Hola
Tengo ciertas dudas sobre que resultados puedes usar.
En primer lugar nota que es suficiente demostrarlo para [texx]n=2[/texx], ya que siempre puedes restringir la aplicación dada sobre una en [texx]S^2[/texx] con la misma propiedad.
Ahora el
Teorema de Borsuk afirma que para una aplicación continua [texx]\phi:S^2\longrightarrow{}R^2[/texx] existe un punto tal que [texx]\phi(x)=\phi(-x). [/texx] Luego con eso ya concluirías.
Alternativamente en estos ejercicios se describen los pasos para probar lo mismo con menos artillería:
http://www.trinity.edu/nmacura/teaching/Spring10/Topology/hm8.pdf (fíjate en el ejercicio 6 y en los anteriores que va utilizando).
Saludos.