Función de la n-esfera en la circunferencia.

[yotas]

Hola

Debo probar que no existe una función [texx]\phi:S^n \rightarrow S^1[/texx] para [texx]n\geq 2[/texx] tal que [texx]\phi(-x)=-\phi(x)[/texx].

He intentado varias cosas y ninguna muy próspera. Entre ella hacer un levantamiento [texx]\alpha[/texx] de una curva [texx]\alpha[/texx] en el espacio proyectivo n-dimensional y tratar de mostar que estas curvas dan bajo [texx]\phi[/texx] una curva no trivial en [texx]S^1[/texx] lo que sería una contradicción. Pero no logro probar o convencerme de que la curva efectivamente es no trivial.

¿Me podrían dar alguna indicación?

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tengo ciertas dudas sobre que resultados puedes usar.

 En primer lugar nota que es suficiente demostrarlo para [texx]n=2[/texx], ya que siempre puedes restringir la aplicación dada sobre una en [texx]S^2[/texx] con la misma propiedad.

 Ahora el Teorema de Borsuk afirma que para una aplicación continua [texx]\phi:S^2\longrightarrow{}R^2[/texx] existe un punto tal que [texx]\phi(x)=\phi(-x). [/texx] Luego con eso ya concluirías.

 Alternativamente en estos ejercicios se describen los pasos para probar lo mismo con menos artillería:

http://www.trinity.edu/nmacura/teaching/Spring10/Topology/hm8.pdf

 (fíjate en el ejercicio 6 y en los anteriores que va utilizando).

Saludos.

[yotas]

En el libro de Massey (que se supone guía del curso) está la versión para [texx]n=2[/texx]. Entonces este ejercicio realmente era trivial con este resultado.

Gracias por el consejo.