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Autor Tema: Grupo fundamental y superficie  (Leído 1555 veces)
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« : 27/05/2015, 08:44:51 pm »

hola

Consideramos en[texx] \mathbb{R}^3[/texx] el subespacio

 [texx] X = ((\mathbb{ R }^2-\left\{{(1,1)}\right\}) x \left\{{0}\right\})\cup{}((\mathbb{R}^2 - \left\{{(1,0),(0,1)}\right\}) x \left\{{1}\right\})\cup{} (\left\{{0}\right\} x \left\{{0}\right\} x [0,1])       [/texx]

es decir la unión del plano [texx] x_3=0 [/texx] privado del punto (1,1,0) ; del plano [texx] x_3=1 [/texx] privado de los puntos (1,0,1);(0,1,1);y del segmento[texx]\left\{{0}\right\} x \left\{{0}\right\}x[0,1].[/texx]

a) Calcular su grupo fundamental .
b) ¿ Es X una superficie ? Justifique la respuesta.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 28/05/2015, 05:21:51 am »

Hola

 Bienvenida al foro.

Consideramos en[texx] \mathbb{R}^3[/texx] el subespacio

 [texx] X = ((\mathbb{ R }^2-\left\{{(1,1)}\right\}) x \left\{{0}\right\})\cup{}((\mathbb{R}^2 - \left\{{(1,0),(0,1)}\right\}) x \left\{{1}\right\})\cup{} (\left\{{0}\right\} x \left\{{0}\right\} x [0,1])       [/texx]

es decir la unión del plano [texx] x_3=0 [/texx] privado del punto (1,1,0) ; del plano [texx] x_3=1 [/texx] privado de los puntos (1,0,1);(0,1,1);y del segmento[texx]\left\{{0}\right\} x \left\{{0}\right\}x[0,1].[/texx]

a) Calcular su grupo fundamental .

El subespacio dado son dos planos, uno con un agujero y otro con dos agujeros unidos por un segmento.

Presupondré que ya sabrás cual es el grupo fundamental de un plano menos [texx]n[/texx] agujeros. Es el grupo libre de [texx]n[/texx] generadores [texx]\underbrace{\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\ldots*\mathbb{Z}}_{n}[/texx].

Entonces puedes aplicar el teorema de Van Kampen. Toma como abiertos [texx]U_0=\{(x_1,x_2,x_3)\in X|x_3<1\}[/texx] y [texx]U_1=\{(x_1,x_2,x_3)\in X|x_3>0\}[/texx]:

[texx]U_0[/texx] es el plano [texx]x_3=0[/texx] con un agujero y con un segmento unido; el segmento claramente puede contraerse, luego su grupo fundamental es el mismo que el del plano [texx]x_3=0[/texx] con un agujero, es decir, [texx]\mathbb{Z}.[/texx]

[texx]U_1[/texx] es el plano [texx]x_3=1[/texx] con dos agujeros y con un segmento unido; de nuevo el segmento claramente puede contraerse, luego su grupo fundamental es el mismo que el del plano [texx]x_3=1[/texx] con dos agujeros, es decir, [texx]\mathbb{Z}*\mathbb{Z}.[/texx]

La interescción [texx]U_0\cap U_1[/texx] es un segmento y su grupo fundamental es el trivial, el cero.

Por tanto por Van Kampen:

[texx]\pi(X)=\pi(U_0)*\pi(U_1)=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\mathbb{Z}[/texx]

Cita
b) ¿ Es X una superficie ? Justifique la respuesta.


Sería bueno que precisases que definición de superficie estás manejando; en el contexto topológico suele entenderse por superficie un espacio topológico localmente homemorfo a una bola abierta del plano. En tu caso claramente esto no ocurre, porque los puntos del segmento no tienen ningún entorno homeomorfo a una bola abierta del plano.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 30/05/2015, 02:23:18 pm »

Hola

 Bienvenida al foro.

Consideramos en[texx] \mathbb{R}^3[/texx] el subespacio

 [texx] X = ((\mathbb{ R }^2-\left\{{(1,1)}\right\}) x \left\{{0}\right\})\cup{}((\mathbb{R}^2 - \left\{{(1,0),(0,1)}\right\}) x \left\{{1}\right\})\cup{} (\left\{{0}\right\} x \left\{{0}\right\} x [0,1])       [/texx]

es decir la unión del plano [texx] x_3=0 [/texx] privado del punto (1,1,0) ; del plano [texx] x_3=1 [/texx] privado de los puntos (1,0,1);(0,1,1);y del segmento[texx]\left\{{0}\right\} x \left\{{0}\right\}x[0,1].[/texx]

a) Calcular su grupo fundamental .

El subespacio dado son dos planos, uno con un agujero y otro con dos agujeros unidos por un segmento.

Presupondré que ya sabrás cual es el grupo fundamental de un plano menos [texx]n[/texx] agujeros. Es el grupo libre de [texx]n[/texx] generadores [texx]\underbrace{\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\ldots*\mathbb{Z}}_{n}[/texx].

Entonces puedes aplicar el teorema de Van Kampen. Toma como abiertos [texx]U_0=\{(x_1,x_2,x_3)\in X|x_3<1\}[/texx] y [texx]U_1=\{(x_1,x_2,x_3)\in X|x_3>0\}[/texx]:

[texx]U_0[/texx] es el plano [texx]x_3=0[/texx] con un agujero y con un segmento unido; el segmento claramente puede contraerse, luego su grupo fundamental es el mismo que el del plano [texx]x_3=0[/texx] con un agujero, es decir, [texx]\mathbb{Z}.[/texx]

[texx]U_1[/texx] es el plano [texx]x_3=1[/texx] con dos agujeros y con un segmento unido; de nuevo el segmento claramente puede contraerse, luego su grupo fundamental es el mismo que el del plano [texx]x_3=1[/texx] con dos agujeros, es decir, [texx]\mathbb{Z}*\mathbb{Z}.[/texx]

La interescción [texx]U_0\cap U_1[/texx] es un segmento y su grupo fundamental es el trivial, el cero.

Por tanto por Van Kampen:

[texx]\pi(X)=\pi(U_0)*\pi(U_1)=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\mathbb{Z}[/texx]

Cita
b) ¿ Es X una superficie ? Justifique la respuesta.


Sería bueno que precisases que definición de superficie estás manejando; en el contexto topológico suele entenderse por superficie un espacio topológico localmente homemorfo a una bola abierta del plano. En tu caso claramente esto no ocurre, porque los puntos del segmento no tienen ningún entorno homeomorfo a una bola abierta del plano.

Saludos.

hola

la definición que tengo de superficie es  la siguiente:

una variedad topológica V es un espacio topológico ,Hausdorff y cumple el 2 axioma de numerabilidad tal que todo punto posee un entorno abierto homeomorfo a un abierto de [texx]\mathbb{R}^n.[/texx]

si n=1 son curvas simples (no tienen intersección).
si n=2 decimos que  V es una superficie topológica .
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« Respuesta #3 : 30/05/2015, 05:52:49 pm »

Hola

la definición que tengo de superficie es  la siguiente:

una variedad topológica V es un espacio topológico ,Hausdorff y cumple el 2 axioma de numerabilidad tal que todo punto posee un entorno abierto homeomorfo a un abierto de [texx]\mathbb{R}^n.[/texx]

si n=1 son curvas simples (no tienen intersección).
si n=2 decimos que  V es una superficie topológica .

Si, es la definición usual.

Entonces aplica lo que te comenté: no es superficie porque los puntos del segmento [texx]\{0\}\times \{0\}\times [0,1][/texx] no tienen ningún entorno homeomorfo a una bola abierta del plano.

Saludos.

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