Enunciado.Dado [texx]z\in\mathbb{C}[/texx], se define [texx]f(z)=\sqrt{|z|}e^{i\text{arg}(z)/2}[/texx].[texx]i)[/texx] ¿En qué región del plano puede ser [texx]f[/texx] analítica?
[texx]ii)[/texx] En caso de que [texx]f[/texx] sea analítica, halle [texx]f'(z)[/texx] en la forma más simplificada posible.
____
Solución.Sea [texx]f=u(x,y)+iv(x,y)[/texx]. En coordenadas polares, [texx]x=r\cos\theta[/texx], [texx]y=r\sin\theta[/texx], luego, por la regla de la cadena,
[texx]\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},\ \ \frac{\partial u}{\partial\theta}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta}[/texx]
luego
[texx]u_{r}=u_{x}\cos\theta+u_{y}\sin\theta\text{ y }u_{\theta}=-u_{x}r\sin\theta+u_{y}r\cos\theta.[/texx] (1)
De manera análoga,
[texx]v_{r}=v_{x}\cos\theta+v_{y}\sin\theta\text{ y }v_{\theta}=-v_{x}r\sin\theta+v_{y}r\cos\theta[/texx] (2)
luego por las ecuaciones C-R tenemos que la ecuación (2) se convierte en
[texx]v_{r}=-u_{y}\cos\theta+u_{x}\sin\theta,\ \ \ \text{ y } ,\ \ \ v_{\theta}=u_{y}r\sin\theta+u_{x}r\cos\theta[/texx] (3)
luego comparando las ecuaciones (1) y (3) encontramos que
[texx]ru_{r}=v_{\theta},\ \ \ u_{\theta}=-rv_{r}[/texx]
que son las ecuaciones C-R en coordenadas polares. Así será más fácil tratar el problema.
El dominio de definición de [texx]f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2}[/texx], [texx](|z|=r, \, \text{arg}(z)=\theta)[/texx] es el conjunto [texx]\left\{r>0, \varphi < \text{arg(z)}=\theta < \varphi + 2\pi\right\}[/texx]. Para ver en qué región del plano puede ser analítica analicemos las ecuaciones C-R.
Por la fórmula de Euler,
[texx] \displaystyle f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2}=\underbrace{\sqrt{r}\cos\frac{\theta}{\text{2}}}_{u(x,y)}+i\underbrace{\sqrt{r}\sin\frac{\theta}{2}}_{v(x,y)}
[/texx]
y, entonces, aplicando las ecuaciones C-R
[texx] \displaystyle ru_{r}=\frac{\sqrt{r}}{2}\cos\frac{\theta}{2}=v_{\theta}, \ \ \ u_{\theta}=-\frac{\sqrt{r}}{2}\sin\frac{\theta}{2}=-rv_{r}
[/texx]
luego la función [texx]f(z)[/texx] es analítica en todo su dominio de definición (ya que también se tiene que sus derivadas primeras son continuas y por tanto se satisfacen las condiciones suficientes de derivabilidad).
Además, se demuestra fácilmente a partir de las ecuaciones (1) y (2) y la fórmula de Euler que [texx]f'(z)=e^{-i\theta}(u_{r}+iv_{r})[/texx] luego
[texx]\displaystyle f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{r}}e^{-i\theta}\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{r}}e^{-i\theta}e^{-i\theta/2}=\frac{1}{2f(z)}
[/texx]
