Foros de matemática
21/10/2017, 01:52:22 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Análisis complejo - Funciones analíticas.  (Leído 1601 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 955

I'm back.


Ver Perfil
« : 17/06/2015, 09:08:28 am »

Enunciado.

Dado [texx]z\in\mathbb{C}[/texx], se define [texx]f(z)=\sqrt{|z|}e^{i\text{arg}(z)/2}[/texx].

[texx]i)[/texx] ¿En qué región del plano puede ser [texx]f[/texx] analítica?
[texx]ii)[/texx] En caso de que [texx]f[/texx] sea analítica, halle [texx]f'(z)[/texx] en la forma más simplificada posible.



   ____

Solución.

Sea [texx]f=u(x,y)+iv(x,y)[/texx]. En coordenadas polares, [texx]x=r\cos\theta[/texx], [texx]y=r\sin\theta[/texx], luego, por la regla de la cadena,

[texx]\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},\ \ \frac{\partial u}{\partial\theta}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta}[/texx]


luego

[texx]u_{r}=u_{x}\cos\theta+u_{y}\sin\theta\text{   y   }u_{\theta}=-u_{x}r\sin\theta+u_{y}r\cos\theta.[/texx]     (1)


De manera análoga,

[texx]v_{r}=v_{x}\cos\theta+v_{y}\sin\theta\text{   y   }v_{\theta}=-v_{x}r\sin\theta+v_{y}r\cos\theta[/texx]     (2)


luego por las ecuaciones C-R tenemos que la ecuación (2) se convierte en

[texx]v_{r}=-u_{y}\cos\theta+u_{x}\sin\theta,\ \ \ \text{   y   } ,\ \ \  v_{\theta}=u_{y}r\sin\theta+u_{x}r\cos\theta[/texx]     (3)


luego comparando las ecuaciones (1) y (3) encontramos que

[texx]ru_{r}=v_{\theta},\ \ \ u_{\theta}=-rv_{r}[/texx]

que son las ecuaciones C-R en coordenadas polares. Así será más fácil tratar el problema.

El dominio de definición de [texx]f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2}[/texx], [texx](|z|=r, \, \text{arg}(z)=\theta)[/texx] es el conjunto [texx]\left\{r>0, \varphi < \text{arg(z)}=\theta < \varphi + 2\pi\right\}[/texx]. Para ver en qué región del plano puede ser analítica analicemos las ecuaciones C-R.

Por la fórmula de Euler,

[texx] \displaystyle f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2}=\underbrace{\sqrt{r}\cos\frac{\theta}{\text{2}}}_{u(x,y)}+i\underbrace{\sqrt{r}\sin\frac{\theta}{2}}_{v(x,y)}
 [/texx]

y, entonces, aplicando las ecuaciones C-R

[texx] \displaystyle ru_{r}=\frac{\sqrt{r}}{2}\cos\frac{\theta}{2}=v_{\theta}, \ \ \ u_{\theta}=-\frac{\sqrt{r}}{2}\sin\frac{\theta}{2}=-rv_{r}
 [/texx]

luego la función [texx]f(z)[/texx] es analítica en todo su dominio de definición  (ya que también se tiene que sus derivadas primeras son continuas y por tanto se satisfacen las condiciones suficientes de derivabilidad).

Además, se demuestra fácilmente a partir de las ecuaciones (1) y (2) y la fórmula de Euler que [texx]f'(z)=e^{-i\theta}(u_{r}+iv_{r})[/texx] luego
 
[texx]\displaystyle f'(z)=\frac{1}{2\sqrt{r}}e^{-i\theta}\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{r}}e^{-i\theta}e^{-i\theta/2}=\frac{1}{2f(z)}
 [/texx]
En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Gustavo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Colombia Colombia

Mensajes: 1.627


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 17/06/2015, 03:39:08 pm »

Creo que hay un problema con la definición de [texx]\text{arg}(z)[/texx].

El dominio de definición de [texx]f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2}[/texx], [texx](|z|=r, \, \text{arg}(z)=\theta)[/texx] es el conjunto [texx]\left\{r>0, \varphi \leq \text{arg(z)}=\theta \leq \varphi + 2\pi\right\}[/texx]

La función tendría dos valores para puntos en el semi-rayo de ángulo [texx]\varphi[/texx]. Ahí no va a ser continua la función.
En línea
elcristo
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.192


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 17/06/2015, 03:56:16 pm »

Hola.

Tengo un examen de variable compleja pronto y esto me interesa participar, si no os importa.

¿No puedes argumentar que es producto de funciones enteras luego es entera? [texx]|z|[/texx] es entera, [texx]\sqrt[ ]{|z|}[/texx] también, la exponencial también y [texx]arg(z)[/texx] también.

Saludos.
En línea
Gustavo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Colombia Colombia

Mensajes: 1.627


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 17/06/2015, 09:24:58 pm »

Hola,

De las 4 funciones que mencionaste, sólo la exponencial es entera.

Y debes tener cuidado porque una función que sólo tome valores reales no es analítica (esto no es complicado de demostrar). Por estas líneas, un resultado que en su momento me pareció muy interesante es el teorema de Picard.
En línea
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 955

I'm back.


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 17/06/2015, 10:57:03 pm »

Creo que hay un problema con la definición de [texx]\text{arg}(z)[/texx].

El dominio de definición de [texx]f(z)=\sqrt{r}e^{i\theta/2}[/texx], [texx](|z|=r, \, \text{arg}(z)=\theta)[/texx] es el conjunto [texx]\left\{r>0, \varphi \leq \text{arg(z)}=\theta \leq \varphi + 2\pi\right\}[/texx]

La función tendría dos valores para puntos en el semi-rayo de ángulo [texx]\varphi[/texx]. Ahí no va a ser continua la función.

Sí, es cierto, no sé por qué lo puse así ya que de donde lo copié lo tengo bien puesto. Gracias por el apunte, lo modifico.

En línea

[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!