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Autor Tema: Conjetura de Beal  (Leído 64533 veces)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #80 : 11/10/2016, 06:10:26 am »

Hola

Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. [texx]((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m [/texx].
Eso, es lo que no veo porqué tiene que ser así.
Estás presuponiendo que, la base de la potencia es [texx]A+B[/texx].
 
Cierto Mente Oscura, estoy suponiendo que, la base de la potencia es [texx]A+B[/texx]. Pero es que dicha potencia, si o si, es la base [texx]A+B[/texx] o un producto en el que participa [texx]A+B[/texx].

Pero no es lo mismo que digas que la base [texx]A+B[/texx] (que es una situación muy particular), que el hecho de que la base tenga como factor a [texx]A+B[/texx].

Es decir, si [texx]A^3+B^3=C^3[/texx] es cierto que [texx]C^3[/texx] tiene que ser divisible por [texx]A+B[/texx], es decir, [texx]C^3=(A+B)k[/texx], donde [texx]k [/texx]es otro factor.

Pero no tiene porque ocurrir que necesariamente [texx]C^3=(A+B)[/texx].

Cita
Si vemos la expresión [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]. Si de ella queremos obtener potencia. Entonces, a mi entender, bajo mejor opinión, [texx] ((A+B)^2-3AB)[/texx] tiene que ser igual (me refiero única y exclusivamente a la base) a [texx](A+B)^m [/texx] donde entonces 3AB debería poseer un factor común con (A+B).

"A mi entender" o "bajo mejor opinión" no son argumentos. La cuestión es muy sencilla (y me centro en el caso del Teorema de Fermat de grado tres). Hay que estudiar si es posible números enteros no nulos verificando:

[texx]A^3+B^3=C^3[/texx]

y tu te empeñas sin ninguna justificación sólida en tomar [texx]C=A+B[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #81 : 11/10/2016, 01:44:18 pm »

Hola:
[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].
Manco es aquí donde entra la K. Es decir [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Viendo esta expresión [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] simplemente indico que si A y B no comparten factor común [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] dicha expresión nunca será igual a una potencia. Es decir, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3); 5·((25-18)); 5·7 [/texx]. Obviamente no forma potencia.
Insisto, para que formen potencia [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].entonces [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] tienen que poseer un factor común. Y la única forma es que A y B tengan factor común.
La expresión [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], los dos primeros componentes (A+B) siempre tendrá su factor común “obviedad” por lo tanto lo que produce que [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia o no, es que [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común.
De acuerdo con el Manco, [texx] C^3 = (A+B))·k[/texx], es decir [texx] A^3+ B^3 = (A+B))·k[/texx].
En lenguaje del enunciado de la Conjetura de Beal, A + B, tiene un factor común con C. Junto con lo indicado que A y B deben tener un factor común (recordemos para que [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común). Por lo tanto, se cumple la conjetura de Beal si A y B tienen un factor común.

En definitiva, para que[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia, nos encontramos con dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.
En los dos casos [texx] (A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB [/texx] comparten el  factor común (A+B) y para eso A y B deben tener un factor común.
Atentamente.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #82 : 13/10/2016, 06:09:06 am »

Hola

Hola:
[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].
Manco es aquí donde entra la K. Es decir [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Viendo esta expresión [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] simplemente indico que si A y B no comparten factor común [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] dicha expresión nunca será igual a una potencia.

El problema es que no demuestras la afirmación en rojo. No das ningún argumento que justifique que es cierta.

Cita
Es decir, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3); 5·((25-18)); 5·7 [/texx]. Obviamente no forma potencia.

Un ejemplo no dice nada. ¿Quién asegura que para otros números no pudiera ocurrir?.

Cita
Insisto, para que formen potencia [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx].entonces [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] tienen que poseer un factor común. Y la única forma es que A y B tengan factor común.

Insistes y lo puedes repetir mil veces. Pero no lo justificas.

Cita
La expresión [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], los dos primeros componentes (A+B) siempre tendrá su factor común “obviedad” por lo tanto lo que produce que [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] sea potencia o no, es que [texx] ((A+B)^2 [/texx] y [texx]  3AB) [/texx] compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común.

Y vuelta a repetirlo sin mayor justificación.

Te voy a poner un ejemplo. ¿Y la expresión [texx](A+B)((A+B)^2+2705AB)[/texx]? ¿Puede ser una potencia sin que [texx](A+B)^2[/texx] y [texx]2705AB[/texx] compartan factor común?¿Sin qué [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] compartan factor común?.

Yo puedo decirte y repetirte mil veces, pues no no es posible. Por ejemplo, [texx](2+3)((2+3)^2+2705*2*3)=81275[/texx] que no es una potencia. ¿Ves?. ¡Es obvio, está claro!.

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Saludos.
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« Respuesta #83 : 13/10/2016, 03:36:01 pm »

Hola.
Si [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia, nos encontramos con dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.
Tomemos el b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx]; [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx]; [texx]((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n)[/texx]; [texx]((A+B)^2-((A+B)^{n-1} (k^n) = 3AB [/texx]; [texx] 3AB = ((A+B)^2-((A+B)^{n-1} (k^n) [/texx]. Introducimos T, siendo un entero positivo. [texx] 3AB = ((A+B)^m(k^n))T [/texx]; [texx] T= (3AB)/ (A+B)^m(k^n) [/texx]; [texx] T/(k^n) = (3AB)/ (A+B)^m [/texx]. T/(k^n) es un entero para que la conjetura cumpla, sustituyámosla por Z. [texx] Z = (3AB)/ (A+B)^m [/texx]. Recordemos que la suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
Cita del Manco.
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para A=14 y B=13 se tiene que: [texx] (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3[/texx].
Señor eso es trampa. Porque si [texx] (A+B)^3[/texx] por consiguiente 3.14.13. Recordemos el triangulo de pascal.
Atentamente.
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« Respuesta #84 : 14/10/2016, 06:42:07 am »

Hola

Hola.
Si [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia, nos encontramos con dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.

No. Eso no es así (y si piensas que esas son las dos posibilidades tienes que demostarlo).

Suponiendo que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  ([texx]A+B[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos) lo que se deduce de que  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m [/texx] sea potencia es que [texx]C[/texx] se debe de descomponer [texx]C=C_1C_2[/texx] en dos factores coprimos [texx]C_1[/texx] y [texx]C_2[/texx] de manera que:

[texx]A+B=C_1^m[/texx]
[texx](A+B)^2-3AB=C_2^m[/texx]

Cita
Cita del Manco.
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para A=14 y B=13 se tiene que: [texx] (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3[/texx].
Señor eso es trampa. Porque si [texx] (A+B)^3[/texx] por consiguiente 3.14.13. Recordemos el triangulo de pascal.

Lo que te indico es que tu simple afirmación de que [texx](A+B)^2-3AB[/texx] no puede ser una potencia no llega para afirmar que lo sea, porque esa simple afirmación se puede hacer igualmente sobre [texx](A+B)^2+2705AB[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #85 : 14/10/2016, 04:16:39 pm »

Hola.
[texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]. Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, [texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], para cumplir conjetura, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.
Nos guste o no nos guste, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor [texx] (A+B) [/texx] esta. Si estuviéramos frente la operación suma, puede o no puede estar. Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx].
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx].
Creo que en esta cuestión hay poco que demostrar. No veo donde esta el problema.

Cita



Suponiendo que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  ([texx]A+B[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos) lo que se deduce de que  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m [/texx] sea potencia es que [texx]C[/texx] se debe de descomponer [texx]C=C_1C_2[/texx] en dos factores coprimos [texx]C_1[/texx] y [texx]C_2[/texx] de manera que:

[texx]A+B=C_1^m[/texx]
[texx](A+B)^2-3AB=C_2^m[/texx]



Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con C^m?
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« Respuesta #86 : 15/10/2016, 06:12:14 pm »

Hola

Hola.
[texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]. Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, [texx] A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx], para cumplir conjetura, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.

Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:

 [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx]

para algún [texx]C[/texx] sin factores primos comunes con [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente [texx]3[/texx] de los dos primeros enteros).

Lo que pasa que hasta ahora no has sido capaz en absoluto de probar tal imposibildiad.

Cita
Nos guste o no nos guste, [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx] esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor [texx] (A+B) [/texx] esta.

¿Qué tipo de argumento matemático es "si o si?. No obstante si entendemos bien la afirmación estoy de acuerdo con ella. De manera precisa:

i) Dado que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es fácil ver que [texx](A+B)[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos.

ii) Por otro lado por el teorema fundamental de la aritmética [texx]C[/texx] se puede escribir como producto de primos:

[texx]C=\underbrace{p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_2}}_{C_1}\underbrace{q_1^{n_1}\ldots q_s^{n_s}}_{C_2}[/texx]

de esos primos unos serán factores de [texx](A+B)[/texx] (les he llamado [texx]p_i[/texx]) y otros de [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] (les he llamado [texx]q_i[/texx])

y por tanto:

De (i) y (ii) se deduce que:

[texx](A+B)((A+B)^2-3AB)=C^m=(C_1)^m(C_2)^m[/texx]

con [texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx].

Cita
Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx].

Esa primera forma correspondería ya queda claro de lo que he dicho antes que no puede darse (a no ser que [texx]m=1[/texx])

Cita
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx].

Está segunda forma tampoco. Sólo si [texx]n=1[/texx].

Es decir en ningún caso aparece en [texx]C^m[/texx] el factor [texx](A+B)[/texx] elevado a una potencia mayor que uno.

Si puede darse sin embargo el caso que indico. Y no has sido capaz de demostar que es imposible (¡yo tampoco soy capaz, eh, qué si fuese tendría una prueba de la conjetura de Beal y ni la tengo ni aspiro a tenerla!).

Cita
Cita
Suponiendo que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  ([texx]A+B[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos) lo que se deduce de que  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m [/texx] sea potencia es que [texx]C[/texx] se debe de descomponer [texx]C=C_1C_2[/texx] en dos factores coprimos [texx]C_1[/texx] y [texx]C_2[/texx] de manera que:

[texx]A+B=C_1^m[/texx]
[texx](A+B)^2-3AB=C_2^m[/texx]
l
Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con [texx]C^m[/texx]?

No te entiendo. ¿Un ejemplo exactamente de qué y en qué condiciones?.  Desde luego no puedo ponerte un ejemplo de  [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx] con [texx]A,B,C[/texx] coprimos porque entonces tendría un contraejemplo a la conjetura de Beal y probaría que es falsa; como es lógico no tengo tal contraejemplo. Nadie lo ha encontrado. Pero eso no prueba la conjetura, pero si hace sospechar a todo el mundo que es cierta.

Saludos.
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« Respuesta #87 : 16/10/2016, 04:26:33 am »

Hola:
[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]; [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo. A+B y K son coprimos ente si. ([texx] 6144^3+3072^3=192^5=2^6*3[/texx]).

Consideremos el caso b.
[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx];
[texx]((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n)[/texx];
[texx] (A+B)^2 = ((A+B)^{n-1} (k^n) +3AB [/texx]; [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} (k^n) =3AB [/texx];
De [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} k^n [/texx] saquemos un factor común y el resto llamémosle Z.
[texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
¿Todo lo dicho no demuestra que en este caso concreto [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] A y B posen un factor común?
Independientemente de la respuesta. En el caso n=3 de la conjetura de Beal, no hemos ni nombrado el siguiente caso. [texx] A^3 + B^3+3AB(A+B) = (A+B)^3) [/texx]. Donde los tres sumandos de la izquierda se agrupan en dos potencias.
Por no hablar del n= 4, 6, 8, etc. En donde A^n  +B^n, su suma no siempre contiene el factor común de A+B. Dicho factor común solo es constante si n=3,5,7, etc.


 
Cita

Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:

 [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m[/texx]

para algún [texx]C[/texx] sin factores primos comunes con [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente [texx]3[/texx] de los dos primeros enteros).


Si se pudiera expresar en forma de quebrado, seria más facil.
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« Respuesta #88 : 16/10/2016, 10:37:16 am »

Hola

[texx] A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3 [/texx]; [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx].
[texx]( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB) [/texx]; [texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K[/texx].
Dos casos:
a. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m [/texx] donde m es igual o mayor que tres.
b. [texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo. A+B y K son coprimos ente si. ([texx] 6144^3+3072^3=192^5=2^6*3[/texx]).

Consideremos el caso b.
[texx] (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx];
[texx]((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n)[/texx];
[texx] (A+B)^2 = ((A+B)^{n-1} (k^n) +3AB [/texx]; [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} (k^n) =3AB [/texx];
De [texx] (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} k^n [/texx] saquemos un factor común y el resto llamémosle Z.
[texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.

Aquí has repetido exactamente lo mismo que en tus mensajes anteriores. Y ya te he explicado lo que está mal ahí. Debes de leerlos con calama y preguntar o discutir tus dudas u objecciones.

Resumo la cuestión:

Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir [texx]A,B,C[/texx] sin factores comunes con: [texx]A^3+B^3=C^m[/texx], porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

[texx]A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3[/texx] con [texx](A+B)=C_1^3[/texx] y [texx](A+B)^2-3AB=C_2^3[/texx] y [texx]C_1,C_2[/texx] coprimos

Y no has dado ningnr argumento que descarte esa posibilidad.

Cita
¿Todo lo dicho no demuestra que en este caso concreto [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] A y B posen un factor común?

Si por "este caso concreto" te refieres a probar que si [texx]A^3+B^3=C^m[/texx] entonces [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] tienen un factor común, entonce NO, lo dicho no lo demuestra por lo que acabo de comentarte arriba.

Si por "este caso concreto" te refieres a otra cosa no sé exactamente qué cosa es esa. Explícalo.
 
Cita
Si se pudiera expresar en forma de quebrado, seria más facil.

No sé que quieres decir con eso.

Saludos.
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« Respuesta #89 : 16/10/2016, 03:21:35 pm »

Hola

Cita

Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir [texx]A,B,C[/texx] sin factores comunes con: [texx]A^3+B^3=C^m[/texx], porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

[texx]A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3[/texx] con [texx](A+B)=C_1^3[/texx] y [texx](A+B)^2-3AB=C_2^3[/texx] y [texx]C_1,C_2[/texx] coprimos


Pero para que eso ocurre implica que A y B sean coprimos, cosa que descartamos con [texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
Señor si A y B son coprimos Z no es un entero. Dicha acción vulnera la conjetura ya que implicaria que [texx](3AB) = (Z(A+B) [/texx]; 3AB= número no entero. Por consiguiente A o B, o los dos, no serian integros.
En referencia al caso concreto, me refiero a [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx]. Los dos sumandos iniciales con potencias de grado 3 y a su lado todo el pitote que tiene que ser potencia.

Atentamente.
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« Respuesta #90 : 17/10/2016, 06:28:17 am »

Hola

Cita
Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir [texx]A,B,C[/texx] sin factores comunes con: [texx]A^3+B^3=C^m[/texx], porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

[texx]A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3[/texx] con [texx](A+B)=C_1^3[/texx] y [texx](A+B)^2-3AB=C_2^3[/texx] y [texx]C_1,C_2[/texx] coprimos


Pero para que eso ocurre implica que A y B sean coprimos, cosa que descartamos con [texx](3AB) = ((Z(A+B) [/texx]; [texx] Z = (3AB)/ (A+B) [/texx]. La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común [texx] Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m [/texx]. No obteniendo el entero deseado.
Señor si A y B son coprimos Z no es un entero. Dicha acción vulnera la conjetura ya que implicaria que [texx](3AB) = (Z(A+B) [/texx]; 3AB= número no entero. Por consiguiente A o B, o los dos, no serian integros.

Me estás repitiendo el mismo argumento que usaste para descartar tu caso (b):

[texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n)[/texx] con [texx]n>1[/texx]

El argumento es correcto para descartar ese caso, pero NO para descartar el que te indico que, escrito de otra forma sería:

[texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) =(A+B)k[/texx] con [texx](A+B)=C_1^m[/texx] y [texx]k=C_2^m[/texx] coprimos.

El problema es lo que tu hacías en tu caso b, ahora no puedes aplicarlo. Tu tenías:

[texx](A+B) ((A+B)^2-3AB) =(A+B)^nk^n[/texx]

y simplificando:

[texx]((A+B)^2-3AB) =(A+B)^{n-1}k^n[/texx] (*)

Ahora si [texx]n>1[/texx] tendrías que [texx](A+B)[/texx] divide a [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] que contradice el hecho de que A y B sean coprimos. Así razonas tu y está bien.

¡Pero el problema es que puede ocurrir que [texx]n=1[/texx]! Con lo cual la expresión (*) simplemente es:

[texx]((A+B)^2-3AB) =k[/texx]

y de ahí NO se deduce que [texx](A+B)[/texx] divide [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx], porlo que NO se llega a ninguna imposibildad.

Fíjate además (por si esto te confunde) que aunque yo tome [texx]n=1[/texx] no quiere decir que el término de la derecha no sea potencia superior a dos,  ya que como te indiqué mas arriba puede ocurrir que [texx](A+B)=C_1^m[/texx] y [texx]k=C_2^m[/texx].


Cita
En referencia al caso concreto, me refiero a [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx]. Los dos sumandos iniciales con potencias de grado 3 y a su lado todo el pitote que tiene que ser potencia.

Supongo que te refieres al caso:

[texx]A^3+B^3=C^m[/texx]

Te empeñas en para describir el caso, poner  [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] que no es más que una identidad, una igualdad que se cumple siempre y no aporta una información completa sobre el caso al cuál te estás refiriendo.

Saludos.

P.D. Llevas unas serie de mensajes repitiendo lo mismo sin contestar de manera explícita a mis objecciones.
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« Respuesta #91 : 22/10/2016, 11:26:45 am »

Hola.
Cita
i) Dado que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son coprimos, es fácil ver que [texx](A+B)[/texx] y [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] también son coprimos.

ii) Por otro lado por el teorema fundamental de la aritmética [texx]C[/texx] se puede escribir como producto de primos:

[texx]C=\underbrace{p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_2}}_{C_1}\underbrace{q_1^{n_1}\ldots q_s^{n_s}}_{C_2}[/texx]

de esos primos unos serán factores de [texx](A+B)[/texx] (les he llamado [texx]p_i[/texx]) y otros de [texx]((A+B)^2-3AB)[/texx] (les he llamado [texx]q_i[/texx])

y por tanto:

De (i) y (ii) se deduce que:

[texx](A+B)((A+B)^2-3AB)=C^m=(C_1)^m(C_2)^m[/texx] con [texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx].
Cierto. Buscamos valores de A y B que cumplan con [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx]. Hallamos los siguientes (tienen que haber más).
A, B, [texx]C_2^m [/texx];
18, 19, [texx] 7^3 [/texx].
15, 176, [texx] 13^4 [/texx].
16, 55, [texx] 7^4 [/texx].
17, 90, [texx] 19^3 [/texx].
Efectivamente hay valores que cumplen con la primera premisa. Pero, ¿cumplirán con la segunda? [texx]C_1^m=A+B[/texx].
Con cualquiera de los valores indicados procedemos. Simplificamos la primera premisa. Estos es, [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)=A^2+B^2+2AB-3AB= A^2+B^2-AB [/texx]. Introducimos uno de los valores. [texx] 18^2+19^2-18·19 = 7^3 [/texx]. De la primera premisa queremos obtener la segunda. Por lo tanto. [texx] (18^2)/18+(19^2)/18-18·19/18 = (7^3)/18; 18+(19^2)/18= (7^3)/18 +19 [/texx]. Observemos que [texx] (19^2)/18 [/texx]. Nunca será un número entero. Recordemos que A y B son coprimos. Por lo tanto al intentar obtener de la primera la segunda premisa nos encontramos que [texx] (B^2)/A [/texx] nunca será un entero, ya era una condición inicial que A y B sean coprimos. Por lo tanto aquí surge la contradicción deseada y por tanto demostrada la Conjetura de Beal en el caso [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] donde las dos primera potencias son de grado 3 y la tercera de grado mayor que 3.

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« Respuesta #92 : 24/10/2016, 06:25:15 am »

Hola

Cierto. Buscamos valores de A y B que cumplan con [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)[/texx]. Hallamos los siguientes (tienen que haber más).
A, B, [texx]C_2^m [/texx];
18, 19, [texx] 7^3 [/texx].
15, 176, [texx] 13^4 [/texx].
16, 55, [texx] 7^4 [/texx].
17, 90, [texx] 19^3 [/texx].
Efectivamente hay valores que cumplen con la primera premisa. Pero, ¿cumplirán con la segunda? [texx]C_1^m=A+B[/texx].
Con cualquiera de los valores indicados procedemos. Simplificamos la primera premisa. Estos es, [texx]C_2^m=((A+B)^2-3AB)=A^2+B^2+2AB-3AB= A^2+B^2-AB [/texx]. Introducimos uno de los valores. [texx] 18^2+19^2-18·19 = 7^3 [/texx]. De la primera premisa queremos obtener la segunda.

Hasta aquí más o menos de acuerdo. El único matriz es que ejemplos concretos no valen para demostrar nada. Pero si los quieres utilizar para introducir la idea y  luego generalizar, perfecto, no hay problema en eso.

 
Cita
Por lo tanto. [texx] (18^2)/18+(19^2)/18-18·19/18 = (7^3)/18; 18+(19^2)/18= (7^3)/18 +19 [/texx]. Observemos que [texx] (19^2)/18 [/texx]. Nunca será un número entero.

Aquí no entiendo lo que haces.

¿A qué viene dividir por 18?. ¿Por qué había de ser divisible por 18?. No viene a cuento. No tiene nada que ver con las ecuaciones que yo habías establecido. No tiene nada que ver con añadir la condición [texx]C_1^m=A+B[/texx].

Cita
Recordemos que A y B son coprimos. Por lo tanto al intentar obtener de la primera la segunda premisa nos encontramos que [texx] (B^2)/A [/texx] nunca será un entero, ya era una condición inicial que A y B sean coprimos. Por lo tanto aquí surge la contradicción deseada y por tanto demostrada la Conjetura de Beal en el caso [texx] A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B) [/texx] donde las dos primera potencias son de grado 3 y la tercera de grado mayor que 3.

Es decir tu simplemente divides [texx]C_2^m=A^2+B^2+AB[/texx] por [texx]A[/texx] y efectivamente no es divisible, no da entero. ¿Pero por qué habría de serlo?. Eso no contradice ninguna premisa.

Entonces no llegas a ninguna contradicción.

Saludos.
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« Respuesta #93 : 24/10/2016, 03:14:25 pm »

HOla.

Intento encontrar la contradicción mediante:
[texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB)[/texx].
De la segunda expresión. [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB); A= (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B [/texx].
De la primera [texx]C_1^m=A+B[/texx]; [texx]C_1^m-B=A[/texx].
Igualamos. [texx] (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B = C_1^m-B[/texx]. ¿No deducimos de ahí una contradicción? Si A, B y las dos C son todas ellas son enteras y cooprimas.

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« Respuesta #94 : 25/10/2016, 05:13:48 am »

Hola

Intento encontrar la contradicción mediante:
[texx]C_1^m=A+B[/texx] y [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB)[/texx].
De la segunda expresión. [texx]C_2^m=((A^2+B^2-AB); A= (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B [/texx].
De la primera [texx]C_1^m=A+B[/texx]; [texx]C_1^m-B=A[/texx].
Igualamos. [texx] (C_2^m)/A-((B^2)/A)+B = C_1^m-B[/texx]. ¿No deducimos de ahí una contradicción? Si A, B y las dos C son todas ellas son enteras y cooprimas.

Tu lo que haces es, de [texx]C_2^m=(A^2+B^2-AB)[/texx] despejas [texx]A[/texx]:

[texx]A=\dfrac{C_2^m-B^2}{A}+B[/texx]

Lo mismo en  [texx]C_1^m=A+B[/texx]:

[texx]A=C_1^m-B[/texx]

Igualando:

[texx]C_1^m-B=\dfrac{C_2^m-B^2}{A}+B[/texx]

¿Dónde está la contradicción? Lo único que deducimos ahí es que [texx]C_2^m-B^2[/texx] tiene que ser divisible por [texx]A[/texx]. ¿Y por qué no va a poder serlo?. Es perfectamente compatible con que [texx]C_1^m,C_2^m,A,B[/texx] sean coprimos.

Por ejemplo si [texx]A=12[/texx], [texx]B=17[/texx], [texx]C_2^m=12^1+17^2-12\cdot 17=229[/texx], [texx]C_1^m=A+B=29[/texx].

Fíjate que en ese ejemplo el "problema" está en que [texx]229[/texx] y [texx]29[/texx] no son potencias de ningún número entero (¡si lo fuesen tendria un contraejemplo a la conjetura de Beal!), pero lo que quiero que entiendas con él es que no hay ninguna contradicción en las ecuaciones que has expuesto por el hecho de que los términos sean coprimos. Entonces en cualquier argumento válido habría que usar de manera decisiva (¡y correcta!) que los números [texx]C_2^m[/texx] y [texx]C_1^m [/texx]son potencias.

Saludos.
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« Respuesta #95 : 05/11/2016, 10:23:16 am »

Hola.
Cierto no hay contradicción.
Veámoslo desde la siguiente perspectiva.
[texx] a^2+b^2-ab=C^m [/texx]; supongamos que [texx] b=a+n [/texx].
Recordemos la siguiente entidad. [texx] (a+n)^2=(a+n+1)·(a+n-1)+1 [/texx]. Sustituimos.
[texx] a^2+(a+n)^2-a(a+n)=C^m [/texx]; [texx] a^2+(a+n+1)·(a+n-1)+1 -a(a+n)=C^m [/texx].
Despejemos la n. [texx] n=(1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) [/texx].
La segunda condición establecía que [texx]a+b=T^m [/texx]. Sustituimos [texx] b=a+n [/texx].
[texx]a+a+n=T^m [/texx]; [texx]2a+n=T^m [/texx]; [texx]n=T^m-2a [/texx].
Igualemos las dos n.
[texx] (1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) = T^m-2a [/texx].
Introduzcamos dicha ecuación en https://www.wolframalpha.com/examples/EquationSolving.html y despejemos a.
[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]. Donde [texx] C^m = a^2+b^2-ab [/texx] y [texx] T^m = a+b [/texx]. Sustituimos.
[texx] a= (1/6)·(3(a+b)-((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4a^2+4b^2-4ab-a^2-b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(3a^2+3b^2-6ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})·9·(a^2+b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 9/6)((3)^{1/2})·(a^2+b^2-2ab)^{1/2}[/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 3/2)((3)^{1/2})·(a^2+b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
Si a dicha ecuación le introducimos valores (hoja de cálculo adjunta) observamos que a y b solo cumplen con la ecuación, si a y b son iguales. Inicialmente a y b eran coprimos. ¿Puede ser esta la contradicción que verifica la conjetura de Beal en este caso concreto?

* RM.xlsx (42.23 KB - descargado 160 veces.)
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« Respuesta #96 : 05/11/2016, 01:41:40 pm »

Hola

 Pero has comenzado despejando en dos ecuaciones, para hallar [texx]a[/texx]  y[texx] b=T^m-[/texx]a en función de [texx]C[/texx] y [texx]T[/texx] y luego le das la vuelta asunto volviendo a poner [texx]C[/texx] y [texx]T [/texx]en función de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx], con lo cuál lo único que obtienes es una identidad, una igualdad que se cumple siempre.

 Lo que pasa es que tienes un error en las cuentas, y un matiz que omites:

Cierto no hay contradicción.
Veámoslo desde la siguiente perspectiva.
[texx] a^2+b^2-ab=C^m [/texx]; supongamos que [texx] b=a+n [/texx].
Recordemos la siguiente entidad. [texx] (a+n)^2=(a+n+1)·(a+n-1)+1 [/texx]. Sustituimos.
[texx] a^2+(a+n)^2-a(a+n)=C^m [/texx]; [texx] a^2+(a+n+1)·(a+n-1)+1 -a(a+n)=C^m [/texx].
Despejemos la n. [texx] n=(1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) [/texx].
La segunda condición establecía que [texx]a+b=T^m [/texx]. Sustituimos [texx] b=a+n [/texx].
[texx]a+a+n=T^m [/texx]; [texx]2a+n=T^m [/texx]; [texx]n=T^m-2a [/texx].
Igualemos las dos n.
[texx] (1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a) = T^m-2a [/texx].
Introduzcamos dicha ecuación en https://www.wolframalpha.com/examples/EquationSolving.html y despejemos a.
[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx].

Ahí está el matiz. En realidad la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones:

[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

y

[texx] a= (1/6)·(3T^m+((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

la primera corresponde al caso [texx]a\leq b[/texx] y la segunda al caso [texx]a\geq b[/texx].

Si te quedas con la primera (como has hecho) es que suponemos que [texx]a\leq b[/texx].

Cita
Donde [texx] C^m = a^2+b^2-ab [/texx] y [texx] T^m = a+b [/texx]. Sustituimos.
[texx] a= (1/6)·(3(a+b)-((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4(a^2+b^2-ab)-(a+b)^2)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(4a^2+4b^2-4ab-a^2-b^2-2ab)^{1/2} [/texx];
[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(3a^2+3b^2-6ab)^{1/2} [/texx];
[texx] \color{red}a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})·9·(a^2+b^2-2ab)^{1/2}\color{black} [/texx];

La línea en rojo está mal.

Sería:

[texx] a= (1/2)(a+b)-( 1/6)((3)^{1/2})(3^{1/2})(a^2+b^2-2ab)^{1/2}=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{3}{6}((a-b)^2)^{1/2}=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{1}{2}|a-b| [/texx]

Como hemos dicho que [texx]a\leq b[/texx] tenemos que [texx]|a-b|=b-a[/texx] y queda:

[texx]a=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{1}{2}(b-a)=a[/texx]

Una identidad.

Saludos.
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« Respuesta #97 : 06/11/2016, 06:13:30 am »


Hola.
Cita
Ahí está el matiz. En realidad la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones:

[texx] a= (1/6)·(3T^m-((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

y

[texx] a= (1/6)·(3T^m+((3)^{1/2})(4C^m-T^{2m})^{1/2} [/texx]

la primera corresponde al caso [texx]a\leq b[/texx] y la segunda al caso [texx]a\geq b[/texx].

Si te quedas con la primera (como has hecho) es que suponemos que [texx]a\leq b[/texx].


No entiendo. Porque al principio establecia que b=a+n. Dicha condición fuerza que a sea menor que b.
Atentamente.
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« Respuesta #98 : 06/11/2016, 06:19:40 am »

Hola

No entiendo. Porque al principio establecia que b=a+n. Dicha condición fuerza que a sea menor que b.
Atentamente.

Si, pero si pretendías que [texx]n[/texx] representase un número positivo, entonces has elegido mal la solución de la ecuación de segundo grado:

[texx]a^2+(a+n+1)·(a+n-1)+1 -a(a+n)=C^m[/texx]

que tiene dos soluciones. Tu has tomado:

[texx]n=(1/2)·(-(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a)[/texx]

que es claramente negativo. Si quisieses que fuese positivo tendrías que haber tomado la otra solución:

[texx]n=(1/2)·(\color{red}+\color{black}(4·C^m-3a^2)^{1/2}-a)[/texx]

Saludos.
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Gonzo
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« Respuesta #99 : 12/11/2016, 10:47:01 am »

Hola.
[texx] a^2+b^2-ab=C^m [/texx]. Despejemos a.
Dos soluciones.
[texx] a = (b - [-3 b^2 + 4 C^m]^{1/2})/2 [/texx].
[texx] a = (b + [-3 b^2 + 4 C^m]^{1/2})/2 [/texx].
Seguimos con la positiva. Esto es:
[texx] a = (b + [-3 b^2 + 4 C^m]^{1/2})/2 [/texx]. Donde b, sustituimos [texx] b= T^m-a[/texx].
[texx] a=(1/2)(((T^m)-a))+(1/2)(4C^m-3((T^m)-a)^2)^{1/2} [/texx]. Despejamos [texx] T^m [/texx].
Dos soluciones.
[texx] T = 2^{-1/m}((4 C^m-3 a^2)^{1/2}+3 a)^{1/m} [/texx].
[texx] T = 2^{-1/m}(-(4 C^m-3 a^2)^{1/2}+3 a)^{1/m} [/texx].
Con la primera solución no obtenemos ningún tipo de resultado. Pero con la segunda si. Pero aquí me asalta la duda. Con la segunda solución, ¿es correcto?
Si seguimos con la segunda.
[texx] T^m = (1/2)·(-(4 C^m-3 a^2)^{1/2}+3 a) [/texx]. Donde [texx] C^m =a^2+b^2-ab [/texx].
[texx] T^m = (1/2)·( -(4 (a^2+b^2-ab)-3 a^2)^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] T^m = (1/2)·(-(4a^2+4b^2-4ab-3 a^2))^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] T^m = (1/2)·(-(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}+3 a) [/texx]. Donde [texx] T^m =a+b [/texx].
[texx] a+b = (1/2)·(-(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] 2(a+b) = (-(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}+3 a) [/texx];
[texx] 2a+2b-3a= -(a^2+4b^2-4ab)^{1/2}[/texx];
[texx] (2b-a)^{1/2}= -(a^2+4b^2-4ab)[/texx]. Si resolvemos esta ecuación. [texx] a=2b[/texx].
Atentamente.
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