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Autor Tema: ¿Cómo calculo el volumen del siguiente cuerpo?  (Leído 16249 veces)
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lcuevas
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« : 25/10/2007, 08:21:09 pm »

Aquí les dejo una imagen, la finalidad es, consultarles qué fórmula utilizar para calcular el volumen de la porción sombreada si tengo los valores de r (color negro), r (color rojo), h y d, agradezco de antemano sus respuestas, soy malo para las matemáticas. :BangHead:

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 26/10/2007, 04:39:59 am »

Hola

 Le llamaré r al radio pequeño (rojo) y R al grande (negro).

 Si te fijas en la circunferencia de radio r, puedes calcular el ángulo que abarca el sector circular sobre el cual vas a integrar:



 Tienes:

[texx] cos A=\displaystyle\frac{r-d}{r}[/texx]

 Trabajando en coordenadas cilíndricas [texx](p,\theta)[/texx] tienes que integrar:

[texx]V=2\displaystyle\int_{0}^{arc\,cos((r-d)/r)}\displaystyle\int_{(r-d)/cos(\theta)}^{r}(\sqrt{R^2-p^2}-(R-h))pdpd\theta[/texx]  (CORREGIDO)

Por cierto h y r están relacionados por la ecuación:

[texx](R-h)^2+r^2=R^2[/texx]

Saludos.

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lcuevas
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« Respuesta #2 : 26/10/2007, 07:06:03 pm »

muchísimas gracias por la pronta respuesta, otra duda
¿Como queda una nueva expresión si empieza a variar d?

lo que ocurre es que lo estoy aplicando en la practica y la unica variable que voy conociendo es d, lo demas permanece constante y no puedo medir otras variables, aparte de las que indique en la figura.

El máximo valor que alcanza d es r quedando la mitad del casquete esférico lleno. Concluyendo necesito averiguar el volumen de esa porción de casquete esférico a medida que aumenta d hasta llegar a valor maximo de r
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 27/10/2007, 07:01:30 am »

Hola

 Cometí un error en la expresión anterior que ya corregí.

 La expresión depende de d. ¿A qué te refieres con como quedaría al variar d?.

 En cualquier caso, o mucho me equivoco, o esa integral no tiene una expresión mediante funciones elementales salvo cuando d=r, d=0 ó h=0.

 También se puede calcular el volumen, calculando el área de cada "rebanada" y sumándolas (integrando). Esas áreas se pueden calcular con geometría clásica; pero la integral, creo, vuelve a complicarse.

 No se si a alguien se le ocurre otra forma o ve que la integral si es resolubel.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 31/10/2007, 05:40:19 pm »

bien para ser mas preciso este es el problema con el que me enfrento.

Es que tenemos un tanque de agua cilíndrico con casquetes esféricos en ambos extremos, y la duda que nos salio es como calcular la cantidad de agua que hay en el tanque a determinados niveles del agua, el volumen contenido en el cuerpo cilíndrico lo pude calcular facilmente, como asi también el volumen total de agua incluyendo los del cilindro y el de los casquetes esféricos, pero lo que me esta quitando el sueño es como calcular el volumen de agua contenido en los casquetes esféricos a determinados niveles de agua, aquí dejo el gráfico, los valores marcados son los valores ya determinados.

* tanque.JPG (20.69 KB - descargado 9990 veces.)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 07/11/2007, 09:22:11 am »

Hola

 No se si me estoy explicando bien.

 La integral que di hace dos post es la solución a tu problema. Es el volumen de la región sombreada en función de r,d y R.

 El problema es que esa integral no puede expresarse mediante funciones elementales. Hay que resolverla mediante métodos numéricos. Dicho de otra manera las cuentas las tiene que hacer un ordenado.

 Si no me equivoqué en las cuentas, otra versión de la fórmula algo más "manejable" es:

[texx]V=\displaystyle\int_{0}^{r}\left({t^2\, arcos(\displaystyle\frac{r-d}{t})-(r-d)\sqrt{t^2-(r-d)^2}}\right)\displaystyle\frac{t^2}{\sqrt{R^2-t^2}}dt[/texx]

 Repito una vez más. Para los cálculos necesitas un ordenador que te haga las cuentas.

Saludos.
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Davidd_M
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« Respuesta #6 : 21/01/2010, 02:22:26 pm »

Hola
Antes que nada gracias por aporta toda esta informacion, pero mi duda es la siguiente:
en la ecuacion:

[texx]V=\displaystyle\int_{0}^{r}\left({t^2\, arcos(\displaystyle\frac{r-d}{t})-(r-d)\sqrt{t^2-(r-d)^2}}\right)\displaystyle\frac{t^2}{\sqrt{R^2-t^2}}dt[/texx]
 
cual es t?

gracias y espero su respuesta
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« Respuesta #7 : 21/01/2010, 02:47:12 pm »

Hola

 La [texx]t[/texx] es la variable de integración.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 21/01/2010, 04:15:26 pm »

Me lo podrias explicar con peras y manzanas por favor es que ando bloqueado temporalmente. :BangHead: :BangHead:
Gracias
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lefroy
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« Respuesta #9 : 21/01/2010, 09:36:59 pm »

Aquí les dejo una imagen, la finalidad es, consultarles qué fórmula utilizar para calcular el volumen de la porción sombreada si tengo los valores de r (color negro), r (color rojo), h y d, agradezco de antemano sus respuestas, soy malo para las matemáticas. :BangHead:


Yo deseo conocer ese mismo problema del cilindro horizontal pero con casquetes cilindricos
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« Respuesta #10 : 22/01/2010, 04:31:02 am »

Hola

 Prefiero que preguntes dudas concretas:

 - La fórmula para el volumen de ese casquete esta deducida en mi primera respuesta. ¿Alguna duda ahí?.

 - La segunda versión de la fórmula se obtiene mediante (supongo) un cambio de variable; pero francamente ahora no recuerdo que hice para pasar de una a otra.

 - En cualquier caso ninguna de las dos integrales dadas pueden resolverse explícitamente. Se necesita un ordenador que las aproxime mediante métodos numéricos.

 Puntualizado esto: insisto en que preguntes cuestiones concretas.

 En cuanto a casquetes cilíndricos. No estoy seguro de a que te refieres; ¿trozos de un ciclindro con caras planas o con caras semiesféricas?.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 01/09/2012, 07:11:28 pm »




Yo tengo este mismo problema, pero no conozco R, solo conozco r, h y d. Hay alguna forma de calcularla o de resolverlo sin conocer este valor?


PD: Le di una leida rapida a las reglas y no mire una sobre reabrir temas, una disculpa si no se debe de hacer.
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« Respuesta #12 : 02/09/2012, 04:50:52 am »

Hola

Yo tengo este mismo problema, pero no conozco R, solo conozco r, h y d. Hay alguna forma de calcularla o de resolverlo sin conocer este valor?

Por potencia de un punto interior a una circunferencia se tiene que:

[texx]h(2R-h)=r^2[/texx]

Por tanto si conoces [texx]r[/texx] y [texx]h[/texx] puedes hallar [texx]R[/texx]:

[texx]R=\dfrac{r^2+h^2}{2h}[/texx]

Cita
PD: Le di una leida rapida a las reglas y no mire una sobre reabrir temas, una disculpa si no se debe de hacer.

No hay problema por ello. Eso si... ¡cuidado con los acentos, se han quedado en el teclado!.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 02/09/2012, 06:09:35 pm »

Navegando por el foro encontré como calcular R, gracias igual.
Ahora el problema es que al resolver la integral me sale error. Intente resolverla en Excel tabulando, y directamente en calculadora y también me sale error, ¿qué programa puedo usar para resolverla?


EDITO: Ya encontré una forma de resolverlo, sin integrales.
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« Respuesta #14 : 03/09/2012, 11:15:31 am »

Hola

EDITO: Ya encontré una forma de resolverlo, sin integrales.

¿Cuál? A no ser que los casquetes sean muy particulares (por ejemplo semiesferas) no tengo claro que pueda darse una fórmula explícita sin integrales que resuelva el problema.

Saludos.
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danielenigma
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« Respuesta #15 : 04/09/2012, 10:14:27 pm »

La solución la encontré en este link http://es.scribd.com/doc/81115137/Is-a-184
Se tiene que buscar la parte que dice Volumen de un casquete esférico parcialmente lleno.
Precisamente hoy llene el tanque con agua y fui midiendo con una varilla, y comparando resultados obtenidos con formula eran muy similares a el volumen de agua que deposite en el tanque.
No tengo tiempo de poner aquí las formulas
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« Respuesta #16 : 05/09/2012, 05:12:06 am »

Hola

 De acuerdo. Lo que pasa es que o yo me pierdo algo, o no es cierto (como se afirma en el artículo) que se calcule de manera exacta el volumen.

 Se utiliza una aproximación buena y útil a efectos prácticos, pero que no es exacta desde el punto de vista teórico.

 Es curioso porque la aproximación se obtiene interpolando una tabla hallada a su vez en otro artículo. Habría que ver allí como la han calculado.

 Estas cosas me llaman la antención; no sería nada difícil directamente dar un alogitmo o una fórmula aproximada aplicando métodos numéricos directamente a la intergral solución exacta al problema que expuse en este hilo.

Saludos.
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