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Autor Tema: Función lineal biyectiva.  (Leído 1506 veces)
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Samir M.
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« : 18/06/2015, 05:04:51 am »

Enunciado.

Demostrar que una función lineal [texx]f:\mathbb{E}^3 \to \mathbb{E}^3[/texx] es biyectiva si, y sólo si las imagénes de una base son linealmente independientes.


   ____

Demostración.

[texx]\Leftarrow{)}[/texx]

Supongamos que las imagénes de una base son linealmente independientes (L.I), así: sea [texx]({\bf{e}}_1,{\bf{e}}_2, {\bf{e}}_3)[/texx] una base y [texx]{\bf{f}}[/texx] una función lineal de [texx]\mathbb{E}^3[/texx] en [texx]\mathbb{E}^3[/texx] tal que [texx]{\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3)[/texx] son L.I. Entonces  [texx]{\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3)[/texx]también es una base y cualquier vector [texx]{\bf{v}}[/texx] puede escribirse como [texx]{\bf{v}}=v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3)[/texx].

Definamos ahora [texx]{\bf{u}}=v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3[/texx]. Entonces

[texx]{\bf{f}}({\bf{u}}) = {\bf{f}}(v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3) = v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) = {\bf{v}} [/texx]

luego [texx]{\bf{f}}[/texx] es sobreyectiva respecto de [texx]\mathbb{E}^3[/texx]. Supongamos, ahora, que [texx]{\bf{f}}({\bf{a}}) = {\bf{f}}({\bf{a}}')[/texx]. Entonces

[texx]\begin{align*} {\bf{0}}&= {\bf{f}}({\bf{a}}') - {\bf{f}}({\bf{a}}) = {\bf{f}}({\bf{a}}' - {\bf{a}}) = {\bf{f}}((a_1'-a_1){\bf{e}}_1 + (a_2' - a_2){\bf{e}}_2 + (a_3'-a_3){\bf{e}}_3) \\ &= (a_1'-a_1){\bf{f}}({\bf{e}}_1) +(a_2'-a_2) {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + (a_3'-a_3) {\bf{f}}({\bf{e}}_3)\end{align*}
[/texx]

y, como [texx]{\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3)[/texx] son L.I, se deduce que [texx](a_1'-a_1) = 0, \, (a_2'-a_2) = 0, \, (a_3'-a_3) = 0[/texx], de manera que [texx]{\bf{a'}} = {\bf{a}}[/texx] y así [texx]{\bf{f}}[/texx] es inyectiva. Por tanto [texx]{\bf{f}}[/texx] es biyectiva.

[texx]\Rightarrow{)}[/texx]

Recíprocamente, si [texx]{\bf{f}}[/texx] es inyectiva, entonces [texx]{\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3)[/texx] deben ser independientes, pues si no lo son, existirían valores [texx]v_1,v_2,v_3[/texx] no todos nulos y con ellos un [texx]{\bf{v}} =v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3 \neq \bf{0} [/texx], tales que


[texx]{\bf{0}} = v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) = {\bf{f}}(v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3) = {\bf{f}}({\bf{v}})  [/texx]

pero, por ser [texx]{\bf{f}}[/texx] lineal también se tiene que [texx]{\bf{f}}({\bf{0}}) = {\bf{0}}[/texx] lo cual resulta absurdo pues hemos supuesto que [texx]{\bf{f}}[/texx] es inyectiva.

[texx]\square[/texx]                       
En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
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« Respuesta #1 : 18/06/2015, 06:27:15 am »

Comentario:

Un resultado interesante que se puede demostrar similarmente al ejercicio anterior, es el siguiente:

Una aplicación lineal [texx]{\bf{f}}[/texx] de [texx]\mathbb{E}^2[/texx] sobre [texx]\mathbb{E}^3[/texx] es biyectiva respecto de un plano de [texx]\mathbb{E}^3[/texx] si, y sólo si el rango de [texx]{\bf{f}}[/texx] es 2.

Este resultado es interesante debido a que, si el orden de la diferencial [texx]d{\bf{f}}[/texx] como función lineal en [texx]d{\bf{x}}[/texx] es 2, es decir, si el rango de la matriz jacobiana [texx](\partial f_i / \partial x_j)[/texx] en [texx]{\bf{x}}_0[/texx] es 2, se concluye en virtud del resultado anterior que [texx]d{\bf{f}}({\bf{x}}_0)[/texx] es una aplicación biyectiva de los vectores [texx]d{\bf{x}}[/texx] pertenecientes a [texx]\mathbb{E}^2[/texx] sobre un plano. De hecho, así podemos definir el plano tangente de una función [texx]{\bf{y}}={\bf{f}}({\bf{x}})[/texx] a [texx]{\bf{y}}_0[/texx] como el plano que pasa por un punto [texx]{\bf{y}}_0 \in \mathbb{E}^3[/texx] y que es paralelo a los vectores [texx]d{\bf{f}}({\bf{x}}_0)[/texx]. La ecuación de este plano tangente, es, obviamente, [texx]{\bf{y}} ={\bf{y}}_0 + d{\bf{f}}({\bf{x}}_0) [/texx]. Esto es la base para la definición de una superficie suave o una representación paramétrica regular de una superficie, y es muy útil recordarlo para entender bien la geometría diferencial.
En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
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