36 (3^2)^2 + 54 (3^2) + 18) [/texx] entre [texx] 3^3 [/texx] el resultado es 128,666666 y para cumplir con la ecuación (i) dicho resultado tendría que ser entero por tanto (ii) nunca será igual a (i).
Aclaración:
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i)
[texx]2·( a·(2a+1)(2a+2)+a + 3 + 1)+1 [/texx] (ii).

Atentamente.
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« Respuesta #136 : 16/12/2017, 10:03:37 am »

Hola, siguiendo la sistemática establecida para el caso [texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx] demuestro que para [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] siendo n mayor o igual que 3 la conjetura de Beal sigue cumpliendose.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^n=1·2^{n-2}·3+2^{n-2} [/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx].

Recordemos que las dos últimas expresiones no es más que la aplicación directa de [texx]a^n=(a-1)·(a^{n-2})·(a+1)+ a^{n-2} [/texx] siendo a un número entero positivo y n un entero mayor o igual que 3.

Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:

[texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx];
[texx] 1·2^{n-2}·3+2^{n-2} + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx]; Ecuación (iii), dicha ecuación la comparamos con [texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] Ecuación (i) porque si queremos que (iii) sea igual a una potencia de grado 3 o mayor debe cumplir con lo dispuesto en la Ecuación (i). Igualamos ambas expresiones:

[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];

En la parte izquierda de la igualdad, dentro del paréntesis necesitamos un 1. Para que (iii) y (i) sean iguales. Entonces a solo puede adoptar dos valores. a=2 y a=1. Si a no adopta uno de estos dos valores nunca obtendremos un 1 dentro del paréntesis de la parte izquierda de la igualdad, entonces:

Caso [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] con a=2.

[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(2a+1)(2a+2)+2)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 4·(1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(2a+1)(a+1)+1)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
Simplificamos y sustituimos todas las a de la parte izquierda de la igualdad por 2 y actualizo los valores de la igualdad de la parte derecha, esto es:
[texx] (1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(5)(3)) = (5^{n-1} ... + 5^2 + 5 )[/texx];
[texx] (1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(5)(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
[texx] (1·2^{n-4}·3+2^{n-4} + 2·(5)(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
[texx] (2^{n-2} + 2·(5)(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
La primera parte de la igualdad, su suma, debe ser divisible entre 5 obteniendo un número integro. En caso contrario demuestro nuevamente que para este caso concreto la conjetura es cierta.
[texx] 5((2^{n-2})/5 + 2·(3)) = (5)(5^{n-2} ... + 5 + 1 )[/texx];
Recordemos que las potencias de 2 son 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512... Observemos que se repiten los últimos dígitos, es decir, 2, 4, 8, ...6, etc. Dichos enteros no son divisibles entre 5 por tanto la primera operación del primer paréntesis nunca será un número entero. Por tanto podemos afirmar que para este caso concreto la conjetura cumple.

Caso [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] con a=1.

Aplicamos la misma secuencia que en el caso a=2.
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(2+1)(2+2)+1)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)+1)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)) = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a) [/texx];
[texx] (1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)) = (3^{n-1} ... + 3^2 + 3) [/texx];
[texx] (1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + 2·(3)(4)) = 3·(3^{n-2} ... + 3 + 1) [/texx];
[texx] 3·(1·2^{n-3}+(2^{n-3}/3) + 2·4) = 3·(3^{n-2} ... + 3 + 1) [/texx];

Observemos que [texx] (2^{n-3}/3) [/texx] nunca será igual a un número entero. Por lo tanto este caso también cumple con conjetura. ¿Cierto?

Atentamente.
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« Respuesta #137 : Ayer a las 06:28:39 am »

Hola

Hola, siguiendo la sistemática establecida para el caso [texx]2^3 + (2a+1)^3 [/texx] demuestro que para [texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx] siendo n mayor o igual que 3 la conjetura de Beal sigue cumpliendose.
Recordemos que
[texx]a^2 = (a-1)(a + 1)+1[/texx]
[texx]a^3 = (a-1)(a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^4 = (a-1)(a^3 + a^2 + a + 1)+1[/texx]
[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] expresión (i), donde a es un número entero positivo y que
[texx]2^n=1·2^{n-2}·3+2^{n-2} [/texx] y [texx](2a+1)^3=2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx]. Recordemos que las dos últimas expresiones no es más que la aplicación directa de [texx]a^n=(a-1)·(a^{n-2})·(a+1)+ a^{n-2} [/texx] siendo a un número entero positivo y n un entero mayor o igual que 3.
Estas entidades se cumplen siempre, pues analicemos el siguiente caso concreto:
[texx]2^n + (2a+1)^3 [/texx];
[texx] 1·2^{n-2}·3+2^{n-2} + 2a·(2a+1)(2a+2)+2a+1 [/texx];
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 [/texx]; Ecuación (iii), dicha ecuación la comparamos con [texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] Ecuación (i) porque si queremos que (iii) sea igual a una potencia de grado 3 o mayor debe cumplir con lo dispuesto en la Ecuación (i). Igualamos ambas expresiones:
[texx] 2·(1·2^{n-3}·3+2^{n-3} + a·(2a+1)(2a+2)+a)+1 = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1 [/texx];
En la parte izquierda de la igualdad, dentro del paréntesis necesitamos un 1. Para que (iii) y (i) sean iguales. Entonces a solo puede adoptar dos valores. a=2 y a=1. Si a no adopta uno de estos dos valores nunca obtendremos un 1 dentro del paréntesis de la parte izquierda de la igualdad, entonces:

Está mal. Sigues cometiendo una, y otra, y otra, y otra vez el mismo error.

Un mismo número puede descomponerse como producto de dos factores de muchas formas distintas; igualando dos de ellas nada (a prioiri) asegura que tengan que ser la misma y por tanto no tiene sentido igualar factor a factor.

Además incluso dos posibles valores iguales podrían corresponder a polinomios muy diferentes evaluados en puntos distintos.

Saludos.
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« Respuesta #138 : Ayer a las 06:52:00 am »

Cierto que un producto se pude descomponer de muchas formas distintas.

Pero, dos productos que deben contener el mismos resultado Ecuación (i) y Ecuación (ii) y Ecuación (iii), al adoptar la estructura de la Ecuación (i) entonces y solo entonces el producto restante deber ser el mismo.

[texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx] (i)

Quiero decir, cualquier potencia de grado 3 o mayor, réstele un 1 y adopta la estructura de (i) (el producto). Si no adopta dicha estructura es porque no es potencia. (i) es una disposición muy concreta (posiblemente muy forzada) que solo cumplen las potencias, y para ser tal, debe cumplirla, en caso contrario, no es una potencia.
¿Cierto?

Luis, intente aplicar la sistemática establecida en el siguiente caso.

[texx]3^3+6^3=3^5[/texx]. Es decir:
[texx]2·3·4+3+5·6·7+6=3^5[/texx]. Ahora intente que [texx]2·3·4+3+5·6·7+6[/texx] cumpla con (i) [texx]a^n = (a-1)(a^{n-1} ... + a^2 + a + 1)+1[/texx].

¿Existen muchas posibilidades de factorización, en este caso concreto?

Aplicando esta sistemática solo hay una posible factorización.

¿Cierto?
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