Demostración en un triángulo

[cibernarco]

Tengo una duda en la forma que utilice de resolverlo, yo lo que hice fue armar un paralelogramo dentro , y se me forma dos triángulos congruentes.
Luego no supe como razonar. Y tambien les pregunto, el ejercicio me dice que use vectores ¿está bien lo que hice?

[ingmarov]

Puedes trazar el segmento NP y prueba que los cuatro triángulos construídos son congruentes. Usa el criterio ALA.

Debes definir que P es el punto medio de AC


Quizás valga la pena usar vectores.

[texx]\vec{u}=\vec{BN}[/texx]


[texx]\vec{v}=\vec{BM}[/texx]

[texx]\vec{MN}=\vec{u}-\vec{v}[/texx]

Ahora

[texx]\vec{BA}=2\vec{u}[/texx]   y

[texx]\vec{BC}=2\vec{v}[/texx]

Y por tanto   [texx]\vec{CA}=\vec{BA}-\vec{BC}=2\vec{u}-2\vec{v}=2(\vec{u}-\vec{v})=2\vec{MN}[/texx]

Como los vectores MN y CA son linealmente dependientes, son paralelos.        Corrección.

[cibernarco]

Hola, mira se me ocurrio solo dejar esos dos triangulos, que son congruentes por el criterio : dos triangullos son iguales si tienen un lado y dos angulos iguales, este se cumple por lo tanto son congruentes.

Como tienen los 3 lados iguales BM=MC  punto medio de AC entonces la parelela media de AB pasa por el punto medio de AC

Entonces CP sera igual al MN que es igual a BP. Entonces CP=PB entonces CP=1/2BC

¿esta bien eso? o ¿ debo armar los 4 triangulos como dices?

[robinlambada]

Hola, mira se me ocurrio solo dejar esos dos triangulos, que son congruentes por el criterio : dos triangullos son iguales si tienen un lado y dos angulos iguales, este se cumple por lo tanto son congruentes.

Como tienen los 3 lados iguales BM=MC  punto medio de AC entonces la parelela media de AB pasa por el punto medio de AC

Entonces CP sera igual al MN que es igual a BP. Entonces CP=PB entonces CP=1/2BC

¿esta bien eso? o ¿ debo armar los 4 triangulos como dices?

No es correcto, pués estás suponiendo a priori que la la paralela media AB, es paralela al segmento AC, valga la redundancia y también que MC=CP

Saludos.

[cibernarco]

Bueno muchas gracias, de esa forma lo encontre en una pagina de internet, se ve que esta mal entonces.

Lo voy a hacer como dice ingmarov, esto lo entendi.

[texx]\vec{u}=\vec{BN}[/texx]


[texx]\vec{v}=\vec{BM}[/texx]


pero porque la resta de los vectores es el segmento  MN ?

[ingmarov]

Bueno muchas gracias, de esa forma lo encontre en una pagina de internet, se ve que esta mal entonces.

Lo voy a hacer como dice ingmarov, esto lo entendi.

[texx]\vec{u}=\vec{BN}[/texx]


[texx]\vec{v}=\vec{BM}[/texx]


pero porque la resta de los vectores es el segmento  MN ?

Te pregunto, a qué es igual     [texx]\vec{v}+\vec{MN}=?[/texx]    luego despejas para MN.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Es igual al vector u.

[cibernarco]

no entiendo porque sumas [texx]\overrightarrow{BM }[/texx] con [texx]\overrightarrow{MN}[/texx] , osea que sumas dos lados del triangulo y te da el otro? como llegas a esa conclusion?

[ingmarov]

Sí, así es, sumas (vectorialmente) esos dos lados y te da el tercero. Repasa un poco la suma gráfica de vectores.

[cibernarco]

Si tienes razon! que despistado, entonces asi como lo hiciste quedaria demostrado el ejercicio. no hace falta agregarle nada mas?

[ingmarov]

Creo que está completo.

No te vayas aún, que seguro michel está escribiendo alguna genialidad.

[Michel]

Hola ingmarov.

No se trata de una genialidad, ni mucho menos.

Aparte de otra forma que enviaré mañana, hay esta otra, sin hacer usos de vectores:

Si MN es el segmento que une dos puntos medios, tenemos dos triángulos que tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman...

[ingmarov]

Entonces los triángulos son semejantes.

Y si el problema consiste el demostrar el teorema de Thales

Teorema primero

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

¿Cómo se hace? sin vectores.

Revisando en internet, encontré una demostración muy interesante en: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/proporcionalidad/teoremadetales/teoremadetales.htm

Realmente que la geometría es una matemática hermosa.

[cibernarco]

Muchas gracias!! estudio para profesorado de matematica y la verdad que si es hermosa.

[ingmarov]

Pues no dejes de visitar y revisar los problemas propuestos en esta sección del foro (Geometría sintética). Realmente se aprende mucho con ellos.

[Michel]

Sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo ABC.

Se prolonga MN hasta D, tal que ND=MN y se unen D y C.

Los triángulos AMN y CDN tienen dos lados respectivamente iguales (AN=NC y MN=ND) e igual el ángulo comprendido, por opuestos por el vértice.

Entonces áng MAN=áng NCD y MA=CD.

Como MA=MB, serán CD y MB iguales y paralelos.

Resulta entonces que BCDM es un paralelogramo, por lo que MD será igual y paralelo a BC, y, además, MN=MD/2=BC/2.

[ingmarov]

Hola

Aprovecho la falta de sueño para compartir tu imagen michel (con unas pocas correcciones con los nombres de los puntos)




Gracias amigo michel, cuando sea grande me gustaría ser como tú. De genial. 


Saludos.