Foros de matemática
24/11/2017, 01:37:13 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Proyección canónica como espacio recubridor y grupo fundamentales .  (Leído 1520 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
cbrg
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
España España

Mensajes: 15


Ver Perfil
« : 11/05/2015, 08:05:47 pm »

 hola, me podrían ayudar a resolver este ejercicio.

En [texx]\mathbb{R}^3[/texx] se considera el subespacio

[texx] X = \left\{{ x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{ tal que }  x_1^2 + x_2^2 = 1 \textsf{,}  x_3 =0}\right\} \cup{ \left\{{x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{tal que } x_2^2 + x_3^2 =1 \textsf{,}x_1=0 }\right\}}  [/texx]


en otras palabras  la unión de dos circunferencias de centro el origen y radio uno trazadas ,respectivamente ,en los planos  [texx]x_3=0[/texx] y [texx]x_1=0[/texx].

A su vez en X se considera la relación de equivalencia xRx' si y solo si [texx]x=\pm{x'}[/texx] . Sea Y el espacio cociente ,dotado de la topología cociente , y [texx] p :X\longrightarrow{Y}[/texx]  la proyección canónica.


a) Probar que p: [texx]X\longrightarrow{Y}[/texx] es un espacio recubridor.
b) Calcular el grupo fundamental de X.
c) Calcular el grupo fundamental de Y.                                                                                                   
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.353


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 12/05/2015, 07:02:19 am »

Hola

 Bienvenida al foro.

hola, me podrían ayudar a resolver este ejercicio.

En [texx]\mathbb{R}^3[/texx] se considera el subespacio \mathbb{}

[texx] X = \left\{{ x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{ tal que }  x_1^2 + x_2^2 = 1 \textsf{,}  x_3 =0}\right\} \cup{ \left\{{x\in{\mathbb{R}^3} \textsf{tal que } x_2^2 + x_3^2 =1 \textsf{,}x_1=0 }\right\}}  [/texx].
 
en otras palabras  la unión de dos circunferencias de centro el origen y radio uno trazadas ,respectivamente ,en los planos  [texx]x_3=0[/texx] y [texx]x_1=0[/texx].

A su vez en X se considera la relación de equivalencia xRx' si y solo si [texx]x=\pm{x'}[/texx] . Sea Y el espacio cociente ,dotado de la topología cociente , y [texx] p :X\longrightarrow{Y}[/texx]  la proyección canónica.


a) Probar que p: [texx]X\longrightarrow{Y}[/texx] es un espacio recubridor.
b) Calcular el grupo fundamental de X.
c) Calcular el grupo fundamental de Y.                                                                                                   

 Te doy algunas indicaciones.

 Es claro que [texx]p[/texx] es continua y sobreyectiva por ser la aplicación proyección de un cociente. Para ver que es una cubierta para cada punto [texx]
  • \in Y[/tex] tienes que probar que existe un entorno [texx]U\subset Y[/texx] tal que [texx]p^{-1}(U) [/texx] es unión disjunta de abiertos homeomorfos a [texx]U[/texx].

     Para ello basta que tomes para cada [texx]x\in X[/texx] un abierto [texx]U_x[/texx] tal que [texx]U_x[/texx] sea disjunto con [texx]-U_x[/texx], de forma que la restricción de la proyección restringida a tal abierto será un homeomorfismo.

     En ese caso dado [texx]
    • \in Y[/tex], si tomas [texx]U=p(U_x)[/texx] tendrás que [texx]p^{-1}(U)=U_x\cup -U_x[/texx]

       En cuanto a los grupos fundamentales, puedes ver que el espacio [texx]X [/texx] es homótopo a tres circunferencias pegadas por un punto. Es bien conocido que su grupo fundamental es el grupo libre con tres generadores.

       Al hacer el cociente que identifica puntos antipodales cada en cada una de las dos circunferencias que forman [texx]X[/texx] identificamos las semicircunferencias superior e inferior. Los dos puntos de corte de ambas circunferencias se identifican en uno solo. El conjuto cociente corresponde por tanto a dos circunferencias pegadas por un punto. Su grupo fundamental es el grupo libre con tres generadores.

       En el contexto de la teoría de cubiertas, sabemos que la aplicación [texx]p_*:\pi_1(X)\longrightarrow{}\pi_1(Y)[/texx] es inyectiva. Si [texx]Y[/texx] está generado por los lazos [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx], se tiene que [texx]p_*(\pi_1(X))[/texx] (que es un subgrupo de [texx]\pi_1(Y)[/texx] isomorfo al grupo fundamental de [texx]X[/texx]) está generado por [texx]a^2,b^2,ab[/texx].

       El dibujo ilustra este hecho.



      Saludos.
    [/texx]
[/texx]

* recubridor12052015.jpg (10.83 KB - descargado 138 veces.)
En línea
cbrg
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
España España

Mensajes: 15


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 19/05/2015, 11:06:31 pm »

Muchas gracias por las indicaciones.
En línea
caro
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
España España

Mensajes: 8


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 31/05/2015, 12:52:30 pm »

Muchas gracias por las indicaciones.

hola
en el apartado c) el grupo fundamental  no seria el producto libre de dos generadores ?
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.353


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 02/06/2015, 05:33:46 am »

Hola

hola
en el apartado c) el grupo fundamental  no seria el producto libre de dos generadores ?

Si; ya lo indiqué aquí:

Si [texx]Y[/texx] está generado por los lazos [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx]

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!