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Autor Tema: Centro en la hipotenusa  (Leído 323 veces)
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Michel
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« : 11/05/2015, 11:43:19 am »

Los catetos de un triángulo ABC, rectángulo en A, miden AB=c y AC=b.
Una circunferencia de radio r es tangente a los catetos y su centro está en la hipotenusa.
Demostrar que 1/b+1/c=1/r
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
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« Respuesta #1 : 17/05/2015, 06:01:45 am »

Hola.

Por semejanza entre los triángulos rectángulos EDB y FDC y operando...

Saludos.

* Centro_en_la_hipotenusa.ggb (7.89 KB - descargado 31 veces.)
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Michel
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« Respuesta #2 : 17/05/2015, 12:23:39 pm »

Otra forma.

La suma de las áreas de los triángulos ABO y AOC es igual al área del triángulo ABC.

Tomando como bases de los dos primeros los catetos c y b, respectivamente, las alturas de ambos valen r (los radios en el punto de tangencia son perpendiculares  a las tangentes):

[texx]\dfrac{1}{2}cr+\dfrac{1}{2}br=\dfrac{1}{2}bc\Rightarrow{cr+br=bc}[/texx]

Dividiendo ambos miembros por bcr:  [texx]\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{r}[/texx]


* Hipotenusa.ggb (4.38 KB - descargado 18 veces.)
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