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Autor Tema: El caso n=4. Una demostración alternativa (III)  (Leído 14897 veces)
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« Respuesta #20 : 16/04/2015, 12:42:35 pm »

Hola,

La cosa es que (independietemente del tono coloquial) no veo claro a donde quieres ir a parar con lo que has escrito.

Ok.

Lo que he querido decir es que detrás de lo que puse en la Respuesta #16 se esconde lo que sería -a mi entender- otra posible demostración del caso n = 4 del UTF.


Dados:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:


a)    [texx](x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2[/texx] .  De donde puedo deducir la terna pitagórica:  [texx]x^2=2\,a\,b\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.

b)    Como:  [texx]y^2\cdot{z^2}=(a^2-b^2)(a^2+b^2)\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,(yz)^2=a^4-b^4\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,{b^4=a^4-(yz)^2\,\,\,\wedge\,\,\,(b^2)^2=(a^2)^2-(yz)^2}[/texx] ;  puedo deducir la terna pitagórica:  [texx]b^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,yz=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a^2=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par.

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que el factor par de  [texx]x^2[/texx] :  " [texx]\pmb{b}[/texx] ", es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares y de la misma condición;  por lo que si:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1[/texx] ,  entonces la magnitud par de:  [texx]b_1\,<\,d_1[/texx] ,  lo que es una contradicción.


Un saludo, 
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« Respuesta #21 : 17/04/2015, 08:39:30 am »

Hola

 Me perdí por completo aquí:

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que el factor par de  [texx]x^2[/texx] :  " [texx]\pmb{b}[/texx] ", es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares y de la misma condición;  por lo que si:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1[/texx] ,  entonces la magnitud par de:  [texx]b_1\,<\,d_1[/texx] ,  lo que es una contradicción.

¿Qué significa números pares de la misma condición?.
¿Qué quiere decir "la magnitud par" de algo?.
¿Dónde está la contradicción?.

Saludos.
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« Respuesta #22 : 17/04/2015, 10:29:20 am »

Hola,


c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que el factor par de  [texx]x^2[/texx] :  " [texx]\pmb{b}[/texx] ", es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares y de la misma condición;  por lo que si:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1[/texx] ,  entonces la magnitud par de:  [texx]b_1\,<\,d_1[/texx] ,  lo que es una contradicción.

¿Qué significa números pares de la misma condición?.
¿Qué quiere decir "la magnitud par" de algo?.
¿Dónde está la contradicción?.


Contestando a la última pregunta contesto a las demás. Yo estoy entendiendo lo siguiente:

[texx]2b_1^2=2c_1d_1\,\,\Rightarrow\,\,{b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}}[/texx] .  Como  [texx]d_1[/texx]  es par y entero ([texx]c_1[/texx] es impar), si es par de 4,  [texx]b_1[/texx]  será par de 2. El elemento "par" ([texx]2^n)[/texx]  de  [texx]b_1[/texx]  será siempre la raíz cuadrada del elemento par de  [texx]d_1[/texx] .  Y aquí es donde veo la contradicción. Tengo por una parte " [texx]x^2[/texx] " y por otra " [texx]b^2[/texx] ", los 2 representan el elemento par de una terna pitagórica primitiva: " [texx]2pq[/texx] "; pero mientras que para  [texx]x^2[/texx] ,  [texx]q=2v[/texx] -por ejemplo-, para  [texx]b^2[/texx] ,  [texx]q=2^{2}w[/texx] .  Y esto yo lo entiendo como una contradicción, a lo mejor indebidamente, no lo sé, ya empiezo a dudarlo. Porque si con carácter general en un caso "q" va a ser siempre como mínimo "4", entonces estaríamos hablando de "4pq" y no de "2pq", que es la representación canóniga que tiene que tener el elemento par de una terna pitagórica primitiva, y ése es precisamente el caso de:  " [texx]b^2=2cd\,\,\,\Leftrightarrow{\,\,\,b=2c_1d_1}[/texx] ".


Un saludo,



PD.  Añadido el 18 de abril: Entonces el apartado c) de la demostración de la Respuesta #20 podría quedar como sigue:

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que  " [texx]\pmb{b}[/texx] " es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares;  por lo que:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1\,\,\,\wedge\,\,\,b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}[/texx] ,  siendo siempre " [texx]b_1[/texx] "  par, como mínimo, de " 2 ",  y de esta manera siendo siempre " [texx]d_1[/texx] " par, como mínimo, de " 4 "; lo que quiere decir en realidad que:  [texx]d=8d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b^2=\displaystyle\frac{cd}{2}[/texx] ,  siendo esto último una contradicción.
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« Respuesta #23 : 20/04/2015, 10:04:00 am »

Hola,


PD.  Añadido el 18 de abril: Entonces el apartado c) de la demostración de la Respuesta #20 podría quedar como sigue:

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que  " [texx]\pmb{b}[/texx] " es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares;  por lo que:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1\,\,\,\wedge\,\,\,b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}[/texx] ,  siendo siempre " [texx]b_1[/texx] "  par, como mínimo, de " 2 ",  y de esta manera siendo siempre " [texx]d_1[/texx] " par, como mínimo, de " 4 "; lo que quiere decir en realidad que:  [texx]d=8d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b^2=\displaystyle\frac{cd}{2}[/texx] ,  siendo esto último una contradicción.


Perdón por autocitarme. Pero yo entiendo que la única solución a la contradición expuesta en esta cita de la respuesta anterior es que  [texx]b_1\,\,\wedge\,\,d_1[/texx]  sean impares.

Pero si esto es así, entonces tendríamos que:  [texx]x=2a_1b_1[/texx] , para  [texx]a_1,b_1[/texx]  impares; y no es difícil de demostrar que esto es, a su vez, una contradicción, como ya hice en el primer post del hilo:  " <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76842.0">El caso n=4. Una demostración alternativa-?</a> ", en septiembre del año pasado, donde llego a la consecuencia que:  [texx]x=2pq[/texx] ,  para " q " par. Por tanto, de ser así esto último, entiendo que estaríamos ante una demostración del caso n = 4 que no estaría basada estrictamente en una argumentación del tipo "descenso infinito" ¿no?


Un saludo,
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« Respuesta #24 : 20/04/2015, 11:40:30 am »

Hola

PD.  Añadido el 18 de abril: Entonces el apartado c) de la demostración de la Respuesta #20 podría quedar como sigue:

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que  " [texx]\pmb{b}[/texx] " es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares;  por lo que:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1\,\,\,\wedge\,\,\,b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}[/texx] ,  siendo siempre " [texx]b_1[/texx] "  par, como mínimo, de " 2 ",  y de esta manera siendo siempre " [texx]d_1[/texx] " par, como mínimo, de " 4 "; lo que quiere decir en realidad que:  [texx]d=8d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b^2=\displaystyle\frac{cd}{2}[/texx] ,  siendo esto último una contradicción.


No acabo de verlo.

De [texx]x=\sqrt{2ab}[/texx] con a impar lo que tienes es que la mayor potencia de dos que divide a [texx]b[/texx] es impar, es decir, [texx]b=2^{2k+1}b'[/texx] con [texx]b'[/texx] impar.

Eso es compatible con que [texx]b=\sqrt{2cd}[/texx] con [texx]c[/texx] impar. Tendrías:

[texx]2^{4k+2}b'^2=2cd[/texx]

con [texx]d[/texx] par. De donde [texx]d=2^{4k+1}d' [/texx] con [texx]d'[/texx] impar. ¿Dónde está el problema?.

Saludos.
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« Respuesta #25 : 20/04/2015, 06:24:32 pm »

Hola,


No acabo de verlo.

De [texx]x=\sqrt{2ab}[/texx] con a impar lo que tienes es que la mayor potencia de dos que divide a [texx]b[/texx] es impar, es decir, [texx]b=2^{2k+1}b'[/texx] con [texx]b'[/texx] impar.

Eso es compatible con que [texx]b=\sqrt{2cd}[/texx] con [texx]c[/texx] impar. Tendrías:

[texx]2^{4k+2}b'^2=2cd[/texx]

con [texx]d[/texx] par. De donde [texx]d=2^{4k+1}d' [/texx] con [texx]d'[/texx] impar. ¿Dónde está el problema?.


Voy al grano. Lo que trato de decir en el fondo es muy simple y quizás sea ése el problema, eso y que -supongo- esté mal:


a) Tengo el elemento "par" de una terna pitagórica primitiva:  [texx]2pq[/texx] , para  [texx]p\vee q[/texx]  par.  Entonces:  [texx]2pq\,\,\Leftrightarrow\,\,{2^{k+1}p,q'}[/texx] ,  para  [texx]p,q'[/texx] ,  por ejemplo, impares.

b) Tenemos que:  [texx]x^2=2ab[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.. (y  [texx]b_1[/texx]  par). Entonces:  [texx]2ab\,\,\Leftrightarrow\,\,{(2^{k+1})^{2}a,b'}[/texx] ,  para  [texx]a,b'[/texx]  impares.

c) Tenemos también que:  [texx]b^2=2cd[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par.. (y  [texx]d_1[/texx]  par).  Entonces:  [texx]2cd\Leftrightarrow{(2^{2k+1})^{2}cd'}[/texx] ,  para  [texx]c,d'[/texx]  impares.


Pues bien, lo que estoy queriendo decir es que como el elemento par de b) y c) no son estrictamente como la forma canóniga del elemento par de una terna pitagórica primitiva  ([texx]2^{k+1}[/texx]) ,  entonces no pueden ser considerados elementos pares de una terna pitagórica primitiva, lo que sería una contradicción. Por ejemplo, para  [texx]k=1[/texx]  tendremos ternas pitagóricas cuya mayor potencia de dos de su elemento par será de 4 ( -12,35,37- ó -204,253,325-), pero no así en los casos de  [texx]x^2\vee b^2[/texx] , donde para  [texx]k=1[/texx]  la mayor potencia de dos no será inferior en ningún caso de 16 y en el otro de 64, y eso será siempre así para  [texx]k=n[/texx] ,  de forma que podría hablarse en un caso de  [texx]8p'q'[/texx] ,  para  [texx]q'[/texx]  par, y en otro de  [texx]32p''q''[/texx] ,  para  [texx]q''[/texx]  par; lo que no es lo mismo que decir:  [texx]2pq[/texx] ,  para  [texx]q[/texx]  par .  Espero no haber herido la sensibilidad de nadie si he dicho una barbaridad muy gorda, pero este es un foro para aprender.


Un saludo,
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« Respuesta #26 : 21/04/2015, 06:09:40 am »

Hola

Lo siento sigo sin verlo.

Algunas indicaciones:

a) Tengo el elemento "par" de una terna pitagórica primitiva:  [texx]2pq[/texx] , para  [texx]p\vee q[/texx]  par.  Entonces:  [texx]\color{red}2pq\,\,\Leftrightarrow\,\,{2^{k+1}p,q'}\color{black}[/texx] ,  para  [texx]p,q'[/texx] ,  por ejemplo, impares.

El signo de equivalencia ahí en medio no sé que quiere decir con precisión; si lo que tienes son igualdades ¡úsalas!.

Cita
Pues bien, lo que estoy queriendo decir es que como el elemento par de b) y c) no son estrictamente como la forma canóniga del elemento par de una terna pitagórica primitiva  ([texx]2^{k+1}[/texx]) ,  entonces no pueden ser considerados elementos pares de una terna pitagórica primitiva, lo que sería una contradicción.


No sé que quiere decir "no ser estrictamente como la forma canónica del elemento par de una terna primitiva".

Por si van por ahí los tiros, que un elemento pueda escribirse como [texx]2^{k+1}p[/texx] con [texx]p[/texx] impar y también como [texx](2^{2k+1})^2c[/texx] con [texx]c[/texx] impar es totalmente compatible.

Evidentemente las dos "k"s que aperecen en los exponentes no tienen porque ser la misma: simplemente representan un número natural.

Entonces es obvio que puede ocurrir:

[texx]2^{n+1}=(2^{2k+1})^2[/texx]

sin más que tomar [texx]n+1=4k+2[/texx].

Si sigues pensando que tu idea encierra un argumento correcto que lleva a una contradicción, tienes que desmenuzarla y explicitarla de forma que enlazando una cadena de igualdades (y no  equivalencias o expresiones de significado poco preciso) llegues a ese resultado contradictorio.

Saludos.
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« Respuesta #27 : 22/04/2015, 12:35:42 pm »

Hola,


Si sigues pensando que tu idea encierra un argumento correcto que lleva a una contradicción, tienes que desmenuzarla y explicitarla de forma que enlazando una cadena de igualdades (y no  equivalencias o expresiones de significado poco preciso) llegues a ese resultado contradictorio.

Lo intento.

Definición previa: Si  [texx]\alpha[/texx]  es "cualquier par", entonces:  [texx]\alpha\,=\,2^{k=n}\alpha'\,,\,\,para\,\,n\in{\mathbb{N}}\,\,\wedge\,\,\alpha'=\,Impar[/texx] .

Tendremos entonces:

a)  El elemento par de una terna pitagórica primitiva:  [texx]2pq\,\,\,=\,\,\,2^{k+1}pq'[/texx] ,  para  [texx]q'[/texx]  impar  [texx]\pmb{\Rightarrow\,\,\,2pq}}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{q}[/texx] "  cualquier par.

b)  [texx]x^2=2ab\,\,\,=\,\,\,(2^{k+1})^{2}ab'[/texx] ,  para  [texx]b'[/texx]  impar  [texx]\pmb{\Rightarrow\,\,\,4\,a_1^2\,b_1^2}}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{b_1}[/texx] "  cualquier par.

c)  [texx]b^2=2cd\,\,\,=\,\,\,(2^{2k+1})^{2}cd'[/texx] ,  para  [texx]d'[/texx]  impar  [texx]{\pmb{\Rightarrow\,\,\,4\,c_1^2\,{d_{11}^4}}^{(*)}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{d_{11}}[/texx] "  cualquier par.

(*)  Como:  [texx]b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}[/texx]  (Ver en el PD. de la Respuesta #22), entonces:  [texx]d_1=d_{11}^2[/texx] .


Por si van por ahí los tiros, que un elemento pueda escribirse como [texx]2^{k+1}p[/texx] con [texx]p[/texx] impar y también como [texx](2^{2k+1})^2c[/texx] con [texx]c[/texx] impar es totalmente compatible.

Evidentemente las dos "k"s que aperecen en los exponentes no tienen porque ser la misma: simplemente representan un número natural.

Entonces es obvio que puede ocurrir:

[texx]2^{n+1}=(2^{2k+1})^2[/texx]

sin más que tomar [texx]n+1=4k+2[/texx].


De esta forma, si:  " [texx](2^{2k+1})^2[/texx] "  representa la magnitud "par" de -por ejemplo-  [texx]\alpha[/texx] ; no podríamos decir que  [texx]\alpha[/texx]  representa "cualquier par", porque:  [texx]k=\displaystyle\frac{n-1}{4}[/texx] .

Luego ni el punto b) anterior -ni el punto c)- son equivalentes al punto a). Esto es -por ejemplo-:  [texx]x^2=4a_1^2b_1^2\,\,\neq\,\,{2pq}[/texx] ;  pues a lo que en el fondo es igual es a:  [texx](2pq)^2[/texx]  - [texx](2ab)^2[/texx] - , lo que generará posteriormente una paradoja por descenso infinito. Y toda la tesis que estoy planteando es que no hace falta llegar a esa paradoja si antes consideramos como una simple contradicción que lo que debería ser el elemento par de una terna pitagórica primitiva ([texx]2pq[/texx]) sea igual a:  [texx]4a_1^2b_1^2[/texx] ,  porque ni son lo mismo, ni son equivalentes, y una manera de explicitar esto es distinguiendo entre las propiedades "ser par" y "ser cualquier par" y descubrir, de esta manera, que ambas expresiones:  [texx]4a_1b_1\,\,\wedge\,\,2pq[/texx]  tienen en realidad distinta paridad, si se me permite esta última expresión.


Un saludo,
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« Respuesta #28 : 22/04/2015, 02:50:27 pm »

Hola

Lo intento.

Si pero...

Cita
Definición previa: Si  [texx]\alpha[/texx]  es "cualquier par", entonces:  [texx]\alpha\,=\,2^{k=n}\alpha'\,,\,\,para\,\,n\in{\mathbb{N}}\,\,\wedge\,\,\alpha'=\,Impar[/texx] .

Tendremos entonces:

a)  El elemento par de una terna pitagórica primitiva:  [texx]2pq\,\,\,=\,\,\,2^{k+1}pq'[/texx] ,  para  [texx]q'[/texx]  impar  [texx]\pmb{\Rightarrow\,\,\,2pq}}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{q}[/texx] "  cualquier par.

Aquí ya la liamos. Pones una implicación y no entiendo en absoluto que significa la consecuencia. Aparentemente no se afirma nada. ¿Qué significa:

 [texx]\pmb{\Rightarrow\,\,\,2pq}}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{q}[/texx] "  cualquier par

?.

Cita
b)  [texx]x^2=2ab\,\,\,=\,\,\,(2^{k+1})^{2}ab'[/texx] ,  para  [texx]b'[/texx]  impar  [texx]\pmb{\Rightarrow\,\,\,4\,a_1^2\,b_1^2}}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{b_1}[/texx] "  cualquier par.

c)  [texx]b^2=2cd\,\,\,=\,\,\,(2^{2k+1})^{2}cd'[/texx] ,  para  [texx]d'[/texx]  impar  [texx]{\pmb{\Rightarrow\,\,\,4\,c_1^2\,{d_{11}^4}}^{(*)}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{d_{11}}[/texx] "  cualquier par.

Aquí la misma objección.

Cita
De esta forma, si:  " [texx](2^{2k+1})^2[/texx] "  representa la magnitud "par" de -por ejemplo-  [texx]\alpha[/texx] ; no podríamos decir que  [texx]\alpha[/texx]  representa "cualquier par", porque:  [texx]k=\displaystyle\frac{n-1}{4}[/texx] .

Luego ni el punto b) anterior -ni el punto c)- son equivalentes al punto a). Esto es -por ejemplo-:  [texx]x^2=4a_1^2b_1^2\,\,\neq\,\,{2pq}[/texx] ;  pues a lo que en el fondo es igual es a:  [texx](2pq)^2[/texx]  - [texx](2ab)^2[/texx] - , lo que generará posteriormente una paradoja por descenso infinito. Y toda la tesis que estoy planteando es que no hace falta llegar a esa paradoja si antes consideramos como una simple contradicción que lo que debería ser el elemento par de una terna pitagórica primitiva ([texx]2pq[/texx]) sea igual a:  [texx]4a_1^2b_1^2[/texx] ,  porque ni son lo mismo, ni son equivalentes, y una manera de explicitar esto es distinguiendo entre las propiedades "ser par" y "ser cualquier par" y descubrir, de esta manera, que ambas expresiones:  [texx]4a_1b_1\,\,\wedge\,\,2pq[/texx]  tienen en realidad distinta paridad, si se me permite esta última expresión.

Y ahí tampoco entiendo exactamente que quieres decir.

Tengo una ligera intuición de por donde pueden ir los tiros de tu confusión. Así que voy a lanzar un comentario sobre lo que creo que estás pensando.

La cuestión es que cuando tu a partir de la ecuación inicial [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] vas construyendo ternas pitagóricas, me parece que razonas como si todas ellas tienen que ser genéricas. Pero eso no es así; nosotros partimos de una supuesta solución concreta de la ecuación de Fermat y razonamos la existencia de ternas pitagóricas concretas con sus particularidades.

Pongo un ejemplo de lo que quiero decir: si yo razonando llego a que un número [texx]n [/texx] es de la forma [texx]n=2k [/texx] y por otra parte llego a que ese número es de la forma [texx]n=3k'[/texx], pensando de manera general como creo que haces tu diría: contradicción, [texx]n[/texx] no puede representar al mismo tiempo a cualquier número par y a cualquier número múltiplo de [texx]3[/texx]... son "estructuras" distintas. ¡No!. Como dije antes [texx]n[/texx] es un número concreto y lo único que habríamos deducido es que simultáneamente múltiplo de [texx]2[/texx] y de [texx]3[/texx]. Y no hay nada contradictorio en eso (lo que ocurre es que es múltiplo de [texx]6[/texx]).


Si las ideas que están manejando no tienen que ver con esto de alguna manera, estoy totalmente perdido sobre como pretendes razonar.

Saludos.
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« Respuesta #29 : 23/04/2015, 10:13:56 am »

Hola,


Tengo una ligera intuición de por donde pueden ir los tiros de tu confusión. Así que voy a lanzar un comentario sobre lo que creo que estás pensando.

La cuestión es que cuando tu a partir de la ecuación inicial [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] vas construyendo ternas pitagóricas, me parece que razonas como si todas ellas tienen que ser genéricas. Pero eso no es así; nosotros partimos de una supuesta solución concreta de la ecuación de Fermat y razonamos la existencia de ternas pitagóricas concretas con sus particularidades.

Pongo un ejemplo de lo que quiero decir: si yo razonando llego a que un número [texx]n [/texx] es de la forma [texx]n=2k [/texx] y por otra parte llego a que ese número es de la forma [texx]n=3k'[/texx], pensando de manera general como creo que haces tu diría: contradicción, [texx]n[/texx] no puede representar al mismo tiempo a cualquier número par y a cualquier número múltiplo de [texx]3[/texx]... son "estructuras" distintas. ¡No!. Como dije antes [texx]n[/texx] es un número concreto y lo único que habríamos deducido es que simultáneamente múltiplo de [texx]2[/texx] y de [texx]3[/texx]. Y no hay nada contradictorio en eso (lo que ocurre es que es múltiplo de [texx]6[/texx]).


Si las ideas que están manejando no tienen que ver con esto de alguna manera, estoy totalmente perdido sobre como pretendes razonar.


Sí, la cosa va por ahí. Creo que de todas formas algo se podría sacar en claro, pero la verdad es que no vale la pena ni aportaría nada sustancioso, así que dejo el tema. La verdad es que me doy cuenta que con esta cuestión del caso n = 4 del UTF voy ya un poco pasado de vueltas.. Como punto final voy a exponer aquí una versión más -la última- de demostración de este caso del Teorema de Fermat por el argumento del descenso infinito. Creo que es correcta porque el fondo de la cuestión es similar a otras ya realizadas, pero nunca se sabe del todo. Un saludo,



Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:  [texx]y^4=z^4-x^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4}[/texx] ,  para  [texx]Y=y^2[/texx] ;  siendo  [texx]Y^2[/texx] , sin pérdida de generalidad, el cuadrado menor posible diferencia de dos cuartas potencias coprimas entre sí.


(a)     [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}[/texx] .  De donde deduzco la terna pitagórica:  [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.   


(b)    Como:  [texx]x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]y^2=(a_1^2)^{2}-(2b_1^2)^{2}\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=(a_1^2)^{2}+(2b_1^2)^{2}[/texx] .  De donde se deducen, respectivamente, las ternas pitagóricas:  [texx]2b_1^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,y=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par;  - y - :  [texx]2b_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=e^2+f^2[/texx] ,  para [texx]f[/texx]  par.


(c)    De esta manera, una terna solución  [texx]\pmb{(x,y,z)}[/texx]  para este caso 4 del Teorema de Fermat quedaría como:  [texx]\pmb{(2\,a_1\,b_1\,,\,c^2-d^2\,,\,e^2+f^2)}[/texx] ;  para:  [texx]b_1^2\,=\,cd\,=\,ef\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,a_1^2\,=\,c^2+d^2\,=\,e^2-f^2[/texx] .


(d)    Y como:  [texx]mcd(cd)=mcd(ef)=1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=f_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\pmb{a_1^2=e_1^4-f_1^4}}[/texx] .  Pero:  [texx]\pmb{a_1^2\,<\,Y^2}[/texx] ,  lo que dijimos que era imposible.   
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  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
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« Respuesta #30 : 23/04/2015, 12:00:59 pm »

Hola

Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:  [texx]y^4=z^4-x^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4}[/texx] ,  para  [texx]Y=y^2[/texx] ;  siendo  [texx]Y^2[/texx] , sin pérdida de generalidad, el cuadrado menor posible diferencia de dos cuartas potencias coprimas entre sí.


(a)     [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}[/texx] .  De donde deduzco la terna pitagórica:  [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.   


(b)    Como:  [texx]x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]y^2=(a_1^2)^{2}-(2b_1^2)^{2}\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=(a_1^2)^{2}+(2b_1^2)^{2}[/texx] .  De donde se deducen, respectivamente, las ternas pitagóricas:  [texx]2b_1^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,y=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par;  - y - :  [texx]2b_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=e^2+f^2[/texx] ,  para [texx]f[/texx]  par.


(c)    De esta manera, una terna solución  [texx]\pmb{(x,y,z)}[/texx]  para este caso 4 del Teorema de Fermat quedaría como:  [texx]\pmb{(2\,a_1\,b_1\,,\,c^2-d^2\,,\,e^2+f^2)}[/texx] ;  para:  [texx]b_1^2\,=\,cd\,=\,ef\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,a_1^2\,=\,c^2+d^2\,=\,e^2-f^2[/texx] .


(d)    Y como:  [texx]mcd(cd)=mcd(ef)=1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=f_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\pmb{a_1^2=e_1^4-f_1^4}}[/texx] .  Pero:  [texx]\pmb{a_1^2\,<\,Y^2}[/texx] ,  lo que dijimos que era imposible.   

Creo que está bien. Un único matiz. Debes de comenzar con la ecuación:

[texx]x^4+Y^2=z^4[/texx]

 y olvidarte de la otra [texx]y[/texx]. Por que sino [texx]Y^2[/texx] no sería el menor cuadrado diferencia de dos potencias cuartas sin más, sino que además le estarías exigiendo que [texx]Y[/texx] fuese el cuadrado de otro número.

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« Respuesta #31 : 23/04/2015, 03:53:36 pm »

Gracias como siempre el_manco por tus observaciones !

Creo que está bien. Un único matiz. Debes de comenzar con la ecuación:

[texx]x^4+Y^2=z^4[/texx]

 y olvidarte de la otra [texx]y[/texx]. Por que sino [texx]Y^2[/texx] no sería el menor cuadrado diferencia de dos potencias cuartas sin más, sino que además le estarías exigiendo que [texx]Y[/texx] fuese el cuadrado de otro número.

En cuanto tenga tiempo traslado la demostración al <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.0">hilo</a> que tengo abierto para eso en La Revista del Foro con la corrección que me indicas y lo corrijo también en las otras demostraciones dónde repito el mismo fallo.


Un saludo,
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