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Autor Tema: el hiperespacio  (Leído 6514 veces)
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juana la loca
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« : 21/03/2005, 20:34:28 pm »

  Ayuda en el hiper!!! 
 Alguien me podria explicar si en el plano hay infinidad de poligonos regulares y en el espacio de tres dimensiones solo hay cinco tipos de poliedros regulares, porque en el de cuatro hay seis? Y por que en los restantes espacios de mas de cuatro dimensiones solo hay tres tipos de poliedros regulares?
  Esto que se me ocurrio leer me esta mareando y no lo alcanzo a imaginar.
Agradezco desde ya cualquier respuesta aclaratoria
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carsecor
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« Respuesta #1 : 22/03/2005, 11:37:41 am »

Este es un tema de topología combinatorial, que no requiere demasiados conocimientos previos, aunque tampoco es trivial.

Que existen infinitos polígonos regulares es algo evidente :

para construir un polígono de m lados basta tomar los puntos {exp (2*pi*k/m) : k= 0,1,....,m-1} como vértices, obteniendo una longitud de los lados de 2*sin(pi/m) 

Para R^3 la cosa se complica (su estructura es más compleja , y es fundamental el siguiente teorema :

Teorema: Todo poliedro convexo, sea regular o no, cumple la fórmula de Euler  V- E + F =2 , siendo V el número de vértices, E el número de aristas y F el número de caras.

Como consecuencia de este resultado, se puede probar que sólo existen 5 poliedros regulares, daré un esbozo:

En cada vértice se cortan r aristas, y cada cara está acotada por n ejes ( esto por ser un poliedro regular).
Como cada arista toca 2 vértices rV=2E
Como cada arista forma parte de exactamente dos caras, nF=2E
Aplicando la fórmula de Euler:

V -E + F = 2  = (2/n)*E - E + (2/r)*E

Estos es, 2/E = 2/n  - 1 + 2/r ---> 1/E = 1/n + 1/r - 1/2

Para P poliedro, n, r >= 3 , como E no negativo, tenemos 1/n + 1/r > 1/2 , esto es, n y r no pueden ser, a la vez, mayores que 3, ya que 1/4 + 1/4 = 1/2.
Por tanto, si n=3 , entonces r=3 ó 4 ó 5. Si n=4 entonces r=3 , y si n=5 entonces r=3. Es decir, 5 poliedros.

NOTA: Hay una forma más sencilla de probar esto, pero me interesaba esta manera porque se puede extrapolar, esto es :

Para R^4 , existen 6 politopos regulares, ya que se cumple la fórmula de Euler V- E + F  - H = 0 , siendo V número vértices, E número de ejes, F número de 2-caras y H número de 3-caras. 

Trabajando de modo análogo, se obtiene.

Y para R^n , con n>=5 , utilizando la generalización de esta fórmula (supongo, no lo he visto probado, pero la idea es ésa) se obtiene que sólo existen 3 politopos regulares, para cada n.

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juana la loca
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« Respuesta #2 : 22/03/2005, 13:24:44 pm »

Hola carsecor, lei tu respuesta lo mas detenidamente que pude y te segui hasta cuando aparece en R^4 la formula
V-E+F-H=0. Porque da cero? No entiendo porque lo que en R^3 era E= num. de aristas ahora en R^4 es num. de ejes  y como se que se cumple la formula de Euler en el espacio de mas de 3. Me harias el favor de explicarmelo, si es sencillo.
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« Respuesta #3 : 22/03/2005, 14:29:23 pm »

Hola juana, sobre lo de ejes o aristas, no te preocupes, es lo mismo.
Ahora bien, la fórmula de Euler es el reflejo de algo más general y que tiene que ver con la topología algebráica (en concreto están involucrados los rangos de los grupos de homología de las esferas, si es que esto te dice algo).

Por decirlo de otro modo, si coges un poliedro en un espacio de n dimensiones puedes contar los vértices (C0), las aristas (C1), las caras 2-dimensionales (C2),........, las caras de dimensión n-1 (Cn-1) y hacer la cuenta siguiente:
C0-C1+C2+...+(-1)n-1Cn-1

Existe un teorema general que te asegura que esta operación sale 2 si n es impar y 0 si n es par. Por eso se cumple lo que Carsecor te dijo.

No se si te lo he aclarado un poco, realmente la matemática que hay detrás es algo complicada, pero he intentado ser lo más didáctico posible.

Saludos
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« Respuesta #4 : 22/03/2005, 15:06:16 pm »

Claro, si es que cuando n>3 todo se complica ...  :guiño: :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #5 : 22/03/2005, 18:30:10 pm »

hola teeteto. 
Se entiende la idea. Lo que necesitaba para seguir leyendo, ya lo entendiL
Fueron ambos muy claros en la explicacion. Hacen parecer mas sencillo el tema.
Esta bueno lo que sigue en la lectura de esta, digamos, especie de  exposicion (no se como llamarla porque no es un libro).
Habla de" Flatland o Novela de las Dos Dimensiones" del Rev. Edwin Abbott. Ya habia escuchado citas o comentarios de esta, pero nunca la lei. La tengo que conseguir.
Sera el tiempo, como dicen los fisicos la cuarta dimension?
Aca tambien se habla de la obra de Wells,"The Time Machine" de 1895.
En fin,es interesante y desata la imaginacion .
 Hasta pronto, Juana.



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« Respuesta #6 : 22/03/2005, 19:21:03 pm »

Hola de nuevo juana, me alegra haberte servido de ayuda y me permito recomendarte otro libro, se titula "La Cuarta Dimensión" y el autor es Rudy Rucker. Es muy interesante y fácil de leer.

Saludos
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« Respuesta #7 : 22/03/2005, 21:33:49 pm »

Lo tendre en cuenta.
gracias
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« Respuesta #8 : 22/03/2005, 23:56:40 pm »

que son las cuerdas?
Cierto, lo del modelo matematico es por lo que a esta disciplina se la llama"La Reina de las Ciencias" no?. No se habla de nada en particular pero todas las demas ciencias encuentran en la matematica un marco donde explicar su problematica.
Se me ocurrio mencionar la asociacion que se hace dell tiempo para la cuarta porque es lo que mas se adapta para poder visualizar de alguna manera esta dimension y no sentirme perdida en el espacio.
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« Respuesta #9 : 23/03/2005, 01:42:18 am »

Algo mas. Si todo es ideal y esta en la mente, por ejemplo, un triangulo es ideal y lo dibujo triangulo. No se me ocurre hacerlo de otra manera. Si te imaginaras un cubo en la cuarta dimension..como se llamaria, hipercubo? (no estoy segura pero creo que lo dibujo S.  Dali, lo tenia en un librito que preste)
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« Respuesta #10 : 23/03/2005, 09:14:38 am »

Efectivamente, el equivalente al cubo en un espacio tetradimensional se suele llamar hipercubo.
Salí tiene un cuadro que se titula (salvo error ortográfico probable) Cristus Hipercubus en el cual Jesús no aparece crucificado en una cruz sino en el desarrollo 3-dimensional de un hipercubo.

La teoría de las cuerdas es una teoría física que persigue lo que los físicos teóricos llaman la gran unificación, que en pocas palabras es encontrar una sóla teoría que explique el electromagnetismo, la fuerza gravitatoria y las iteracciones ufertes y débiles. Dicho toscamente lo que proponen es que cada particula elemental es una cuerda y unas se diferencian de otras en su modo de vibración...mis conocimientos sobre este tema son mucho más que limitados.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 23/03/2005, 09:23:02 am »

Una reflexión un poco tonta (o no) que se me olvidó hacer sobre lo de dibujar el triángulo.
Dices que al dibujar un triángulo sólo se te ocurre hacerlo de una manera. Sin embargo, tenemos muchos prejuicios en nuestra cabeza cuyo origen sería muy interesante estudiar. Por ejemplo, si a tí o a mi, o Carlos o a cualquier miembro de este foro nos piden que dibujemos un triángulo estoy casi seguro que nadie (o casi nadie) dibujará un triángulo obtusángulo. Si tú das clase a un número más o menos elevado de alumnos puedes hacer la prueba a ver qué sucede. ¿Acaso un triángulo con todos sus ángulos agudos es tiene más derechos que uno con un ángulo obtuso? ¿por qué casi nadie lo dibuja como primera opción?

Yo he pensado sobre este tema muchas veces (soy así de raro) y creo que es lo suficientemente interesante como para intentar averiguar si se debe a cómo se nos enseña de pequeños el concepto de triángulo o si es algo más profundo.

Un saludo.
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« Respuesta #12 : 23/03/2005, 12:10:08 pm »

Hola!
Si, esa la pintura que yo decia, parece que Dali tenia inquietudes con otras dimensiones porque tambien fantaseaba con el tiempo, por el cuadro de los relojes, que no se como se llama.(aunque ya se ahora la cuarta dimension no es el tiempo todo el tiempo)
Con respecto al triangulo, esta bueno lo que decis, lo voy a probar con mis alumnos. Pero yo iba un poco mas alla, me preguntaba que pasaria si nadie le dibujara un triangulo a un niño y solo se lo describiera.Que forma tendria? bueno, ya me estoy yendo por las ramas. A veces es dificil no dispersarse. Y ese es el secreto de la Mate que podes pasarte todo el tiempo y nunca se agota lo interesante.
La verdad es que cuando aborde este tema no pense que podria parecer tan sencillo como lo explican ustedes. Clar que han sabido "bajar" la informacion adecuada sin meterme en aprietos. Eso es lo dificil de la enseñanza, encontrar las palabras justas.
Bueno,me despido, Juana
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« Respuesta #13 : 23/03/2005, 12:53:26 pm »

Carlos, me dejaste muda.Y eso no es facil. Si tengo que preguntar algo no sabria por donde empezar: Fisica cuantica, teoria de la relatividad.... Creo que eso nunca lo podria entender.
Pero me gusto lo del triangulo.(con que poca cosa se divierte uno, no?)  Esta bien explicadito, sos detallista a decir verdad.
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« Respuesta #14 : 23/03/2005, 13:17:15 pm »

A proposito, se entendio lo que quise decir con "bajar"?
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« Respuesta #15 : 23/03/2005, 13:31:41 pm »

Bajar o hacer la bajada de un tema se entiende, entre los docentes  en particular los secundarios, poner a la altura del educando (palabra horrible) la informacion que pueda comprender. La que en muchos de los casos es lo unico que sabemos sobre el tema (broma, yo tambien soy docente)
Como me gusta usar los parentesis
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« Respuesta #16 : 23/03/2005, 18:27:39 pm »

Hola, un compañero de doctorado que es físico teórico me ha recomendado este artículo de divulgación sobre la teoría de las cuerdas.
Yo lo he leido y la verdad es que es sencillo y se sigue bien así que lo cuelgo para que lo disfruten.

Saludos

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« Respuesta #17 : 20/01/2006, 14:59:59 pm »

Tengo una duda sobre los hiperpolitopos.
Alguien ha posteado una ''prueba'' de cuantos politopos hay en dimensión n.

No he entendido bien, pero me parece que con metodos combinatorios, o sea, con formulas como la de Euler, se establecen las condiciones NECESARIAS para que un cuerpo de dimensión n sea regular. Entonces, esas formulas SOLAMENTE están diciendo qué POSIBILIDADES hay en cada dimensión n para que un cuerpo sea regular, pero no nos dice si esas posibilidades EXISTEN en realidad.

Más claro: en dimensión 3, por la formula de Euler, todo poliedro regular DEBE tener 4, 6, 8, 12 o 20 caras. No hay otras opciones. Esto nos dice que el MAXIMO de poliedros regulares es 5, pero NO NOS DICE que en realidad son EXACTAMENTE 5.
Para probar que son exactamente 5, hay que proceder a CONSTRUIR geometricamente un cuerpo regular de 4 caras, otro de 6, otro de 8, otro de 12 y otro de 20.

He visto que las construcciones de los poliedros de 8, 12 y 20 caras son algo complicadas.

En cuanto a dimensiones mayores, ocurre lo mismo. En dimensión 4, la cosntruccion de los 6 hiperpoliedros regulares debe ser muy complicada.
Si en dimensión >= 5 hay solo 3 posibilidades, debe tratarse de alguna trivialidad, y tal vez sea mas encillo hacer la construccion.

Hago otra pregunta: ¿cuantas hipercaras de dimensión n-1 son ADMISIBLES para un poliedro regular de dimensión n?
Tu has dicho que solo hay 3  casos posibles para n>=5, te pregunto si conoces cuales son esos 3 casos. Me imagino que uno es, claro, el hipercubo de dimensión n. Otro caso debe ser una hiperpiramide de n hipercaras de dimensión n-1 (cada una de las cuales es una hiperpiramide de dimensión n-1, etc.) (estoy en lo correcto?, informacion al respecto?)
Y entonces, el tercer caso que falta, a cual corresponde? ¿Es 2n? ¿algún otro?
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