04 Abril, 2020, 17:13 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: UTF4 por contradicción (II)  (Leído 91 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 266


Ver Perfil
« : 23 Marzo, 2020, 15:43 »

Hola,

Supongo que  [texx]\pmb{z^4=x^4+y^4}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos y que  [texx]x\not\equiv{y}[/texx] mod 2 .

En  [texx]\mathbb{Z(\omega)}[/texx] :  El anillo ciclotómico definido sobre la raíz primitiva tercera de la unidad  [texx]\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}[/texx] .  Tenemos que:  [texx](x^2+\omega y^2)(x^2+\omega^2 y^2)=x^4+y^4-x^2y^2[/texx] .  Luego:  [texx]\pmb{z^4-x^2y^2=(x^2+\omega y^2)(x^2+\omega^2 y^2)}[/texx] .   

[texx]x^2+\omega y^2=(x+yi\sqrt{\omega})(x-yi\sqrt{\omega})[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]x^2+\omega^2 y^2=\pmb{(x+\omega yi)(x-\omega yi)}[/texx]

[texx]\sqrt{\omega}[/texx]  será la raíz primitiva sexta de la unidad:  [texx]\dfrac{1+\sqrt{-3}}{2}[/texx] .  Luego:  [texx]\sqrt{\omega}=\omega+1[/texx] .  Y :  [texx]x^2+\omega y^2=\pmb{(x+yi+\omega yi)(x-yi-\omega yi)}[/texx] .

Por tanto, un primo que divida á  [texx]z^4-x^2y^2[/texx] ,  de la forma  [texx]a+\omega b[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx]  coprimos; debe dividir a uno de los 4 factores referidos.


Veámoslo:


1)    [texx]\dfrac{\pmb{(x+yi+\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax+ayi+\omega ayi+\omega bx+\omega byi+\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab}[/texx]


[texx]=\,\dfrac{ax+y(a-b)i+(bx+y(a-b)i)\omega}{a^2+b^2-ab}[/texx]


Tenemos que:  [texx](a-b)^2=a^2+b^2-2ab[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]a^2+b^2-ab[/texx] .  Su suma es:  [texx]2(a^2+b^2)-3ab[/texx] ; y su diferencia:  [texx]-ab[/texx] .  Luego ambos son coprimos salvo por  [texx]2[/texx]  si consideramos á  " [texx]a[/texx] "  ó á  " [texx]b[/texx] "  par.  Pero:  [texx]a^2+b^2-2ab[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a^2+b^2-ab[/texx]  son impares.  Y sabemos además que  [texx]a^2+b^2-ab[/texx] ,  al dividir á  [texx]z^4-x^2y^2[/texx] ,  no divide ni á  " [texx]z^4[/texx] "  ni á  " [texx]x^2y^2[/texx] " ,  que son coprimos. Luego:  [texx]a^2+b^2-ab[/texx]  no divide á  " [texx]ax[/texx] " ,  ni á  " [texx]y(a-b)[/texx] " ,  ni, por tanto, á  " [texx]bx+y(a-b)i[/texx] " .


2)    [texx]\dfrac{\pmb{(x-yi-\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax-ayi-\omega ayi+\omega bx-\omega byi-\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab}[/texx]
     

[texx]=\,\dfrac{ax+y(b-a)i+(bx+y(b-a)i)\omega}{a^2+b^2-ab}[/texx]


Y por la misma razón que en 1),  [texx]a^2+b^2-ab[/texx]  no divide á  " [texx]ax[/texx] " ,  ni á  " [texx]y(b-a)[/texx] " ,  ni, por tanto, á  " [texx]bx+y(b-a)i[/texx] " .


3)    [texx]\dfrac{\pmb{(x+\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax+\omega ayi+\omega bx+\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab}[/texx]
   

[texx]=\,\dfrac{ax-byi+(bx+y(a-b)i)\omega}{a^2+b^2-ab}[/texx]


Y :  [texx]a^2+b^2-ab[/texx]  no divide á  " [texx]ax[/texx] " ,  ni á  " [texx]by[/texx] " ,  ni á  " [texx]bx[/texx] " ,  ni á  " [texx]y(a-b)[/texx] " .


4)    [texx]\dfrac{\pmb{(x-\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax-\omega ayi+\omega bx-\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab}[/texx]
   

[texx]=\,\dfrac{ax+byi+(bx+y(b-a)i)\omega}{a^2+b^2-ab}[/texx]


Y :  [texx]a^2+b^2-ab[/texx]  no divide á  " [texx]ax[/texx] " ,  ni á  " [texx]by[/texx] " ,  ni á  " [texx]bx[/texx] "  y ni á  " [texx]y(b-a)[/texx] " .


Un saludo,



PD. Por cierto, son cerca de las 20 horas (local). La hora de los aplausos a todos los sanitarios del mundo por su arriesgado trabajo para salvar nuestras vidas:   Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso
En línea

  El mal es malo también para sí mismo. Por eso, a la larga, sólo puede triunfar el bien. Y por eso también la libertad es buena y deseable..  F. Moreno 
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!