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Autor Tema: Visión geométrica de la desigualdad aritmético-geométrica  (Leído 1844 veces)
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robinlambada
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« : 14/08/2015, 17:31:36 »

Buenas foro, os dejo la siguiente elucubración que he tenido a raíz de una demostración geométrica de la desigualdad [texx]\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}[/texx],
 

que he visto y me ha gustado, basada en el teorema de Pitágoras

Solo basta aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo de lados: Hipotenusa vale [texx]\dfrac{a+b}{2}[/texx]
  y un cateto [texx]\dfrac{a-b}{2}[/texx]
  de aquí se deduce que el otro cateto es [texx]\sqrt{ab}[/texx]
 

A raíz de está interpretación geométrica basada en el teorema de Pitágoras, he pensado en ampliarla a más sumandos.

Mis ideas:

Como los cuadrados en el teorema de Pitágoras representan áreas de cuadrados y los productos áreas de rectángulos.

Advirtiendo que de los rectángulos de igual perímetro es el cuadrado (suponiendolo como caso particular de rectángulo) el de mayor área, entonces se llega a que si los lados del rectángulo son a y b con [texx]a+b=cte[/texx].( semi perímetro) y el lado del cuadrado es c.

[texx]c^{2}\geq ab[/texx]  como para el cuadrado [texx]2c=a+b[/texx] , por ello [texx]\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}\geq ab[/texx]
 
Ampliando para el volumen de un prisma recto de base rectangular, tenemos lo mismo que, fijado la suma de sus aristas [texx]a+b+c=cte[/texx], el cubo es el de mayor volumen.

Traduciéndose, si el cubo tiene arista d, tal que [texx]3d=a+b+c[/texx] , llegamos a que [texx]\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^{3}\geq abc[/texx]


En general para un hiperprisma de n dimensiones se tendrá que [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{a_{i}}{n}\geq\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_{i}}[/texx]
 

P.D.: Seguro que esta interpretación tan fácil está más que publicada en internet, pero a mi me satisface haberla “descubierto”, por la no demasiada visión geométrica que tengo de algunas relaciones algebraicas. Siempre me encantan las visiones geométricas del álgebra.

Faltaría demostrar que de los hiperprismas de igual “perímetro” el hipercubo es el de mayor área (pero estoy seguro que también está resuelto). pero eso para mi es de menor importancia este hecho que la interpretación geométrica.

¿Qué os parece? ¿Sencillo , verdad?

Saludos.
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« Respuesta #1 : 14/08/2015, 18:00:14 »

Hola,robinlambada.
En esta linea.Advirtiendo que de los rectángulos de igual perímetro es el cuadrado (suponiéndolo como caso particular de rectángulo) el de mayor área, entonces se llega a que si los lados del rectángulo son a y b con a+b=cte.( semi perímetro) y el lado del cuadrado es c.
Creo que quisiste decir rectángulos de igual lado.
Por lo de mas. SIMPLE Y BONITO. Aplauso
Quizá, seria interesante abrir un nuevo hilo con problemas que admitan soluciones de ese estilo.
Saludos.
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robinlambada
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« Respuesta #2 : 14/08/2015, 19:02:43 »

Hola  maguas
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No, realmente quise y quiero decir que "Advirtiendo que de los rectángulos de igual perímetro es el cuadrado (suponiéndolo como caso particular de rectángulo) el de mayor área..."

No quise decir de los rectángulos de igual lado, pues todos los rectángulos de igual lado son cuadrados.
Entonces quedaría de todos los cuadrados, es el cuadrado el de mayor área.

Esto me da que pensar que no has entendido mi idea, puesto qué los rectángulos tengan igual perímetro es esencial para la interpretación de la desigualdad.

Por lo demás que alegra que te parezca simple y bonito, gracias.

Pues estoy de acuerdo contigo en lo de abrir un hilo con demostraciones geométricas de propiedades algebraicas. Casi mejor una sección, pues debe haber muchas, sólo del teorema de Pitágoras debe haber más de 7 distintas, yo conozco 3 o 4.

También del cuadrado de la suma de números consecutivos y la suma de sus cubos , y otras más.
Saludos.
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« Respuesta #3 : 15/08/2015, 16:16:57 »

Gracias, por tus  aclaraciones robinlambada. Lo había leído a la ligera, siempre es bueno que no queden dudas.
Y creo que estaría bueno ya  empezar con la nueva sección. Seguramente mas gente se interesara en el transcurso.
Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 17/08/2015, 12:37:55 »

Hola

P.D.: Seguro que esta interpretación tan fácil está más que publicada en internet, pero a mi me satisface haberla “descubierto”, por la no demasiada visión geométrica que tengo de algunas relaciones algebraicas. Siempre me encantan las visiones geométricas del álgebra.

Faltaría demostrar que de los hiperprismas de igual “perímetro” el hipercubo es el de mayor área (pero estoy seguro que también está resuelto). pero eso para mi es de menor importancia este hecho que la interpretación geométrica.

¿Qué os parece? ¿Sencillo , verdad?

Como reinterpretación geométrica de la desigualdad me parece genial; pero a efectos de convertirla en una prueba geométrica de la misma, el problema es que no tengo claro que sea más sencillo o más intuitivo probar lo que indicas (marcado en rojo) que la propia desigualdad original.

Saludos.

P.D. En la Wiki viene también descrita:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means#Geometric_interpretation
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