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Autor Tema: Demostración UTF para n=3. Nuevo intento  (Leído 1953 veces)
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mente oscura
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« : 17/03/2015, 11:30:03 am »

Hola.

¡Miedo me da!, pero voy a intentar, otra vez, la demostración referida.  :cara_de_queso:

Supongamos posible: [texx]a, \ b, \ c \in{N} \ / \ a^3=b^3+c^3[/texx], siendo, uno de ellos, un número par.

Supongamos, también, que “a”, “b”, “c”, son coprimos.

Lema 1º)

[texx] \exist{t} \in{N} \ / \ a+t=b+c[/texx], y “t” ha de ser par (obviamente).

Demostración:

Si :[texx]a^3=b^3+c ^3 \ < \ b^3+c^3+3b^2c+3bc^2=(b+c)^3[/texx]

Entonces: [texx]a^3 \ < \ (b+c)^3 \rightarrow{} a<b+c[/texx].

Conclusión:

A) [texx]t=b+c-a[/texx]



Lema 2º)

[texx]3|(a-b) \ o \ 3|(a-c) \ o \ 3|(b+c)[/texx]

Demostración:

[texx]t=b+c-a \rightarrow{}t^3=(b+c-a)^3[/texx]

Operando, resulta:

[texx]t^3=3(a-b)(a-c)(b+c)[/texx]

De aquí, sacamos la conclusión, que [texx]3^k|t \ / \ k \in{N}[/texx], y, por tanto, (a-b), (a-c) o (b+c), deben ser múltiplos de [texx]3^{3k-1}[/texx]. Ahora hay que demostrar que sólo puede ser uno de ellos.


Supongamos, ahora, que el término divisible por  [texx]3^{3k-1}[/texx], sea “(a-b)”.


Lema 3º)

[texx]3^k|c[/texx], y:

[texx](a-b)[/texx] y [texx]a^2+ab+b^2[/texx], no tienen divisores comunes (a excepción del “3”)

Demostración:

[texx]\dfrac{c^3}{a-b}=\dfrac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab[/texx]

El término [texx](a-b)^2+3ab[/texx], sólo es divisible una vez por “3”, por ser coprimos “a”, “b” y “c”.

[texx]Sea: \ d \ne{3} \in{N}\ / \ d|(a-b) \rightarrow{} d|c \rightarrow{} d \cancel{|} (a-b)^2+3ab[/texx]

Conclusiones: podemos definir los términos,

 [texx]e, \ p \in{N} \ / \ (a-b)=\dfrac{e^3}{3} \ / \ (a^2+ab+b^2)= 3p^3[/texx]

Por tanto, llamaremos:

[texx]e^3=3(a-b)[/texx]

[texx]c=ep \ / \ 3^k|e \ / \ 3^k|c[/texx]


Lema 4º)

[texx]\dfrac{b^3}{a-c}=\dfrac{a^3-c^3}{a-c}=a^2+ac+c^2=(a-c)^2+3ac[/texx]

Denomino:

[texx]f, q \in{N} \ / \ (a-c)=f^3 \ / \ (a^2+ac+c^2)=q^3[/texx]

[texx]b=fq[/texx]


Lema 5º)

[texx]\dfrac{a^3}{b+c}=\dfrac{b^3+c^3}{b+c}=b^2-bc+c^2=(b+c)^2-3bc[/texx]

Denomino:

[texx]g, r \in{N} \ / \ (b+c)=g^3 \ / \ (b^2-bc+c^2)=r^3[/texx]

[texx]a=gr[/texx]


Corolario (Lemas 3, 4 ,5): e, f, g, p, q, r, son coprimos entre sí.


Lema 6º)

6.1) [texx]p=\dfrac{e^2}{3}+fg[/texx]

6.2) [texx]q=f^2+eg[/texx]

6.3) [texx]r=g^2-ef[/texx]

Demostraciones:

6.1)

[texx]t=b+c-a=c-(a-b)[/texx]. Lema 1º)

[texx]t=efg=ep-\dfrac{e^3}{3}[/texx]. Lemas 3º)

[texx]fg=p-\dfrac{e^2}{3} \rightarrow{}p=\dfrac{e^2}{3}+fg[/texx]

6.2)

[texx]t=b+c-a=b-(a-c)[/texx]. Lema 1º)

[texx]t=efg=fq-f^3[/texx]. Lemas 4º)

[texx]eg=q-f^2 \rightarrow{} q=f^2+eg[/texx]

6.3)

[texx]t=b+c-a=(b+c)-a[/texx]. Lema 1º)

[texx]t=efg=g^3-rg[/texx]. Lemas 5º)

[texx]ef=g^2-r \rightarrow{} r=g^2-ef[/texx]


DEMOSTRACIÓN GENERAL:

[texx]\color{red}q^3=a^2+ac+c^2=(a-c)^2+3ac=f^6+3ac=f^6+3rgpe \color{black}[/texx]. (*) . Lema 4º)

[texx]q=f^2+eg[/texx]. (**) . Lema 6º)

[texx]\dfrac{(*)}{(**)}=q^2[/texx]

Bien,

[texx]f^6+3rgpe=(f^4+eg)(f^2+eg)-ef^4g-ef^2g+3rp[/texx]

Se deduce que:

[texx](f^2+eg) | (ef^4g+ef^2g-3rp)[/texx]

Como:

[texx]3rp=e^2g^2-e^3f+3fg^3-3f^2g[/texx]. Lema 6º)

Entonces:

[texx](f^2+eg) | (ef^4g+4ef^2g-e^2g^2+e^3f-3fg^3)[/texx]


[texx]ef^4g+4ef^2g-e^2g^2+e^3f-3fg^3=-eg(f^2+eg)+ef^4g+5ef^2g+e^3f-3fg^3[/texx]

Se deduce que:

[texx](f^2+eg) | [f(egf^3+5efg+e^3-3g^3)][/texx]

[texx](f^2+eg) | (egf^3+5efg+e^3-3g^3)[/texx]


[texx]egf^3+5efg+e^3-3g^3=egf^3+5(b+c-a)+3(a-b)-3(b+c)=[/texx]

[texx]=egf^3-2a-b+2c=egf^3-2(a-c)-b=egf^3-2f^3-fq=f(egf^2-2f^2-q)[/texx]

Se deduce que:

[texx](f^2+eg) | (2f^2-egf^2+q)[/texx]

Por Lema 6.2):

[texx](f^2+eg) | [f^2(2-eg)][/texx]

Por tanto:

[texx](f^2+eg) | (2-eg)[/texx]

Lo que es contradictorio, ya que, evidentemente:

[texx]0< \ \dfrac{eg-2}{f^2+eg} \ < \ 1[/texx]



Esto, demostraría el caso, en que: [texx]3|c,e[/texx].

Sería idéntico el caso, en que: [texx]3|b,f[/texx]

Faltaría ver el caso: [texx]3|a,g[/texx]

Antes de seguir con la exposición, me gustaría, que se compruebe si he cometido errores.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #1 : 17/03/2015, 03:52:06 pm »

Hola.

He cometido una incorrección, nada más empezar (lo he puesto en rojo).  :BangHead:

Tengo que seguir mirándolo. Disculpas.

Un cordial saludo.
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