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Autor Tema: Hipersuperficie de una Hiperesfera  (Leído 1340 veces)
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MasLibertad
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« : 10/07/2015, 03:24:15 am »

Me encantaría abusar todo lo posible de vuestros conocimientos para ahorrarme trabajo de investigación, y para ser justos tendría que ofreceros algo a cambio. Pero como no tengo el nivel de conocimientos que la mayoría de vosotros tenéis... pues me veo obligado a abusar gratis.

He querido calcular el volumen de la hipersuperficie de una hiperesfera.
Antes de nada he intentado usar la lógica, a ver hasta dónde podía llegar.

Si en un plano 2D colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos una línea 1D que se curva alrededor de O y que mide [texx]2 \pi r[/texx]

Si en un volumen 3D colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos una superficie 2D que se curva alrededor de O y que mide [texx]4 \pi r^2[/texx]

De ahí he supuesto que...
Si en un espacio 4D colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos un volumen 3D que se curva alrededor de O y que mide [texx]8 \pi r^3[/texx]

y, en general ...
Si en un espacio nD colocamos todos los puntos equidistantes a una distancia R de un centro O, tendremos un espacio (n-1)D que se curva alrededor de O y que mide [texx]2^{n-1} \pi r^{n-1}[/texx]

Eso es más una suposición que otra cosa, lo que yo llamo un supositorio, que a veces puede resultar adecuado pero también puede dar mucho por c....

He querido confirmarlo en internet y Google me ha enviado a 18 sitios de los que ninguno me ha servido, pero en el decimonono me he encontrado esta fórmula:

Cita
la fórmula del volumen de una hipersuperficie S3 de una hiperfera tetradimensional, que es
[texx]V=S3=2\pi^2R^3[/texx]

De lo cual deduzco, tras un largo proceso de razonamiento, que uno de los dos, Google o yo, estamos equivocados.

¿Podríais decirme cuál de los dos tiene razón? ¿O la respuesta correcta es otra?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10/07/2015, 06:18:26 am »

Hola

 Sea [texx]E_n(R)[/texx] una bola de dimensión [texx]n[/texx] de radio [texx]R[/texx] [texx]n[/texx], es decir, para [texx]n=1[/texx] un segmento [texx][-1,1][/texx] ; para [texx]n=2[/texx] un círculo; para [texx]n=3[/texx] una esfera; para [texx]n=4[/texx] una hiperesfera.

 Aquí tienes descrito como calcular su área (entendiada como la medida de la frontera de la bola) y volumen (entendido como la medida de la bola):

https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area

 En concreto se puede probar que:

[texx]volumen(E_n(1))=\dfrac{1}{n}area(E_{n}(1))[/texx]
[texx] area(E_n(1))=2\pi volumen (E_{n-2}(1))[/texx]

 Para [texx]n=2[/texx], es decir el círculo, sabemos que:

[texx] area(E_2(1))=2\pi[/texx] (ojo porque área significa "medida de la frontera del círculo", es decir, lo que solemos llamar perímetro).
[texx]volumen(E_2(1))=\pi[/texx]

 Para [texx]n=3[/texx], es decir la esfera, sabemos que:

[texx] area(E_3(1))=4\pi[/texx]
[texx]volumen(E_3(1))=\dfrac{4}{3}\pi[/texx]

 Para [texx]n=4[/texx], es decir, la hiperesfera cuatridimensional:

[texx]area(E_4(1))=2\pi volumen(E_2(1))=2\pi ^2[/texx]
[texx]volumen (E_4(1))=\dfrac{1}{4}area(E_4(1))=\dfrac{\pi ^2}{2}[/texx]

 Todo esto es para radio [texx]1[/texx]. Para radio [texx]R[/texx] quedaría:

[texx] area(E_n(R))=area(E_n(1))R^{n-1}[/texx]
[texx] volumen(E_n(R))=volumen(E_n(1))R^{n}[/texx]

 En tu caso para [texx]n=4[/texx]:

[texx]area(E_4(R))=2\pi ^2 R^3[/texx]
[texx]volumen (E_4(R))=\dfrac{1}{4}area(E_4(R))=\dfrac{\pi ^2R^4}{2}[/texx]

Saludos.
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MasLibertad
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« Respuesta #2 : 11/07/2015, 01:42:05 am »

Perfecto.
Muchas gracias.

Y gracias por dejarme seguir abusando.

Tengo también otro problema que llevo tiempo intentando resolver. Si no lo consigo en un par de semanas, espero seguir contando con vuestra ayuda.

(deberíais cobrar)
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MasLibertad
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« Respuesta #3 : 11/07/2015, 03:45:40 am »

Y como siempre que me ayudáis, os explico el motivo de que necesitara vuestra ayuda.

Para conocer el volumen del Universo, si es que es una hiperesfera, y calcular más o menos cuántas galaxias hay.

Podéis verlo en el artículo La Ciencia del Big Bang, en los capítulos El Tamaño del Universo y siguiente.
http://www.maslibertad.com/La-Ciencia-del-Big-Bang-y-la-Gran-Onda_p1001.html.

Ya se que una cosa son las matemáticas y otra el mal uso que se haga de ellas, pero dejadme que disfrute de mis teorías.

Hasta la próxima
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