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Autor Tema: Cable de longitud mínima  (Leído 33 veces)
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martiniano
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« : 03/11/2019, 05:20:44 am »

Hola a todos y a todas.

Me dispongo a subir un problema resuelto que a mí me llama mucho la atención y que se me pide que resuelva bastante a menudo. Lo subo al foro para tenerlo yo fácil a la hora de enlazarlo y para compartirlo con sus usuarios.

Va especialmente dirigido a alumnos de segundo de bachillerato, ya que es el curso en el que más veces aparece este problema y en el que más quebraderos de cabeza causa. Tal vez sea porque las herramientas que se ven en dicho curso suelen llevar a una solución un tanto aparatosa para lo que podría haber sido. Cuando lo tiene resuelto, al alumno de segundo de bachillerato le sorprende saber que el mismo problema se propone en tercero de ESO en un tema bastante inocente, que pocas veces se ve, y que introduce lo que son las traslaciones, rotaciones, homotecias y simetrías en el plano. Por último, también podría aparecer en un curso de nivel universitario para ser resuelto mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.

Las tres soluciones que me dispongo a comentar corresponden a cada uno de los niveles de los que he hablado en el párrafo anterior. Las he ordenado en orden inverso a cómo recomendaría yo a alguien resolver el problema si no se indicase expresamente ningún método concreto. Allá va el enunciado del problema:

Una torre vertical de altura 25 metros se encuentra a una distancia de 32 metros de otra torre también vertical de 15 metros de altura. Se pretende unir sus cimas mediante un cable que debe tocar el suelo en uno de sus puntos tal y como muestra el dibujo:



Considerar que cada tramo de cable es recto. Calcular a qué distancia de la primera torre debe producir el contacto entre el cable y el suelo para que la longitud del cable sea mínima.

Lo que planteáis la mayoría de estudiantes de segundo de bachillerato es lo siguiente:

Spoiler: Solución 1 (click para mostrar u ocultar)

El anterior camino os desanima a muchos cuando os encontráis con una ecuación que tiene raíces cuadradas y denominadores. Espero que lo que llevamos de exposición sirva para quitarle un poco de hierro al asunto y mostrar que la ecuación es, en realidad, asequible.

La siguiente solución es la que corresponde al potente método de los multiplicadores de Lagrange, que tanto aligera la tarea de resolver muchos de los problemas de opitimización.

Spoiler: Solución 2 (click para mostrar u ocultar)

Y por último la solución que suele resultar más sorprendente, que como ya he dicho se puede entender con un nivel bastante elemental.

Spoiler: Solución 3 (click para mostrar u ocultar)

La pregunta que os soléis hacer los estudiantes universitarios y de bachillerato al ver esta última solución es si éste método sería válido en un examen del curso que estáis cursando. En mi opinión, si el enunciado no exige que el problema se resuelva mediante un método determinado, se debería dar la respuesta por válida. Pero sólo es una opinión...

Espero que os haya sido útil y que os haya gustado. Cualquier tipo de comentario es bienvenido. Un saludo.

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