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Autor Tema: Número 3. (2015) El caso n = 4 del UTF  (Leído 23749 veces)
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« : 19/02/2015, 01:41:29 pm »

Este artículo nace del intento de buscar una demostración alternativa al caso n = 4 del llamado Último Teorema de Fermat y desde 1995: Teorema de Fermat-Wiles.

Tras varios intentos infructuosos realizados en este Foro  (Ver: 1, 2), he llegado en este hilo -supervisado por la maestría de el_manco (Luis Fuentes)- a lo que podríamos catalogar como una nueva versión de la demostración clásica por descenso infinito.

En realidad no puede hablarse de una demostración alternativa a las conocidas para este caso del Teorema, por lo que mi objetivo no se ha cumplido, así que lo seguiré intentando.. No obstante sí considero que puede tener algún interés el exponer aquí este resultado en el que desde otra perspectiva se refuerza aún más, si cabe, el papel del descenso infinito como herramienta útil para acceder a la comprensión de este bello caso del Teorema de Fermat que es además el de todos los casos de exponente par.

Un saludo,

Fernando Moreno.


(Editado última vez: Octubre 2018)

¡Por fin logro una demostración alternativa al argumento del descenso infinito! Al menos eso creo. (Ver en el Índice)



ÍNDICE:

1era. demostración ;  2da. ;  3era. ;  4ta. ;  5ta.

6ta. demostración ;  7ma. y Generalización.

8va. demostración ;  9na. y Otros resultados relacionados.

10ma. demostración y Conclusión provisional.

11va. demostración y 12va.

Demostración alternativa y Generalización.




[ 1era. ]


Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:


1)    [texx](x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2[/texx]

    Tendré la terna pitagórica:  [texx](x^2,y^2,z^2)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx]

    [texx]y^2=a^2-b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{(b,y,a)\in{(2a_1b_1,a_1^2-b_1^2,a_1^2+b_1^2)}}[/texx] ,  para  [texx]a_1,b_1[/texx]  coprimos y  [texx]b_1[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x^2=4(a_1^2+b_1^2)a_1b_1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1}}[/texx]

2)    Como:  [texx]mcd(a_1^2+b_1^2,a_1b_1)=1[/texx] ,  puesto que si un " P " divide a  [texx]a_1b_1[/texx] ,  entonces " P " divide a:  [texx]a_1[/texx]  ó a:  [texx]b_1[/texx]  y no podrá dividir de forma entera a  [texx]a_1^2+b_1^2[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2+b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1b_1[/texx]  son  cuadrados.

3)    [texx]a_1^2+b_1^2=\pmb{A}^2[/texx]

    De donde:  [texx](b_1,a_1,\pmb{A})\in{(2a_2b_2,a_2^2-b_2^2,a_2^2+b_2^2)}[/texx] ,  para  [texx]a_2,b_2[/texx]  coprimos y  [texx]b_2[/texx]  par.

4)    [texx]\left({\dfrac{x}{2}}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}}\right)^2=4(a_1^2+b_1^2)(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,[/texx]

        [texx]\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{A}}}\right)^2=(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}[/texx] ;  donde  [texx]\dfrac{b_2}{2}[/texx]  es un número entero por ser  [texx]b_2[/texx]  par.

5)    Además ocurrirá, por lo mismo descrito en el punto 3), que:  [texx]mcd(a_2^2-b_2^2,a_2\dfrac{b_2}{2})=1[/texx] ,  y por tanto que  [texx]a_2^2-b_2^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_2\dfrac{b_2}{2}[/texx]  serán  cuadrados.

6)    Entonces tendremos que:  [texx]a_2^2-b_2^2=\pmb{B}^2[/texx]  [texx]\wedge\,\,\,\,\,...[/texx]

     [texx](b_2,\pmb{B},a_2)\in{(2a_3b_3,a_3^2-b_3^2,a_3^2+b_3^2)}[/texx]

     [texx]\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{AB}}}\right)^2=(a_3^2+b_3^2)a_3b_3[/texx]

     Y todo el proceso anterior se podrá repetir indefinidamente.


7)    De esta forma, sustituyendo, podremos comprobar que:


    [texx]A^2=a_1^2+b_1^2=(a_2^2+b_2^2)^2[/texx]

    [texx]B^2=a_2^2-b_2^2=(a_3^2-b_3^2)^2[/texx]

    [texx]C^2=a_3^2+b_3^2=(a_4^2+b_4^2)^2[/texx]

         [texx]...[/texx]    [texx]...[/texx]    [texx]...[/texx]

    [texx]M_{2n-1}^2=a_{2n-1}^2+b_{2n-1}^2=(a_{2n}^2+b_{2n}^2)^2[/texx]

    [texx]M_{2n}^2=a_{2n}^2-b_{2n}^2=(a_{2n+1}^2-b_{2n+1}^2)^2[/texx]


Por lo que:  [texx]a_1^2+b_1^2\,>\,a_2^2+b_2^2\,>\,a_2^2-b_2^2\,>\,a_3^2-b_3^2[/texx] .  Y como si:  [texx]a_2^2-b_2^2\,>\,a_3^2-b_3^2[/texx] ,  entonces:  [texx]a_2^2+b_2^2\,>\,a_3^2+b_3^2[/texx] ;  tendremos que:  [texx]a_1^2+b_1^2\,>\,a_3^2+b_3^2[/texx]  y el proceso decreciente continuará sin término.


8)  Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] "  tendrá infinitos factores enteros cada vez más pequeños: [texx]...\,\,\,E^2\,<\,C^2\,<\,A^2[/texx] ;  y esto no es posible.



[ 2da. ]   (10 de marzo de 2015. Aquí en el Foro


Punto de partida:

Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces siempre existirán soluciones para:  [texx]x^4+y^4=Z^2[/texx] ,  siendo  [texx]Z^2[/texx]  el cuadrado con el valor mínimo posible de la suma:  [texx]x^4+y^4[/texx] .


Desarrollo:


(1)    [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x^4=z^4-y^4\quad\wedge\quad x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)}[/texx]

    a) Como:  [texx]x\,,\,\,z^2+y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-y^2[/texx]  son pares.

Entonces, de entrada:  [texx]x=2u[/texx]

    b) Demostración que  [texx]z^2+y^2[/texx] es par de la forma: 2v .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

[texx]z^2+y^2=2(2b^2-2b+2a^2-2a+1)[/texx]

    c) Demostración que  [texx]z^2-y^2[/texx]  es par, como mínimo, de la forma:  [texx]8w[/texx] .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:  [texx]z^2-y^2=4(b^2-a^2-b+a)[/texx]

E independientemente de la paridad de  [texx]a\vee b[/texx] ,  la suma de las cantidades contenidas en el paréntesis será siempre par.


(2)    De esta manera:  [texx]16u^4=2v\cdot{8w}\quad\wedge\quad u^4=v\cdot{w}[/texx]

    a)  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,\,w[/texx]  son coprimos deberán ser entonces a su vez potencias cuartas. Demostración:

[texx]z^2+y^2=2v\,\,\,\wedge\,\,\,z^2-y^2=8w[/texx]

[texx]z^2=2v-y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,y^2=z^2-8w\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{z^2=v+4w}[/texx]

[texx]y^2=2v-z^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2=8w+y^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{y^2=v-4w}[/texx]

De esta forma, si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran un factor común ([texx]l[/texx]); entonces:  [texx]z^2=l(v^{'}+4w^{'})\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=l(v^{'}-4w^{'})[/texx] ,  y  " [texx]l[/texx] "  dividiría a  [texx]z^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^2[/texx] ,  lo que no es posible al ser ambos coprimos.

Tenemos entonces que:  [texx]v=p^4\,\,\,\wedge\,\,\,w=q^4[/texx] .

    b) Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ,  y que además:  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx] ;  podemos ahora despejar  " [texx]x[/texx] "  en función de  [texx]p\,\,\,\wedge\,\,\,q[/texx] :

[texx]x^4=(p^4+4q^4)^2-(p^4-4q^4)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x=2pq}[/texx]

Donde:  [texx]p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\,\wedge[/texx]  [texx]p[/texx] = impar, pues es la única manera para que se cumpla que  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  sean impares.

    c) Demostremos ahora que  " [texx]q[/texx] "  es, a su vez, par.

Como:  [texx]z^2=p^4+4q^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q^4=\dfrac{z^2-p^4}{4}}[/texx]

Si:  [texx]z=2b-1\,\,\,\wedge\,\,\,p=2c-1[/texx] ; entonces:  [texx]q^4=-4c^4+8c^3-6c^2+b^2+2c-b[/texx]

Y como todos los términos de la suma son pares menos  [texx]b^2\,\,\,\wedge\,\,\,-b[/texx] .  Sea  " [texx]b[/texx] " par o impar, el resultado será siempre par.


(3)    Es obvio que:  [texx]p^2+2q^2=(p^2-2q^2)+4q^2[/texx] .  Y como:  [texx]p^2+2q^2[/texx]  es un cuadrado ([texx]A^2[/texx]), puesto que  [texx]y^2=(p^2+2q^2)(p^2-2q^2)[/texx]  y ambos factores son coprimos;  [texx]p^2-2q^2[/texx]  es un cuadrado ([texx]B^2[/texx]) -por la misma razón- y  [texx]4q^2[/texx]  también representará un cuadrado ([texx]C^2[/texx]). Al ser  [texx]mcd(4q^2\,,\,p^2-2q^2\,,\,p^2+2q^2)=1[/texx] , entonces podré decir que:  [texx]A^2=B^2+C^2[/texx] ,  y obtener la terna pitagórica:  [texx](C,B,A)\,\in\,{(2ab\,,\,a^2-b^2\,,\,a^2+b^2)}[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx] coprimos y  [texx]b[/texx]  par. De donde:  [texx]2q=2ab\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q=ab}[/texx] ;  [texx](p^2-2q^2)^{\frac{1}{2}}=a^2-b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2-2q^2=(a^2-b^2)^2}[/texx] ;  y:  [texx](p^2+2q^2)^{\frac{1}{2}}=a^2+b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2+2q^2=(a^2+b^2)^2}[/texx] .


(4)    De esta manera:

[texx]p^2-2q^2=(a^2-b^2)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2-2a^2b^2=(a^2-b^2)^2}\,\,\,\wedge\,\,\,\,p^2+2q^2=(a^2+b^2)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2+2a^2b^2=(a^2+b^2)^2}[/texx] . De donde:  [texx]2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-p^2\,\,\,\wedge\,\,\,p^2-(a^2+b^2)^2+p^2=(a^2-b^2)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\pmb{p^2=a^4+b^4}}[/texx] .  Pero entonces tendremos un cuadrado impar:  " [texx]p^2[/texx] ", que siendo igual a la suma de dos números cuartas potencias primos entre sí, es menor que  [texx]Z^2[/texx] ,  que es igual a:  [texx](p^4+4q^4)^2[/texx]  y que sería, como quedamos, el cuadrado menor posible suma de dos cuartas potencias coprimas entre sí:  [texx]x^4+y^4[/texx] .

 

[ 3era. ]  (11 de marzo de 2015. Aquí en el Foro)


Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces podremos establecer un:  [texx]Z^2=x^4+y^4[/texx] ;  representando  " [texx]Z^2[/texx] "  el mínimo cuadrado posible suma de 2 cuartas potencias coprimas entre sí.


Sabemos pues que:  [texx]Z^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] . De donde se deduce la terna pitagórica:  [texx]{(x^2,y^2,Z)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}}[/texx] , para  [texx]a,b[/texx] coprimos y  [texx]b[/texx]  par.

Entonces:  [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,Z=a^2+b^2[/texx]

Y como  [texx]x^2[/texx]  es un cuadrado,  [texx]a\,\,\wedge\,\,b[/texx]  son coprimos y  [texx]b[/texx]  es par; entonces " [texx]a[/texx] "  será de la forma:  [texx]a_1^2[/texx]  y  " [texx]b[/texx] "  será de  la forma:  [texx]2b_1^2[/texx]

Luego tendremos que:  [texx]y^2=(a_1^2)^2-(2b_1^2)^2[/texx]

Y la terna pitagórica:  [texx](2b_1^2,y,a_1^2)\in{(2a_2b_2,a_2^2-b_2^2,a_2^2+b_2^2)}[/texx] ,  para  [texx]a_2,b_2[/texx]  coprimos y  [texx]b_2[/texx]  par.

Entonces:  [texx]2b_1^2=2a_2b_2\,\,\,\wedge\,\,\,y=a_2^2-b_2^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=a_2^2+b_2^2[/texx]

Y como:  [texx]b_1^2=a_2b_2[/texx]  y  [texx]a_2,b_2[/texx]  son coprimos; será:  [texx]a_2=a_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,b_2=b_3^2[/texx] .

Pero ahora:  [texx]a_1^2=a_3^4+b_3^4[/texx] .  Y dado que:  [texx]Z^2=x^4+y^4=(a^2+b^2)^2=\left({(a_3^4+b_3^4)^2+(2a_3^2b_3^2)^2}\right)^2[/texx]

Tendremos que el cuadrado:  [texx]\pmb{a_1^2\,<\,Z^2}[/texx] .  Lo que representará el inicio de un descenso infinito.



[ 4ta. ]    (26 de marzo de 2015. Aquí en el foro)


Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces  [texx]\pmb{x^2}[/texx]  no es un número finito.


(a)    [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}[/texx]   

                  De donde deduzco la terna pitagórica:  [texx]\pmb{x^2=2\,a\,b}\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.
     
                  Y:  [texx]x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\wedge\,\,b=2b_1^2}[/texx]

(b)    Como:  [texx]z^2=a^2+b^2[/texx] ,  puedo deducir la terna pitagórica:

                  [texx]b=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,a=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par.

                  Y como:  [texx]2b_1^2=2cd\,\,\Rightarrow\,\,{b_1^2=cd}\,\,\Rightarrow\,\,{c=c_1^2}\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=4\,a\,c\,d}}[/texx]

(c)    Puesto que:  [texx]a=c^2-d^2\,\,\Rightarrow\,\,{a_1^2=(c_1^2)^2-(d_1^2)^2}[/texx]

                  Puedo deducir la terna pitagórica:  [texx]d_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,c_1^2=e^2+f^2[/texx]  (para  [texx]f[/texx]  par) 
                  [texx]\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=8\,a\,c\,e\,f}}[/texx]

                  Entonces:  [texx]d_1=\sqrt{2ef}\,\,\Rightarrow\,\,{e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=2f_1^2}[/texx]

(d)    Como:  [texx]c_1^2=e^2+f^2[/texx] ,  puedo deducir a su vez la terna pitagórica:

                  [texx]f=2gh\,\,\,\wedge\,\,\,e=g^2-h^2\,\,\,\wedge\,\,\,c_1=g^2+h^2[/texx] ,  para  [texx]h[/texx]  par.

                  Y como:  [texx]2f_1^2=2gh\,\,\Rightarrow\,\,{f_1^2=gh}\,\,\Rightarrow\,\,{g=g_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,h=h_1^2}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=16\,a\,c\,e\,g\,h}}[/texx]

(e)    Como:  [texx]e=g^2-h^2\,\,\Rightarrow\,\,{e_1^2=(g_1^2)^2-(h_1^2)^2}[/texx]      [texx]\pmb{. . .}[/texx]   Y así sucesivamente   [texx]\pmb{. . .}[/texx]



[ 5ta. ]    (23 de abril de 2015. Aquí en el foro)


Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces podremos establecer que:  [texx]x^4+Y^2=z^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4}[/texx] ;  siendo  [texx]Y^2[/texx]  el cuadrado menor posible diferencia de dos cuartas potencias coprimas entre sí.


(a)    [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}[/texx] .  De donde deduzco la terna pitagórica:  [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.   


(b)    Como:  [texx]x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]y^2=(a_1^2)^{2}-(2b_1^2)^{2}\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=(a_1^2)^{2}+(2b_1^2)^{2}[/texx] .  De donde se deducen, respectivamente, las ternas pitagóricas:  [texx]2b_1^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,y=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par; - y - :  [texx]2b_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=e^2+f^2[/texx] ,  para [texx]f[/texx]  par.


(c)    De esta manera, una terna solución  [texx]\pmb{(x,y,z)}[/texx]  para este caso 4 del Teorema de Fermat quedaría como:  [texx]\pmb{(2\,a_1\,b_1\,,\,c^2-d^2\,,\,e^2+f^2)}[/texx] ;  para:  [texx]b_1^2\,=\,cd\,=\,ef\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,a_1^2\,=\,c^2+d^2\,=\,e^2-f^2[/texx] .


(d)    Y como:  [texx]mcd(cd)=mcd(ef)=1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=f_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\pmb{a_1^2=e_1^4-f_1^4}}[/texx] .  Pero:  [texx]\pmb{a_1^2\,<\,Y^2}[/texx] ;  y ya no existirá un límite entero inferior.
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  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
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« Respuesta #1 : 19/10/2016, 04:19:43 am »

Hola, repondiendo a lo planteado en la entrada anterior, llego en este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=90842.0

, a la conclusión de que no es posible una demostración por contradicción aritmética en los casos que plantea el UTF; incluido por tanto cuando n = 4.


Un cordial saludo,

19 de octubre de 2016
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  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
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« Respuesta #2 : 07/03/2017, 05:59:16 am »

Hola,


De vuelta momentáneamente sobre este tema, dejo un par de versiones más de demostraciones por descenso infinito de este caso del n = 4 del UTF y una generalización sobre números enteros.

Al final, como siempre, la única contradicción posible no está en las relaciones aritméticas que se dan entre las distintas variables sino en su propiedad de ser infinitamente “precisas”; algo incompatible con su naturaleza de ser números enteros.



[ 6ta. ]   (5 de marzo de 2017. Aquí en el Foro)


Parto de que es cierto que:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y  [texx]x[/texx] ,  por ejemplo, par.

Y que si:  [texx]Z=z^2[/texx] ;  entonces  [texx]Z^2[/texx]  es el menor cuadrado posible que cumple que:  [texx]Z^2=x^4+y^4[/texx] .


Tenemos pues:

[texx](x^2)^2+(y^2)^2=Z^2[/texx]

Por lo tanto sé que serán soluciones del caso n = 2:

[texx]x^2=2pq[/texx]

[texx]y^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]Z=p^2+q^2[/texx]

, para  [texx]p,q[/texx]  coprimos y  [texx]q[/texx] , por ejemplo, par.

Luego:

[texx]x=(2pq)^{\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,{p=p_1^2\,\,\wedge\,\,q=2q_1^2\,\,\wedge\,\,2q=A^2}[/texx]

[texx]y^2=(p+q)\,(p-q)[/texx]  y como:  [texx](p+q\,,\,p-q)=1[/texx] ;  entonces:  [texx]p+q=B^2\,\,\wedge\,\,p-q=C^2[/texx]

Observo que:

[texx](p-q)+2q=p+q\,\Rightarrow\,{C^2+A^2=B^2}[/texx]

Luego serán soluciones del caso n = 2:

[texx](p-q)^{\frac{1}{2}}=a^2-b^2[/texx]

[texx]2q_1=2ab[/texx]

[texx](p+q)^{\frac{1}{2}}=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y uno de ellos par.

De esta manera:

[texx]q_1=ab\,\,\wedge\,\,q^2=4a^4b^4[/texx]

[texx]y^2=(p+q)\,(p-q)\,=\,(a^2+b^2)^2\,(a^2-b^2)^2\,=\,(a^4-b^4)^2[/texx]

Y como también:  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] ;  sustituyendo:  [texx](a^4-b^4)^2=p^2-4a^4b^4[/texx]

Y entonces:

[texx]p^2=a^8+b^8-2a^4b^4+4a^4b^4\,\Rightarrow\,{p^2=(a^4+b^4)^2}\,\Rightarrow\,{p=(a^4+b^4)}\,\Rightarrow\,{p_1^2=a^4+b^4}[/texx]

Pero  [texx]p_1^2\,<\,Z^2[/texx]  y cumple también ser un cuadrado impar resultado de una suma de 2 cuartas potencias coprimas entre sí; lo que contradice el punto de partida.


[ 7ma. ]  (5 de marzo de 2017. Aquí en el Foro)


Parto igualmente de que es cierto que:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y  [texx]x[/texx] ,  por ejemplo, par.

Y que si:  [texx]Y=y^2[/texx] ;  entonces  [texx]Y^2[/texx]  es el menor cuadrado posible que cumple que:  [texx]Y^2=z^4-x^4[/texx] .


Tendremos:

[texx](x^2)^2+Y^2=(z^2)^2[/texx]

Por lo tanto sé que serán soluciones del caso n = 2:

[texx]x^2=2pq[/texx]

[texx]Y=p^2-q^2[/texx]

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

, para  [texx]p,q[/texx]  coprimos y  [texx]q[/texx] , por ejemplo, par.

Luego:

[texx]x=(2pq)^{\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,{p=p_1^2\,\,\wedge\,\,q=2q_1^2}[/texx]

Entonces:

[texx]x^2+z^2=(p+q)^2[/texx]

Y volverán a ser soluciones del caso n = 2:

[texx]x=2ab[/texx]

[texx]z=a^2-b^2[/texx]

[texx](p+q)=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx] , por ejemplo, par.

Tenemos entonces:

[texx]x=2ab\,=\,2p_1q_1\,\Rightarrow\,{\pmb{p_1q_1=ab}}[/texx]

[texx]p+q=a^2+b^2\,\Rightarrow\,{\pmb{p_1^2+2q_1^2=a^2+b^2}}[/texx]

Veamos que esto último no es posible.

Como resulta evidente que  [texx]p_1\neq a\,\,\wedge\,\,q_1\neq b[/texx] ,  supongamos entonces sin perder generalidad que: 

[texx]a=a_1\cdot a_2[/texx]

[texx]b=b_1\cdot b_2[/texx]

[texx]p_1=a_1\cdot b_1[/texx]

[texx]q_1=a_2\cdot b_2[/texx]

y establezcamos que el factor par está en  [texx]b_2[/texx] .

Desarrollo:

[texx]a_1^2b_1^2+2(a_2^2b_2^2)=a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2a_2^2-a_1^2b_1^2=a_2^2b_2^2-b_1^2b_2^2+a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2(a_2^2-b_1^2)=b_2^2(a_2^2-b_1^2)+a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_2^2b_2^2=(a_2^2-b_1^2)\,(a_1^2-b_2^2)[/texx]

Como  [texx]a_2^2\,\,\wedge\,\,b_2^2[/texx]  son coprimos y  [texx]a_2^2[/texx]  es coprimo con  [texx](a_2^2-b_1^2)[/texx]  y  [texx]b_2^2[/texx]  es coprimo con  [texx](a_1^2-b_2^2)[/texx] ;  entonces: 

[texx]a_2^2= a_1^2-b_2^2[/texx]

[texx]b_2^2= a_2^2-b_1^2[/texx]

Luego:

[texx]a_1^2= a_2^2+b_2^2[/texx]

[texx]b_1^2= a_2^2-b_2^2[/texx]

Y :

[texx]a_1^2b_1^2\,=\,p_1^2=a_2^4-b_2^4[/texx]

Pero  [texx]p_1^2\,<\,Y^2[/texx]  y cumple también ser un cuadrado impar resultado de una diferencia entre 2 cuartas potencias coprimas entre sí; lo que contradice el punto de partida.


Generalización:


Sean  [texx]A,B,C,D[/texx]  enteros y  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] ;  tales que  [texx](A,B)\,=\,(C,D)\,=\,1[/texx]  y  [texx]B\,\,\wedge\,\,D[/texx]  pares.

No puede darse al mismo tiempo:

[texx]\pmb{A\cdot B\,=\,C\cdot D\quad\wedge\quad A^{2n}+B^{2n}\,=\,C^{2n}+2\,D^{2n}}[/texx]


Demostración:

Como resulta evidente que  [texx]A^{2n}\neq C^{2n}\,\,\wedge\,\,B^{2n}\neq D^{2n}[/texx] ,  supongamos entonces sin perder generalidad que: 

[texx]A^{2n}=A_1^{2n}\cdot A_2^{2n}[/texx]

[texx]B^{2n}=B_1^{2n}\cdot B_2^{2n}[/texx]

[texx]C^{2n}=A_1^{2n}\cdot B_1^{2n}[/texx]

[texx]D^{2n}=A_2^{2n}\cdot B_2^{2n}[/texx]

y establezcamos que el factor par está en  [texx]B_2^{2n}[/texx] .

Desarrollo:

[texx]A_1^{2n}A_2^{2n}+B_1^{2n}B_2^{2n}=A_1^{2n}B_1^{2n}+2(A_2^{2n}B_2^{2n})[/texx]

[texx]A_1^{2n}A_2^{2n}-A_1^{2n}B_1^{2n}=A_2^{2n}B_2^{2n}-B_1^{2n}B_2^{2n}+A_2^{2n}B_2^{2n}[/texx]

[texx]A_1^{2n}(A_2^{2n}-B_1^{2n})=B_2^{2n}(A_2^{2n}-B_1^{2n})+A_2^{2n}B_2^{2n}[/texx]

[texx]A_2^{2n}B_2^{2n}=(A_2^{2n}-B_1^{2n})\,(A_1^{2n}-B_2^{2n})[/texx]

Como  [texx]A_2^{2n}\,\,\wedge\,\,B_2^{2n}[/texx]  son coprimos y  [texx]A_2^{2n}[/texx]  es coprimo con  [texx](A_2^{2n}-B_1^{2n})[/texx]  y  [texx]B_2^{2n}[/texx]  es coprimo con  [texx](A_1^{2n}-B_2^{2n})[/texx] ;  entonces: 

[texx]A_2^{2n}=A_1^{2n}-B_2^{2n}[/texx]

[texx]B_2^{2n}=A_2^{2n}-B_1^{2n}[/texx]

Luego:

[texx]A_1^{2n}= A_2^{2n}+B_2^{2n}[/texx]

[texx]B_1^{2n}= A_2^{2n}-B_2^{2n}[/texx]

Y :

[texx]A_1^{2n}B_1^{2n}\,=\,C^{2n}=A_2^{4n}-B_2^{4n}[/texx]

Pero esto equivale a decir que un cuadrado entero puede ser el resultado de la diferencia entre dos cuartas potencias enteras y coprimas entre sí; que es una generalización del caso n = 4 del UTF que es falso.


Un saludo,
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« Respuesta #3 : 11/04/2017, 08:55:59 am »

Hola,


Añado algunas variantes más y otros resultados relacionados que he encontrado dándole vueltas a este caso del n = 4 del UTF. El origen de estas cosas estan en éstos 2 hilos:  Más balas para el n = 4  y :  Método del discriminante para obtener ternas solución  (marzo y abril 2017)


[ 8va. ]   (Generalización)


Sean  [texx]A^2,B^2,C^2[/texx]  tres cuadrados enteros coprimos 2 a 2 que estén a una misma distancia "al cuadrado":





Tendremos:

[texx]A^2+d^2=B^2\quad\wedge\quad B^2+d^2=C^2[/texx]

Y a partir de aquí podremos resolver de 2 maneras rápidas:


La primera es decir que estamos ante 2 ternas pitagóricas solución del caso del UTF para n = 2 con 2 elementos en común; lo que resulta ser una falsedad como demostró nuestro colega mente oscura Aquí.

La segunda es desarrollar estas 2 ternas pitagóricas como sigue:

Puesto que:

[texx]A=a^2-b^2[/texx]

[texx]d=2ab[/texx]  (por ejemplo)

[texx]B=a^2+b^2[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Y :

[texx]B=c^2-d^2[/texx]

[texx]d=2cd[/texx]  (por ejemplo)

[texx]C=c^2+d^2[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Entonces:

[texx]ab=cd[/texx]

[texx]a^2+b^2=c^2-d^2[/texx]

Y como no puede ser que, por ejemplo  [texx]a[/texx]  sea igual a  [texx]c[/texx]  y  [texx]b[/texx]  sea igual a  [texx]d[/texx] ; convendremos sin perder generalidad que:

[texx]a=a_1\cdot{a_2}[/texx]

[texx]b=b_1\cdot{b_2}[/texx]

[texx]c=a_1\cdot{b_1}[/texx]

[texx]d=a_2\cdot{b_2}[/texx]

Y :

[texx]a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2\,=\,a_1^2b_1^2-a_2^2b_2^2[/texx]

[texx]a_1^2a_2^2-a_1^2b_1^2\,=\,-(a_2^2b_2^2+b_1^2b_2^2)[/texx]

[texx]a_1^2(a_2^2-b_1^2)\,=\,-b_2^2(a_2^2+b_1^2)[/texx]

Y como  [texx]a_1^2[/texx]  es coprimo con  [texx]-b_2^2[/texx] ;  entonces:

[texx]a_2^2+b_1^2=k\cdot{a_1^2}[/texx]

[texx]a_2^2-b_1^2=-k\cdot{b_2^2}[/texx]

(basta pensar que  [texx]a_2^2[/texx]  es menor que  [texx]b_1^2[/texx] )

Luego:  [texx]-k^2a_1^2b_2^2\,=\,a_2^4-b_1^4[/texx]

Pero esto equivale a decir que un cuadrado entero puede ser el resultado de la diferencia entre dos cuartas potencias enteras y coprimas entre sí; que es una generalización del caso n = 4 del UTF que es falso.


Contestación de el_manco (Luis Fuentes) (VER)

<< Está bien; pero si quieres aludir a esa versión extendida del UTF n=4  lo puedes hacer directamente desde el principio.

 Si [texx]A^2+d^2=B^2[/texx] y [texx]B^2+d^2=C^2[/texx] entonces:

[texx](B^2−d^2)(B^2+d^2)=A^2C^2[/texx]   [texx]B^4−D^4=(AC)^2[/texx]  >>



[ 9na. ]  (Introduzco en el cálculo algunos racionales)


Tenemos que:  [texx]x^4=z^4-Y^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4=(z^2+Y)(z^2-Y)[/texx] 

Como  [texx]x[/texx]  es par ý  [texx](z^2+Y)[/texx]  es par como mínimo de magnitud 2; supongamos sin perder generalidad que  [texx](z^2-Y)[/texx]  es par de magnitud 8 y entonces:

[texx]z^2+Y=2v[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2-Y=8w[/texx]

Sustituyendo tendremos:

[texx]z^2=v+4w[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]Y=v-4w[/texx] ;  donde  [texx]v,w[/texx]  no pueden tener un factor en común porque si no lo tendrían  [texx]Y,z[/texx]  ý como  [texx]x^4=z^4-Y^2=(v+4w)^2-(v-4w)^2[/texx] ;  entonces:  [texx]x^4=16vw[/texx]  ý  [texx]v,w[/texx]  serán cuartas potencias:  [texx]v_1^4,w_1^4[/texx] .  Pero entonces:  [texx]z^2=v_1^4+4w_1^4[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\dfrac{z^2-(v_1^2)^2}{4}=w_1^4[/texx] ;  ý si suponemos que  [texx]v_1[/texx]  es impar, el numerador será par como mínimo de magnitud 8 ; luego  [texx] w_1^4[/texx]  será par ý  "[texx]x[/texx]", como mínimo, par de magnitud 4 de una manera o de la otra.

Con este dato ahora ya puedo razonar como sigue:

[texx]\dfrac{x^4+Y^2}{16}=\dfrac{z^4}{16}[/texx]

[texx](\dfrac{x^2}{4})^2+(\dfrac{Y}{4})^2=(\dfrac{z^2}{4})^2[/texx]

Luego serán soluciones del caso n = 2:

[texx]\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{2ab}{4}[/texx]

[texx]\dfrac{Y}{4}=\dfrac{a^2-b^2}{4}[/texx]

[texx]\dfrac{z^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{4}[/texx]

, para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx] , por ejemplo, par.

Entonces:

[texx]\dfrac{x^2}{4}=(\dfrac{x}{2})^2=\dfrac{ab}{2}[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]a=a_1^2\,\,\wedge\,\,\dfrac{b}{2}=b_1^2[/texx]

Y sustituyendo:

[texx]\dfrac{z^2}{4}=\dfrac{a_1^4+4b_1^4}{4}[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx](\dfrac{z}{2})^2=(\dfrac{a_1^2}{2})^2+(\dfrac{2b_1^2}{2})^2[/texx]

Siendo soluciones del caso n = 2:

[texx]\dfrac{2b_1^2}{2}=\dfrac{2cd}{2}[/texx]

[texx]\dfrac{a_1^2}{2}=\dfrac{c^2-d^2}{2}[/texx]

[texx]\dfrac{z}{2}=\dfrac{c^2+d^2}{2}[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Donde:

[texx]b_1^2=cd[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]c=c_1^2\,\,\wedge\,\,d=d_1^2[/texx]

Y sustituyendo:

[texx]\dfrac{a_1^2}{2}=\dfrac{c_1^4-d_1^4}{2}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a_1^2=c_1^4-d_1^4[/texx]

Pero  [texx]a_1^2\,<\,Y^2[/texx] y cumple también ser un cuadrado impar resultado de una diferencia entre 2 cuartas potencias coprimas entre sí; lo que contradice de donde partimos.



Otros resultados relacionados:


(1)

[texx]\pmb{\alpha^{2n}\neq{}(a^2+b^2)^2+a^2b^2}[/texx]

Si:  [texx]\alpha^{2n}=(a^2+b^2)^2+a^2b^2[/texx]

Serán soluciones del caso n = 2 del UTF:

[texx]ab=2cd[/texx]

[texx]a^2+b^2=c^2-d^2[/texx]

[texx]\alpha^n=c^2+d^2[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos y  [texx]d[/texx] ,  por ejemplo, par.

Tengo entonces que:  [texx]a^2b^2=4c^2d^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c^2=a^2+b^2+d^2[/texx]

De esta forma:  [texx]a^2(\dfrac{b}{2})^2=c^2d^2[/texx] ;  por lo que  "[texx]b[/texx]" debe ser par de magnitud 4 como mínimo, para mantener la paridad de la ecuación. Y como  [texx]c^2[/texx]  es mayor que  [texx]a^2[/texx]  ý  [texx](\dfrac{b}{2})^2[/texx] ,  y  [texx](\dfrac{b}{2})^2[/texx] ,  en correspondencia, debe ser mayor que  [texx]d^2[/texx] ;  entonces no pierdo generalidad si establezco que:

[texx]a=a_1a_2[/texx]

[texx]\dfrac{b}{2}=b_1b_2[/texx]

[texx]c=a_1b_1[/texx]

[texx]d=a_2b_2[/texx]

, considerando á  [texx]b_2[/texx] como el factor par de  "[texx]\dfrac{b}{2}[/texx]"  y  "[texx]d[/texx]" ;  (no he resuelto la fracción [texx]\dfrac{b}{2}[/texx] para que se entienda mejor lo que hago).

Luego si:  [texx]d^2+b^2\,=\,c^2-a^2[/texx] ;  entonces:

[texx]a_2^2b_2^2+4b_1^2b_2^2=a_1^2b_1^2-a_1^2a_2^2[/texx]

[texx]b_2^2(a_2^2+4b_1^2)=a_1^2(b_1^2-a_2^2)[/texx]

Y :  [texx]a_1^2\mid a_2^2+4b_1^2\,\,\wedge\,\,b_2^2\mid b_1^2-a_2^2[/texx]

De esta manera: 

[texx]a_2^2+4b_1^2=ka_1^2[/texx]

[texx]b_1^2-a_2^2=kb_2^2[/texx]

Y sustituyendo en ambas ecuaciones:

[texx]5a_2^2=ka_1^2-4kb_2^2[/texx]

[texx]5b_1^2=kb_2^2+ka_1^2[/texx]

Como  "[texx]a_2^2[/texx]"  y  "[texx]b_1^2[/texx]"  son coprimos; entonces  [texx]k=5[/texx]

Y tendremos:  [texx]a_2^2=a_1^2-4b_2^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b_1^2=b_2^2+a_1^2[/texx]

Cuyas respectivas soluciones del caso n = 2 del UTF serán:

[texx]2b_2=2ij[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a_2=i^2-j^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a_1=i^2+j^2[/texx] ,  para  [texx]i,j[/texx]  coprimos, uno de ellos par

[texx]\wedge[/texx]

[texx]b_2=2kl[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a_1=k^2-l^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b_1=k^2+l^2[/texx] ,  para  [texx]k,l[/texx]  coprimos, uno de ellos par

Luego:  [texx]ij=2kl[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]i^2+j^2=k^2-l^2[/texx]

Y todo el proceso se repetirá de nuevo sin fin; lo que es contradictorio con la naturaleza discreta de los números enteros.


(2)

Dados  [texx]a,b[/texx]  enteros, coprimos ý  [texx]b[/texx]  par; ([texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx]) .  Si  "[texx]\alpha[/texx]"  es entero; entonces: 


[texx]\pmb{\alpha^{2n}\,\neq\,a^4+b^4+3\,a^2b^2}[/texx] 

[texx]\pmb{\alpha^{2n}\,\neq\,a^4+b^4+18\,a^2b^2}[/texx]


Voy a desarrollar la segunda ecuación (ambas se resuelven de manera semejante)
 

Demostración:


Supongamos que:  [texx]\alpha^{2n}=(a^2+b^2)^2+16a^2b^2[/texx]

Serán soluciones del caso n = 2 del UTF:

[texx]4ab=2cd[/texx]

[texx]a^2+b^2=c^2-d^2[/texx]

[texx]\alpha^n=c^2+d^2[/texx]

, para  [texx]c,d[/texx]  coprimos y  [texx]d[/texx] ,  por ejemplo, par.

Tengo entonces que:  [texx]a^2b^2=c^2(\dfrac{d}{2})^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c^2=a^2+b^2+d^2[/texx]

Y  " [texx]d[/texx] "  será par de magnitud  [texx]4[/texx]  como mínimo, para mantener la paridad de la ecuación.

Supongamos ahora que el impar de la forma  " [texx]\pmb{a^2+b^2}[/texx] "  es el mínimo posible que cumple a la vez que:  [texx]\pmb{a^2+b^2=c^2-d^2}[/texx]  [texx]\pmb{\wedge}[/texx]  [texx]\pmb{2ab=cd}[/texx]

Como  [texx]c^2[/texx]  es mayor que  [texx]a^2[/texx]  ý  [texx]b^2[/texx] ;  y  [texx]b^2[/texx] ,  en correspondencia, debe ser mayor que  [texx](\dfrac{d}{2})^2[/texx] ;  entonces no pierdo generalidad si establezco que:

[texx]a=a_1a_2[/texx]

[texx]b=b_1b_2[/texx]

[texx]c=a_1b_1[/texx]

[texx]\dfrac{d}{2}=a_2b_2[/texx]

, considerando á  " [texx]b_2[/texx] " como el factor par de  [texx]b[/texx]  y  [texx]\dfrac{d}{2}[/texx] .

Luego si:  [texx]d^2+b^2\,=\,c^2-a^2[/texx] ;  entonces:

[texx]4a_2^2b_2^2+b_1^2b_2^2=a_1^2b_1^2-a_1^2a_2^2[/texx]

[texx]b_2^2(4a_2^2+b_1^2)=a_1^2(b_1^2-a_2^2)[/texx]

Y :  [texx]a_1^2\mid 4a_2^2+b_1^2\,\,\wedge\,\,b_2^2\mid b_1^2-a_2^2[/texx]

De esta manera: 

[texx]4a_2^2+b_1^2=ka_1^2[/texx]

[texx]b_1^2-a_2^2=kb_2^2[/texx]

Sustituyendo en ambas ecuaciones:

[texx]5a_2^2=ka_1^2-kb_2^2[/texx]

[texx]5b_1^2=ka_1^2+4kb_2^2[/texx]

Y " [texx]k[/texx] " entonces podrá ser:  [texx]1\,\,\vee\,\,5[/texx]

a)  Si  [texx]k=1[/texx] :

Entonces:  [texx]4a_2^2+b_1^2=a_1^2[/texx]

Y serán soluciones del caso n = 2 del UTF:

[texx]2a_2=2uv[/texx]

[texx]b_1=u^2-v^2[/texx]

[texx]a_1=u^2+v^2[/texx]

,  para  [texx]u,v[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Pero esto no puede ser porque  " [texx]a_2[/texx] "  es impar.

b)  Si  [texx]k=5[/texx] :

Tendremos entonces:  [texx]a_2^2=a_1^2-b_2^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b_1^2=a_1^2+4b_2^2[/texx]

Cuyas respectivas soluciones del caso n = 2 del UTF serán:

[texx]b_2=2ij[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a_2=i^2-j^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a_1=i^2+j^2[/texx] ,  para  [texx]i,j[/texx]  coprimos, uno de ellos par

    [texx]\wedge[/texx]

[texx]2b_2=2kl[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a_1=k^2-l^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b_1=k^2+l^2[/texx] ,  para  [texx]k,l[/texx]  coprimos, uno de ellos par

Luego:  [texx]\pmb{2ij=kl}[/texx]  [texx]\pmb{\wedge}[/texx]  [texx]\pmb{i^2+j^2=k^2-l^2}[/texx]

Pero:  [texx]\pmb{i^2+j^2\,<\,a^2+b^2}[/texx]  y cumple exactamente sus mismas condiciones; lo que contradice el punto de partida.


Añadido:

Simplemente por completar. Dejo apuntado un tercer caso, más sencillo de resolver que los 2 anteriores (con las mismas técnicas) y un último que es sólo de perogrullo:

[texx]\pmb{\alpha^{2n}\,\neq\,a^4+b^4+6\,a^2b^2}[/texx] 

[texx]\pmb{\alpha^{2n}\,\neq\,(a^2+b^2)^2-2\,a^2b^2}[/texx]


(3)

Sean  [texx]a,b,c[/texx]  enteros,  [texx]a\wedge b[/texx]  coprimos y uno de ellos (b) par:  [texx]\pmb{a^6+b^6\neq{}c^2}[/texx]

Supongamos que:  [texx]a^6+b^6=c^2[/texx]

Si:  [texx]c^2=\Delta[/texx] ,  para  [texx]\Delta=B^2-4AC[/texx] ,  el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes y resultado enteros: 

[texx]Ad^2+Bd+C=0[/texx] .

Siempre podrá decirse que se trata de:

[texx]d^2+(a^3+b^3)d+\dfrac{a^3b^3}{2}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(a^3+b^3)^2-4(1)(\dfrac{a^3b^3}{2})[/texx]

Suponemos, sin perder generalidad, que  " [texx]d[/texx] "  es par y negativo  [texx](d=-d_1)[/texx]

Entonces:

[texx]-d_1(-d_1+a^3+b^3)=-\displaystyle\frac{a^3b^3}{2}[/texx]

Llamemos:  [texx]e=-d_1+a^3+b^3[/texx]

Como  " [texx]d_1[/texx] "  divide á  [texx]a^3b^3[/texx]  y éstos son coprimos, divide a uno u a otro y por tanto es coprimo con  [texx]a^3+b^3[/texx]  y con  " [texx]e[/texx] ".

Luego:

[texx]\dfrac{a^3b^3}{2}=d_1e\,\,\wedge\,\,d_1=4d_2^3\,\,\wedge\,\,e=e_1^3[/texx]

Tengo entonces que:  [texx]ab=2d_2e_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]e_1^3+4d_2^3=a^3+b^3[/texx]

De esta forma:  [texx]a(\dfrac{b}{2})=d_2e_1[/texx] ;  por lo que  " [texx]b[/texx] " debe ser par de magnitud 4 como mínimo para mantener la paridad de la ecuación. Y como si  [texx]e_1[/texx]  es mayor que  [texx]a[/texx] ,  entonces  [texx]\dfrac{b}{2}[/texx] ,  en correspondencia, debe ser mayor que  [texx]d_2[/texx]  y viceversa, entonces puedo establecer que:

[texx]a=a_1a_2[/texx]

[texx]\dfrac{b}{2}=b_1b_2[/texx]

[texx]d_2=a_1b_1[/texx]

[texx]e_1=a_2b_2[/texx]

Consideremos, por ejemplo, á  [texx]b_1[/texx] como el factor par de  [texx]\dfrac{b}{2}[/texx]  y  [texx]d_2[/texx]

Luego si:  [texx]e_1^3-a^3=b^3-4d_2^3[/texx] ;  entonces:

[texx]a_2^3b_2^3-a_1^3a_2^3=8b_1^3b_2^3-4a_1^3b_1^3[/texx]

[texx]a_2^3(b_2^3-a_1^3)=4b_1^3(2b_2^3-a_1^3)[/texx]

De esta manera: 

[texx]2b_2^3-a_1^3=ka_2^3[/texx]

[texx]b_2^3-a_1^3=4kb_1^3[/texx]

Y sustituyendo en ambas ecuaciones:

[texx]a_1^3=ka_2^3-8kb_1^3[/texx]

[texx]b_2^3=ka_2^3-4kb_1^3[/texx]

Pero  " [texx]k[/texx] "  sólo puede ser 1, porque  [texx]a_1^3\,\wedge\,b_2^3[/texx]  son coprimos.

Luego tenemos que:

[texx]a_1^3=a_2^3-2^3b_1^3[/texx]

Y sabemos que esa ecuación no es posible para  [texx]a_1,a_2,2b_1[/texx]  enteros.


Añado una GENERALIZACIÓN de este punto (3) que había dado por sobreentendida:   (18 abril)

Sean  [texx]a,b,c[/texx]  enteros,  [texx]a\wedge b[/texx]  coprimos, uno de ellos (b) par y  [texx]m,p[/texx]  naturales para  [texx]p[/texx]  impar mayor que 2; entonces:  [texx]\color{navy}\pmb{a^{2p}+b^{2p}\neq{c^{2m}}}[/texx]

Suponemos que:  [texx]a^{2p}+b^{2p}=c^{2m}[/texx]

Si:  [texx](c^m)^2=\Delta[/texx] ,  para  [texx]\Delta=B^2-4AC[/texx] ,  el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes y resultado enteros: 

[texx]Ad^2+Bd+C=0[/texx] .

Siempre podrá decirse que se trata de:

[texx]d^2+(a^p-b^p)d-\dfrac{a^pb^p}{2}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(a^p-b^p)^2-4(1)(-\dfrac{a^pb^p}{2})[/texx]

Suponemos, sin perder generalidad, que  " [texx]d[/texx] "  es par.

Entonces:

[texx]d(d+a^p-b^p)=\displaystyle\frac{a^pb^p}{2}[/texx]

Llamemos:  [texx]e=d+a^p-b^p[/texx]

Como  " [texx]d[/texx] "  divide á  [texx]a^pb^p[/texx]  y éstos son coprimos, divide a uno u a otro y por tanto es coprimo con  [texx]a^p+b^p[/texx]  y con  " [texx]e[/texx] ".

Luego:

[texx]\dfrac{a^pb^p}{2}=d\,e\,\,\wedge\,\,d=2^{p-1}d_1^p\,\,\wedge\,\,e=e_1^p[/texx]

Tengo entonces que:  [texx]ab=2d_1e_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]e_1^p-2^{p-1}d_1^p=a^p-b^p[/texx]

De esta forma:  [texx]a(\dfrac{b}{2})=d_1e_1[/texx] ;  por lo que  " [texx]b[/texx] " debe ser par de magnitud 4 como mínimo para mantener la paridad de la ecuación. Y como si  [texx]e_1[/texx]  es mayor que  [texx]a[/texx] ,  entonces  [texx]\dfrac{b}{2}[/texx] ,  en correspondencia, debe ser mayor que  [texx]d_1[/texx]  y viceversa, entonces puedo establecer que:

[texx]a=a_1a_2[/texx]

[texx]\dfrac{b}{2}=b_1b_2[/texx]

[texx]d_1=a_1b_1[/texx]

[texx]e_1=a_2b_2[/texx]

Consideremos, por ejemplo, á  [texx]b_1[/texx] como el factor par de  [texx]\dfrac{b}{2}[/texx]  y  [texx]d_1[/texx]

Luego si:  [texx]e_1^p-a^p=2^{p-1}d_1^p-b^p[/texx] ;  entonces:

[texx]a_2^pb_2^p-a_1^pa_2^p=2^{p-1}a_1^pb_1^p-2^pb_1^pb_2^p[/texx]

[texx]a_2^p(b_2^p-a_1^p)=2^{p-1}b_1^p(a_1^p-2b_2^p)[/texx]

De esta manera: 

[texx]a_1^p-2b_2^p=ka_2^p[/texx]

[texx]b_2^p-a_1^p=2^{p-1}kb_1^p[/texx]

Y sustituyendo en ambas ecuaciones:

[texx]-a_1^p=ka_2^p+2^pkb_1^p[/texx]

[texx]-b_2^p=ka_2^p+2^{p-1}kb_1^p[/texx]

Pero  " [texx]k[/texx] "  sólo puede ser 1, porque  [texx]-a_1^p\,\wedge\,-b_2^p[/texx]  son coprimos.

Luego tenemos que:

[texx]-a_1^p=a_2^p+2^pb_1^p[/texx]

Y sabemos que esta ecuación no es posible para  " [texx]p[/texx] "  y  [texx]-a_1,a_2,2b_1[/texx]  enteros.


(4)

Si:  [texx]a,b,c[/texx]  enteros, coprimos,  " [texx]a[/texx] "  par y  " [texx]n[/texx] "  natural y mayor que 2; entonces:  [texx]\pmb{c^2\neq{}4a^n+b^{2n}}[/texx]

Suponemos:  [texx]c^2=4a^n+b^{2n}[/texx]

Si:  [texx]c^2=\Delta[/texx] ;  el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes y resultado enteros como:

[texx]d^2+b^nd-a^n=0[/texx]    ( [texx]\Delta=(b^n)^2-4(1)(-a^n)[/texx] )

Y suponemos que  " [texx]d[/texx] "  es par.

Entonces:

[texx]d(d+b^n)=a^n[/texx]

Si llamo:  [texx]e=d+b^n[/texx]

Como  " [texx]d[/texx] "  divide á  [texx]a^n[/texx] ;  es coprimo con  [texx]b^n[/texx]  y, por tanto, con  " [texx]e[/texx] "

Luego:  [texx]a^n=d\,e\,\,\wedge\,\,d=d_1^n\,\,\wedge\,\,e=e_1^n[/texx]

Pero entonces tendré que:

[texx]e_1^n=d_1^n+b^n[/texx]

Lo que conocemos que para  [texx]n\,>\,2[/texx]  no es cierto para  [texx]b,d_1,e_1[/texx]  enteros.


(5)

Se trata de demostrar que:  [texx]\pmb{(3^2x^3)^3+2(2y^2)^3\neq{}(z^2)^3}[/texx] ;  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 ý  " [texx]y[/texx] "  par.

Para ello voy a utilizar el caso general de las ecuaciones cúbicas según el Método de Tartaglia (Cardano):


Si:  [texx]w^3 + a_1 w^2 + a_2w + a_3 = 0[/texx]

Y :  [texx]Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54}[/texx]

Y :  [texx]S_1= \sqrt[3]{ R + \sqrt{Q^3+R^2}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]S_2= \sqrt[3]{ R - \sqrt{Q^3+R^2}}[/texx]

Entonces:

[texx]w_1 = S_1 + S_2 - \dfrac{a_1}{3}[/texx]

[texx]w_2 = -\dfrac{S_1+S_2}{2} - \dfrac{a_1}{3} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]

[texx]w_3 = -\dfrac{S_1+S_2}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]


Empecemos:

Tenemos que:  [texx]729x^9+16y^6=z^6[/texx]

Luego:

[texx]729x^9=z^6-16y^6[/texx]

[texx]729x^9=(z^3+4y^3)(z^3-4y^3)[/texx]

Como:  [texx]z^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}[/texx]

[texx]729x^9=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3)[/texx]

Como:  [texx]4y^3\,\wedge\,z^3[/texx]  son coprimos; entonces:

[texx](9x^3)^3=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3)[/texx]

Y :

[texx]A^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3[/texx]

[texx]B^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3[/texx]

Para  [texx]A,B[/texx]  enteros.

Supongamos ahora esta ecuación cúbica (en  [texx]w[/texx])  sin término cuadrático:

[texx]w^3+27x^3w-8y^3=0[/texx]

Probaremos que tiene al menos una raíz entera, que será la que utilicemos y que por lo tanto siempre podrá suponerse dicha ecuación dada la ecuación diofántica de partida.

Procedemos según el método de Tartaglia:

[texx]R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54}=\dfrac{-27a_3}{54}=\dfrac{-27(-8y^3)}{54}=4y^3[/texx]

[texx]Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9}=\dfrac{3a_2}{9}=\dfrac{3(27x^3)}{9}=9x^3[/texx]

[texx]S_1^3= R + (Q^3+R^2)^{\frac{1}{2}}=4y^3+(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}=A^3[/texx]

[texx]S_2^3= R - (Q^3+R^2)^{\frac{1}{2}}=4y^3-(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}=-B^3[/texx]

Luego:  [texx]w_1 = S_1 + S_2 - \dfrac{a_1}{3}=A-B[/texx]    ( [texx]w_1=\,Par[/texx] )

De esta forma:  [texx]w_1^3+27x^3w_1-8y^3=0[/texx]  será una ecuación de resultado entero que siempre voy a poder deducir.

Y operando:

[texx]w_1(w_1^2+27x^3)=8y^3[/texx]

Llamo:  [texx]v=w_1^2+27x^3[/texx]

Como  " [texx]w_1[/texx] "  divide á  [texx]8y^3[/texx] ;  no divide á  [texx]27x^3[/texx] ,  su coprimo, siendo por tanto coprimo con  " [texx]v[/texx] ".

Luego:

[texx]8y^3=w_1\cdot{v}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]w_1=w_2^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx] [texx]v=v_1^3[/texx]

Pero entonces:  [texx]v_1^3=(w_2^2)^3+27x^3[/texx]

Lo que sabemos que no es posible para  [texx]3x,v_1,w_2^2[/texx]  enteros.


Un saludo,
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« Respuesta #4 : 03/06/2017, 01:08:45 pm »

Hola, añado por último una demostración más (utilizando los enteros gaussianos) de este caso del n = 4 del UTF. Todas sus vicisitudes (que hay muchas) tienen su origen en este hilo del Foro: Duda elemental sobre enteros gaussianos.


(Editado) - 1 julio 2017 -


[ 10ma. ] 


Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

Entonces:

[texx]z^4=x^4+y^4=\,\epsilon\,(x^2+y^2i)\,(x^2-y^2i)\,/\,\epsilon[/texx] ,  para " [texx]\epsilon[/texx] " la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]z^4[/texx]  será siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Como “ [texx]{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=\,\epsilon\,(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso a) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]x^2+y^2i=(s+ti)^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos (-y-  [texx]s,t[/texx] también); entonces:  [texx]s=s_1^2\,\wedge\,t=t_1^2[/texx]  y además:  [texx]s^2-t^2=A^2[/texx] ,  para un determinado " A " entero.

De esta forma:  [texx]\pmb{s_1^4=A^2+t_1^4}[/texx]

Luego:  [texx]A^2+t_1^4=\,\epsilon\,(A+t_1^2i)(A-t_1^2i)\,/\,\epsilon[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Y como  [texx]A^2+t_1^4[/texx]  es una cuarta potencia; entonces:  [texx]A+t_1^2i=\,\epsilon\,(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v enteros coprimos, de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible  [texx]1\vee i[/texx]

Operando, en el supuesto de que  [texx]\epsilon=1[/texx]:

[texx]A+t_1^2=(u+vi)^4[/texx]

[texx]A+t_1^2i=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]t_1^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos (-y-  [texx]u,v[/texx] también); entonces:  [texx]u=u_1^2\,\wedge\,v=v_1^2[/texx]  y por lo tanto  [texx]u^2-v^2=B^2[/texx] ,  para un determinado " B " entero.

De esta forma tendré:  [texx]\pmb{u_1^4=B^2+v_1^4}[/texx] ; pudiendo repetir este proceso sin fin con enteros cada vez más pequeños.

Y en el caso que  [texx]\epsilon=i[/texx] ,  tendría:

[texx]A+t_1^2=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]A+t_1^2i=\,i\,(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Donde:  [texx]A^2=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces habría que cambiar las paridades de  [texx]A^2\,\wedge\,t_1^2[/texx]  y las magnitudes de  [texx]u\,\wedge\,v[/texx]  (pues suponíamos implícitamente que " u " era mayor que " v").  Ambas cosas se pueden hacer sin perder generalidad (la única paridad que no se puede intercambiar sería la de " [texx]s_1^4[/texx] ") .  Pero si lo hiciéramos nos volveríamos a encontrar con otro descenso infinito en esta situación simétrica.

Caso b) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]x^2+y^2i=i\,(s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4)[/texx]

[texx]x^2+y^2i=(s^4+t^4-6s^2t^2)\,i+(4s^3t-4st^3)\,i^2[/texx]

Luego:  [texx]x^2=4st(t^2-s^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=(s^2-t^2)^2-4s^2t^2[/texx]

Pero entonces, al igual que dijimos antes, habría que cambiar las paridades de  [texx]x^2\,\wedge\,y^2[/texx]  y las magnitudes de  [texx]s\,\wedge\,t[/texx] .  Pudiéndose hacer ambas cosas sin perder generalidad. Pero si lo hiciéramos nos volveríamos a encontrar con otro descenso infinito en esta situación perfectamente simétrica.



De nuevo es palpable (Tesis de este hilo) cómo no cabe para este caso del UTF otro tipo de contradicción; al menos utilizando el álgebra elemental de los enteros (también gaussianos), que la del absurdo por descenso infinito.
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« Respuesta #5 : 22/09/2018, 12:57:33 pm »

Hola, 2 demostraciones más. Las he adjetivado como de "descenso rápido" (*) :


[ 11va. ]


Supongo que  [texx]\pmb{z^4=x^2+y^4}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  " [texx]y[/texx] " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx]  " [texx]2[/texx] "  es el asociado de un cuadrado:  " [texx]i^3(1+i)^2[/texx] " .

De esta manera: [texx] z^4=(x+y^{2}i)(x-y^{2}i)[/texx] .  Como ambos factores son coprimos entonces serán cuartas potencias y existirán unos:

[texx](u+vi)^4=(x+y^{2}i)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](u-vi)^4=(x-y^{2}i)[/texx] ,  para  [texx]u,v[/texx]  enteros, coprimos, uno de ellos par.

Si desarrollamos:  [texx](u+vi)^4\,=\,u^4+4u^3vi+6u^uv^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4\,=\,(x+y^{2}i)[/texx] ;  entonces:

[texx]x=u^4+v^4-6u^2v^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]y^2i\,=\,4u^3vi+4uv^3i^3\,=\,4uv(u^2-v^2)i[/texx]

Por lo que:

[texx](u+vi)^4-(u-vi)^4\,=\,8uv(u^2-v^2)i\,=\,2y^2i\,=\,i^3(1+i)^2y^2i\,=\,i^4(1+i)^2y^2\,=\,(1+i)^2y^2[/texx]

Si llamo ahora:  [texx]a=u+vi[/texx]   ,   [texx]b=(1+i)y[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c=u-vi[/texx]

Entonces:  [texx]a^4-c^4=b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^4=b^2+c^4}[/texx] .  Y puedo repetir este procedimiento sin fin. Pudiendo afirmar además que a partir de un momento dado las  [texx]u',v'[/texx]  correspondientes no serán enteras.


[ 12va. ]


Supongo que  [texx]\pmb{z^{4}=x^{4}+y^{2}}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  “ [texx]x[/texx] “ ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx]  " [texx]2[/texx] "  es el asociado de un cuadrado:  " [texx]i^3(1+i)^2[/texx] " .

De esta manera:  [texx](z^2)^{2}=(x^2)^{2}+(y)^{2}[/texx]  y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z^{2}=p^{2}+q^{2}[/texx]   ;   [texx]x^{2}=2pq[/texx]   ;   [texx]y=p^{2}-q^{2}[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  enteros, coprimos y uno de ellos par.

Como:  [texx]x=\sqrt{2pq}[/texx] ;  entonces:  [texx]p=p_1^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]q=2q_1^2[/texx] . 

Luego:

[texx]z^{2}+y=2p^{2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z^{2}-y=2q^{2}[/texx]

Si multiplico ambas expresiones por el factor  " [texx]2i^2[/texx] " ,  tendré:

[texx]2i^2(z^{2}+y)=4p^{2}i^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]2i^2(z^{2}-y)=4q^{2}i^2[/texx]

Nos fijamos en que  " [texx]4p^{2}i^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]4q^{2}i^2[/texx] "  son cuartas potencias: 

[texx]4p^{2}i^2=i^6(1+i)^4\cdot p_1^4\cdot i^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]4p^{2}i^2=i^8(1+i)^4\cdot p_1^4[/texx]   

[texx]4q^{2}i^2=4\cdot 4q_1^4\cdot i^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]4q^{2}i^2=-\,2^4\cdot q_1^4[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]-\,4q^{2}i^2=2^4\cdot q_1^4[/texx]   
   
Por lo que:  [texx](2z^{2}i^2+2yi^2)\,+\,(2z^{2}i^2-2yi^2)\,=\,4z^2i^2\,=\,i^6(1+i)^4\cdot z^2\cdot i^2\,=\,i^8(1+i)^4\cdot z^2[/texx]

Y si llamo:  [texx]a=i^2(1+i)\cdot p_1[/texx]   ,   [texx]b=2\cdot q_1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c=i^4(1+i)^2\cdot z[/texx]           

Entonces:  [texx]a^4-b^4=c^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^4=b^4+c^2}[/texx] .  Y puedo repetir el mismo procedimiento sin fin.


Un saludo,


PD. De todas las demostraciones, ésta (12va.) es mi preferida y a la que tengo más cariño; incluso de la que le sigue.


Añadido (7 octubre):  Como me indica Luis Fuentes en otro post más adelante, me he dado cuenta que parto de  [texx]\mathbb{Z}[/texx]  y acabo en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx] . Mezclo ambas cosas. Además tampoco me cuadran del todo las deducciones que llevo a cabo en la 12va. Debería salirme ó  [texx]a,b,c[/texx]  todas en  [texx]\mathbb{Z}[/texx]  ó todas en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx] . Saludos. Disculpas.
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« Respuesta #6 : 22/09/2018, 02:38:01 pm »

Hola.

Por fin logro esta ansiada demostración (eso creo) sin tener que recurrir al argumento del descenso infinito. Existe. Y una manera puede ser ésta :


Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2;  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.


Estrategia: Demostrar con carácter general que no es posible que se dé a la vez:

[texx]\pmb{a\cdot b=c\cdot d}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^2=b^2+c^2+d^2}[/texx]

Para:  [texx]\pmb{a,b}[/texx]  coprimos -y-  [texx]\pmb{c,d}[/texx]  coprimos; uno de cada pareja par.

Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha; solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos y  " [texx]b,d[/texx] " ,  por ejemplo, pares; podré establecer también sin perder generalidad que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx]  - ( [texx]d_1[/texx]  par) -.  Veámoslo:






Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  [texx]a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d[/texx]  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx] .

Como:  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ;  entonces:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

(1)  [texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] " .  Así:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_1[/texx] “  entero.

(2)  [texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]c_2^2+d_2^2[/texx] " .  Así:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_2[/texx] “  entero.
 
Y observamos lo siguiente:

(1)  [texx]\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Como:  [texx]d_1\,<\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]r^2\,<\,1[/texx] .  Y como:  [texx]c_1\,>\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]s^2\,>\,1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r^2+s^2=k_1[/texx] .

(2)  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Como:  [texx]c_2\,<\,c_1[/texx] ,  entonces:  [texx]t^2\,<\,1[/texx] .  Y como dijimos antes que:  [texx]s_2\,>\,1[/texx] ,  entonces:  [texx]\dfrac{1}{s^2}\,<\,1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2[/texx] .

Y  " [texx]k_1[/texx] " ,  por lo menos, no es entero

Analicemos esto último:

Como  [texx]t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2}[/texx]  son menores que  [texx]1[/texx] ,  por fuerza  [texx]k_2\,<\,2[/texx] .  Por otra parte como si  [texx]k_2[/texx]  fuera entero sería "par":  [texx]\left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right)[/texx]  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " [texx]\dfrac{A}{B}[/texx] " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ [texx]d_1^2[/texx] “  de:   [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .

Por otra parte, como:  [texx]a^2-c^2=b^2+d^2[/texx] ;  entonces:

[texx]c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2)[/texx] .  De donde:  [texx]\dfrac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,k_2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]k_2\,d_1^2=d_2^2-c_2^2[/texx]   (que ya conocíamos (2))   [texx]\wedge[/texx]   (ahora:)   [texx]k_2\,c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Pero esto no puede ser, porque si el denominador de  " [texx]k_2[/texx] "  ( B )  divide á  [texx]d_1^2[/texx] ,  no puede dividir a su coprimo:  “ [texx]c_1^2[/texx] “ .  Por lo tanto uno de los dos:  “ [texx]k_2\,d_1^2[/texx] “   [texx]\vee[/texx]   “ [texx]k_2\,c_1^2[/texx] “  no es entero.


Ahora veamos que ocurriría si el UTF 4 fuera falso y se cumpliera la igualdad de la suma de sus dos cuartas potencias:

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Por lo que así mismo, serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z=a'^2+b'^2[/texx]  ,  [texx]p=a'^2-b'^2[/texx]  ,  [texx]q=2a'b'[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]p=c'^2+d'^2[/texx]  ,  [texx]y=c'^2-d'^2[/texx]  ,  [texx]q=2c'd'[/texx] ;  para  [texx]a',b'[/texx]  coprimos  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c',d'[/texx]  coprimos, uno de cada pareja par.         

Y :  [texx]\pmb{a'b'=c'd'}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\pmb{a'^2-b'^2=c'^2+d'^2}[/texx] .  Ahí lo tenemos.



Y a partir de aquí una Generalización:


Dados 4 enteros positivos:  [texx]\pmb{A,B,C,D}[/texx] ;  coprimos 2 a 2. No es posible que se dé al mismo tiempo:

[texx]\pmb{C\,k_1=A+B}[/texx]

[texx]\pmb{D\,k_2=A-B}[/texx]

[texx]\pmb{A\,k_3=C+D}[/texx]

[texx]\pmb{B\,k_4=C-D}[/texx] 

Para:  [texx]\pmb{k_1,k_2,k_3,k_4}[/texx]  enteros.


A este tipo de situaciones aritméticas -por razones obvias- las llamo "supersimétricas". Y por lo menos ésta, no puede darse. Veámoslo a partir del desarrollo de la demostración anterior (que pasaría a ser un caso particular de esto último):


- A parir de  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ,  teníamos:  [texx]\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}[/texx] .

- A partir de:  [texx]a^2-d^2=b^2+c^2[/texx] .  Si desarrollamos:  [texx]c_1^2d_2^2-d_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_2^2(c_1^2-d_1^2)=c_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Tendremos:  [texx]\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}[/texx] .

- Y a partir de:  [texx]a^2-c^2=b^2+d^2[/texx] .  Si desarrollamos:  [texx]c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2)[/texx] .  Tendremos:  [texx]\color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}[/texx] .

Ahora hago los siguientes nombramientos sin tener en cuenta la condición de "cuadrados" de las variables:

[texx]c_1^2=\pmb{a}[/texx]  ,  [texx]d_1^2=\pmb{b}[/texx]  (par)  ,  [texx]c_2^2=\pmb{c}[/texx]  ,  [texx]d_2^2=\pmb{d}[/texx]

Tendremos que:

Dados  [texx]a,b,c,d[/texx]  enteros distintos, coprimos 2 á 2, uno de ellos par y  [texx]k_1,k_2,k_3,k_4[/texx]  enteros; entonces:

[texx]a+b=k_1d[/texx]

[texx]a-b=k_3c[/texx]

[texx]c+d=k_2a[/texx]

[texx]c-d=k_4b[/texx]

Y esta situación "supersimétrica" no puede darse con carácter general.

Como son enteros distintos tendrán un orden. Al ser 4, sus permutaciones entre sí darán lugar a 24 combinaciones diferentes:

(1)  [texx]a\,>\,b\,>\,c\,>\,d[/texx]

(2)  [texx]b\,>\,a\,>\,c\,>\,d[/texx]

(3)  [texx]c\,>\,b\,>\,a\,>\,d[/texx]

(4)  [texx]d\,>\,c\,>\,b\,>\,a[/texx]

. . . . . . . Etc.

Y si no me he equivocado en todos los casos hay un  " [texx]k_i[/texx] "  que resulta ser un racional no entero. Los casos más características son éstos:

Tipo (1):  Como  " [texx]a[/texx] "  es mayor que  [texx]c\,\wedge\,d[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c+d=k_2a[/texx] ;  entonces:  [texx]k_2=\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{a}[/texx] .  Y  " [texx]k_2[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 2. Pero como si fuera entero debería ser "par" por ser  " [texx]c+d[/texx] " par. Entonces no queda otra que no sea entero.

Tipo (2):  Como  " [texx]b[/texx] "  es mayor que  [texx]c\,\wedge\,d[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c-d=k_4b[/texx] ;  entonces:  [texx]k_4=\dfrac{c}{b}-\dfrac{d}{b}[/texx] .  Y  " [texx]k_4[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 1. 

Tipo (3):  Como  " [texx]c[/texx] "  es mayor que  [texx]a\,\wedge\,b[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]a-b=k_3c[/texx] ;  entonces:  [texx]k_3=\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}[/texx] .  Y  " [texx]k_3[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 1 (negativo).

Tipo (4):  Como  " [texx]d[/texx] "  es mayor que  [texx]a\,\wedge\,b[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]a+b=k_1d[/texx]   ;  entonces:  [texx]k_1=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}[/texx] .  Y  " [texx]k_1[/texx] "  debe ser igual á 1 si es entero porque debe ser menor que 2 y puede serlo. Pero entonces, como también:  [texx]c-d=k_4b[/texx]   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   [texx]d=c-k_4b[/texx]  -y-  " [texx]k_4[/texx] "  es negativo porque  [texx]c\,<\,d[/texx] ;  entonces si  [texx]k_4[/texx]  es mayor que 1, tendríamos que  [texx]d=a+b=c+k_4'b[/texx] .  Lo que no puede ocurrir por ser  [texx]c[/texx]  mayor que  " [texx]a[/texx] " .  Luego por fuerza  " [texx]k_4[/texx] "  debe ser menor que 1.

El caso más complejo que me he encontrado (a mi entender) es éste:  " [texx]\pmb{d\,>\,a\,>\,c\,>\,b}[/texx] "   ó   " [texx]\pmb{d\,>\,a\,>\,b\,>\,c}[/texx] "

Al ser del tipo (4) siempre tendremos que:  [texx]d=a+b[/texx] .  Por otra parte tenemos que:  [texx]a-b=k_3c[/texx] .  Luego:  [texx](a+b)+(a-b)=d+k_3c[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]2a=d+k_3c[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]k_3=\dfrac{2a-d}{c}[/texx] .  Pero si  “ [texx]k_3[/texx] “  fuera entero sería ahora impar  [texx]\left({\dfrac{impar}{impar}}\right)[/texx] ,  cuando antes era “par”:  [texx]k_3=\dfrac{a-b}{c}[/texx] .  Luego debe ser también un racional no entero.



Un saludo.

Editado (7 octubre) En base a las indicaciones de Luis Fuentes en post posterior.

Este sí que creo que es el punto final de este tema.
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« Respuesta #7 : 03/10/2018, 07:32:09 am »

Hola

Fernando... contigo no se puede ir uno de vacaciones tranquilo, eh.

[ 11va. ]


Supongo que  [texx]\pmb{z^4=x^2+y^4}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  " [texx]y[/texx] " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx]  " [texx]2[/texx] "  es el asociado de un cuadrado:  " [texx]i^3(1+i)^2[/texx] " .

De esta manera: [texx] z^4=(x+y^{2}i)(x-y^{2}i)[/texx] .  Como ambos factores son coprimos entonces serán cuartas potencias y existirán unos:

[texx](u+vi)^4=(x+y^{2}i)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](u-vi)^4=(x-y^{2}i)[/texx] ,  para  [texx]u,v[/texx]  enteros, coprimos, uno de ellos par.

Si desarrollamos:  [texx](u+vi)^4\,=\,u^4+4u^3vi+6u^uv^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4\,=\,(x+y^{2}i)[/texx] ;  entonces:

[texx]x=u^4+v^4-6u^2v^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]y^2i\,=\,4u^3vi+4uv^3i^3\,=\,4uv(u^2-v^2)i[/texx]

Por lo que:

[texx](u+vi)^4-(u-vi)^4\,=\,8uv(u^2-v^2)i\,=\,2y^2i\,=\,i^3(1+i)^2y^2i\,=\,i^4(1+i)^2y^2\,=\,(1+i)^2y^2[/texx]

Si llamo ahora:  [texx]a=u+vi[/texx]   ,   [texx]b=(1+i)y[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c=u-vi[/texx]

Entonces:  [texx]a^4-c^4=b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^4=b^2+c^4}[/texx] .  Y puedo repetir este procedimiento sin fin. Pudiendo afirmar además que a partir de un momento dado las  [texx]u',v'[/texx]  correspondientes no serán enteras.

A vuelapluma: no me convence. Comienzas con [texx]x,y,z[/texx] enteros puros y usas ese hecho de manera decisiva porque en un momento separas parte real e imaginaria. Sin embargo la nueva terna que obtienes, a priori, es de enteros de Gauss, posiblemente con parte compleja.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 03/10/2018, 08:49:51 am »

Hola

Hola.

Por fin logro esta ansiada demostración (eso creo) sin tener que recurrir al argumento del descenso infinito. Existe. Y una manera puede ser ésta :

Tampoco me convence.  :guiño:

La crítica a vuelapluma es que que tienes que ser más cuidadoso con los "sin pérdida de generalidad".

Concreto un poco más.

Cita
Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha, solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos (uno de ellos par: por ejemplo:  [texx]d_1[/texx] ) ;  puedo establecer también sin perder generalidad que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx] .  Veámoslo:

Aquí escoges al gusto quien va a ser el par.


Cita
Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  [texx]a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d[/texx]  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx] .

Aquí supones que el mayor es [texx]c_1[/texx], que antes has supuesto que es impar. ¿Por qué no podría ser par el mayor?.

Esto es importante más adelante.

Cita
Como:  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ;  entonces:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

(1)  [texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] " .  Así:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_1[/texx] “  entero ó racional.

(2)  [texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]c_2^2+d_2^2[/texx] " .  Así:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_2[/texx] “  entero ó racional.

No entiendo porque dejas abierta la posibilidad de que [texx]k_1[/texx] o [texx]k_2[/texx] sea racional. Precisamente por el argumetno de coprimalidad que exhibes, ese cociente debe de ser entero.
 
Cita
Y observamos lo siguiente:

(1)  [texx]\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Como:  [texx]d_1\,<\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]r^2\,<\,0[/texx] .  Y como:  [texx]c_1\,>\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]s^2\,>\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r^2+s^2=k_1[/texx] .

(2)  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Como:  [texx]c_2\,<\,c_1[/texx] ,  entonces:  [texx]t^2\,<\,0[/texx] .  Y como dijimos antes que:  [texx]s_2\,>\,0[/texx] ,  entonces:  [texx]\dfrac{1}{s^2}\,<\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2[/texx] .

Ahí tienes varias erratas; donde quieres decir mayor y menor que uno pones mayor y menor que cero.

Cita
Analicemos esto último:

Como  [texx]t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2}[/texx]  son menores que  [texx]0[/texx] ,  por fuerza  [texx]k_2\,<\,2[/texx] .  Por otra parte como si  [texx]k_2[/texx]  fuera entero sería "par":  [texx]\left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right)[/texx]  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " [texx]\dfrac{A}{B}[/texx] " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ [texx]d_1^2[/texx] “  de:   [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .

Si estuviese bien ya tenias la contradicción porque como te digo [texx]k_2[/texx] tiene que ser entero. Pero el problema es que ahí usas de forma decisiva la elección de paridad que has hecho que no tiene porque ser compatible con la elección de orden que has hecho.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 03/10/2018, 01:53:51 pm »

Hola,

Fernando... contigo no se puede ir uno de vacaciones tranquilo, eh.


No


A vuelapluma: no me convence. Comienzas con [texx]x,y,z[/texx] enteros puros y usas ese hecho de manera decisiva porque en un momento separas parte real e imaginaria. Sin embargo la nueva terna que obtienes, a priori, es de enteros de Gauss, posiblemente con parte compleja.

La idea es: Efectivamente, termino con ternas de enteros de Gauss pero que tienen una parte entera pura también:  [texx]u,v[/texx] .  Puesto que puedo repetir el procedimiento sin fin, como he demostrado, las próximas  [texx]u',v'[/texx]  serán más pequeñas y así sucesivamente hasta que por fuerza sean menores que 1 y dejen de ser enteras.

Añadido: Ahora con más calma: Es cierto lo que dices. Tengo que revisarlo también. Todo esto me ha cogido por sorpresa

Añadido (4 octubre):

AQUÍ PROPONGO UNA ALTERNATIVA PARA FINALIZAR LA DEMOSTRACIÓN:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105944.msg419026#msg419026

Y por analogía, cambio también el final de esta demostración relacionada pero del caso n = 3 Aquí:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105947.msg419041#msg419041



Por fin logro esta ansiada demostración (eso creo) sin tener que recurrir al argumento del descenso infinito. Existe. Y una manera puede ser ésta :

Tampoco me convence.  :guiño:

Me has cogido con el paso cambiado. Había dado por terminado estos temas y pasado de la aritmética al álgebra (estaba estudiando sobre cuestiones de álgebra abstracta). Me tomo un breve respiro, cambio el chip y veo si puedo subsanar los puntos débiles a los que haces referencia en esta demostración. ¡Qué lastima volver para atrás!, lo había dado como cerrado.


Un saludo,
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« Respuesta #10 : 07/10/2018, 01:32:56 pm »

Hola,


Cita
Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha, solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos (uno de ellos par: por ejemplo:  [texx]d_1[/texx] ) ;  puedo establecer también sin perder generalidad que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx] .  Veámoslo:

Aquí escoges al gusto quien va a ser el par

Está incorrectamente expresado por mi parte.  " [texx]d_1[/texx] "  debe ser el término par sí ó sí porque es el único factor común entre  [texx]b[/texx]  y  [texx]d[/texx] ;  los 2 únicos elementos pares de la terna  [texx]a,b,c,d[/texx] .  Si te refieres a porqué escojo pares á  " [texx]b\,\wedge\,d[/texx] "  de esa terna, es porque da igual que hubiera escogido á  " [texx]a\,\wedge\,c[/texx] "  pares. La relación:  [texx]a\cdot b=c\cdot d[/texx]  de la que estoy partiendo es completamente simétrica respecto de quienes son pares; salvo que lo sea uno de cada pareja.

Aquí supones que el mayor es [texx]c_1[/texx], que antes has supuesto que es impar. ¿Por qué no podría ser par el mayor?.

Escojo  [texx]c_1[/texx]  el factor más grande porque pertenece a  " [texx]c[/texx] "  el término mayor. Igual podría haber escogido á  " [texx]c_2[/texx] " y sería todo igual. Pero es "menos lógico" puesto que el factor  [texx]c_2[/texx]  es compartido con  " [texx]b[/texx] " ,  que es el elemento más pequeño de la terna  [texx]a,b,c,d[/texx] .

Cita
Como:  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ;  entonces:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

(1)  [texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] " .  Así:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_1[/texx] “  entero ó racional.

(2)  [texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]c_2^2+d_2^2[/texx] " .  Así:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_2[/texx] “  entero ó racional.

No entiendo porque dejas abierta la posibilidad de que [texx]k_1[/texx] o [texx]k_2[/texx] sea racional. Precisamente por el argumetno de coprimalidad que exhibes, ese cociente debe de ser entero.

Ok.


Cita
Y observamos lo siguiente:

(1)  [texx]\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Como:  [texx]d_1\,<\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]r^2\,<\,0[/texx] .  Y como:  [texx]c_1\,>\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]s^2\,>\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r^2+s^2=k_1[/texx] .

(2)  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Como:  [texx]c_2\,<\,c_1[/texx] ,  entonces:  [texx]t^2\,<\,0[/texx] .  Y como dijimos antes que:  [texx]s_2\,>\,0[/texx] ,  entonces:  [texx]\dfrac{1}{s^2}\,<\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2[/texx] .

Ahí tienes varias erratas; donde quieres decir mayor y menor que uno pones mayor y menor que cero.

Ok, lo corrijo.


Un saludo,
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« Respuesta #11 : 07/10/2018, 04:03:45 pm »

Hola

Está incorrectamente expresado por mi parte.  " [texx]d_1[/texx] "  debe ser el término par sí ó sí porque es el único factor común entre  [texx]b[/texx]  y  [texx]d[/texx] ;  los 2 únicos elementos pares de la terna  [texx]a,b,c,d[/texx] .  Si te refieres a porqué escojo pares á  " [texx]b\,\wedge\,d[/texx] "  de esa terna, es porque da igual que hubiera escogido á  " [texx]a\,\wedge\,c[/texx] "  pares. La relación:  [texx]a\cdot b=c\cdot d[/texx]  de la que estoy partiendo es completamente simétrica respecto de quienes son pares; salvo que lo sea uno de cada pareja.

Pero estamos en las mismas y, ¿por qué han de ser [texx]b[/texx] y [texx]d[/texx] los pares y no [texx]a[/texx] y [texx]c.[/texx]?

Por resumir si decides que el orden es:

[texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx]

La clave es que justifiques porque necesariamente:

[texx]k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}[/texx]

es par. Eso supone que el numerador sea par y el denominador impar. Eso supone que el par necesariamente sea [texx]d_1[/texx]. ¿Por qué no puede ser [texx]c_1[/texx]?.

Saludos.
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« Respuesta #12 : 11/10/2018, 05:57:55 pm »

Hola, esta es una posible solución:


Parto de  [texx]ab=cd[/texx] ,  uno de cada pareja par. Luego las posibilidades son:

1)  [texx]a,c[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]c_1[/texx] "  par.

2)  [texx]a,d[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]d_2[/texx] "  par.

3)  [texx]b,c[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]c_2[/texx] "  par.

4)  [texx]b,d[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]d_1[/texx] "  par.

En el cuadro que pongo abajo, en cada caso me encuentro con 4 ecuaciones del tipo:  [texx]k_n=\dfrac{A^2\pm{}B^2}{C^2}[/texx]  y se pueden dar estas 3 situaciones:

a)  Cuando  [texx]C[/texx]  es par y  " [texx]A^2\pmb{+}B^2[/texx] " : Entonces  [texx]C[/texx]  es par de magnitud 4; pero como entonces a su vez  [texx]A\,\wedge\,B[/texx]  son impares cuadrados que se suman ([texx]2p-1,2q-1\,\Rightarrow\,{4p^2-4p+4q^2-4q+2}[/texx]); su paridad será de magnitud 2. Esto hace que la razón sea del tipo  [texx]\dfrac{impar}{par}[/texx]  y por tanto  [texx]k_n[/texx]  racional. Esto soluciona los casos 1) y 2) y responde a lo que me planteaba Luis Fuentes en el post anterior.

b)  El caso 4) :  Es el que está resuelto en la demostración primera. Como  " [texx]d_1[/texx] "  es el factor par, esto hace que  " [texx]k_2[/texx] "  sea par y como mínimo  " [texx]2[/texx] " ;  cuando debe ser menor que 2.

c)  El caso 3) :  Este ha sido el más complicado y una posible solución es como sigue:

    c.1)  Tenemos ahora que:  [texx]k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,impar)}{(=\,impar)}[/texx] .  Como:  [texx]k_2=t^2+\dfrac{1}{s^2}[/texx]   -y-   " [texx]t^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]\dfrac{1}{s^2}[/texx] "  dijimos que eran menores que 1. Para que  " [texx]k_2[/texx] "  sea entero debe ser 1.

    c.2)  Conocemos también por la primera demostración que:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .  Luego ahora:  [texx]d_2^2=d_1^2+c_2^2[/texx] .  Como por c.1) :  [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Si despejo  [texx]d_2^2[/texx]  y lo sustituyo en la primera ecuación tendré que:  [texx]c_1^2=d_1^2+2c_2^2[/texx] .  Pero como también tenía que:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] .  Significa entonces que:  [texx]k_1=2[/texx] .

    c.3)  Por c.2) sabemos que  [texx]c_1^2=d_1^2+2c_2^2[/texx] .  Como conocemos que  [texx]k_2=1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Si sustituimos este  " [texx]c_1[/texx] " en la primera fórmula, tendremos que:  [texx]c_2^2+d_1^2=d_2^2[/texx] .  Luego:  [texx]d_1^2=d_2^2-c_2^2[/texx] .  Por lo que:  [texx]k_4=1[/texx] .

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] .  Hagámoslo:  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]\dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  [texx]d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Analicemos esto último; el factor:  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " [texx]d_2^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " .  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  no divide á  " [texx]d_2^2[/texx] " ,  pues da exactamente:  [texx]\dfrac{1}{2}[/texx] .  Y no divide tampoco á  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " ,  pues divide á  [texx]d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx]  y no divide ni á  [texx]d_1^2-c_1^2[/texx]  (con el que es coprimo), ni á  [texx]c_2^2[/texx] ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] "  para  [texx]k_1,k_2,k_4[/texx]  enteros.         



[texx]\begin{matrix}
\color{brown}\pmb{(\,k_n\,)}  & &  \color{blue}1)  &  &  \color{blue}2)  &  &  &  \color{blue}3)  &  \color{blue}4)\\
 &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
\hline
\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}  & &  &  &  \color{red}\dfrac{impar}{par}  &  &  &  \color{red}c.4) \\
\hline
  \color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}  & &  \color{red}\dfrac{impar}{par}  &  &  &  &  &  \color{red}c.4)  &  \color{red}Menor\,que\,2 \\
\hline
\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}  & &  &  &  &  &  &  &\\
\hline
 \color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2} & &  &  &  &  &  &  \color{red}c.4)  & \\
\hline
\end{matrix}[/texx]




Un saludo,


PD. No sé cómo se hacen las líneas verticales. ¿Alguien sabe?
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« Respuesta #13 : 16/10/2018, 02:49:35 pm »

Hola

 Este razonamiento está mal.

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] .  Hagámoslo:  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]\dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  [texx]d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Analicemos esto último; el factor:  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " [texx]d_2^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " .  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  no divide á  " [texx]d_2^2[/texx] " ,  pues da exactamente:  [texx]\dfrac{1}{2}[/texx] .  Y no divide tampoco á  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " ,  pues divide á  [texx]d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx]  y no divide ni á  [texx]d_1^2-c_1^2[/texx]  (con el que es coprimo), ni á  [texx]c_2^2[/texx] ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] "  para  [texx]k_1,k_2,k_4[/texx]  enteros.         

La frase en rojo indica que si bien [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] no divide a [texx]d_2^2[/texx] , precisamente por ser el cociente [texx]1/2[/texx] tienen muchos factores comunes. De manera que puedes simplificar la ecuación eliminado [texx]d_2^2[/texx] a la izquierda y sustituyendo  [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] por [texx]2[/texx] a la derecha:

[texx](c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=2\,c_1^2d_1^2[/texx]

y ... adiós al resto del argumento.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 16/10/2018, 03:32:32 pm »

Hola, gracias por contestar.


Este razonamiento está mal.

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] .  Hagámoslo:  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]\dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  [texx]d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Analicemos esto último; el factor:  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " [texx]d_2^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " .  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  no divide á  " [texx]d_2^2[/texx] " ,  pues da exactamente:  [texx]\dfrac{1}{2}[/texx] .  Y no divide tampoco á  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " ,  pues divide á  [texx]d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx]  y no divide ni á  [texx]d_1^2-c_1^2[/texx]  (con el que es coprimo), ni á  [texx]c_2^2[/texx] ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] "  para  [texx]k_1,k_2,k_4[/texx]  enteros.         

La frase en rojo indica que si bien [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] no divide a [texx]d_2^2[/texx] , precisamente por ser el cociente [texx]1/2[/texx] tienen muchos factores comunes. De manera que puedes simplificar la ecuación eliminado [texx]d_2^2[/texx] a la izquierda y sustituyendo  [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] por [texx]2[/texx] a la derecha:

[texx](c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=2\,c_1^2d_1^2[/texx]


Cierto.


y ... adiós al resto del argumento.

¡Por Dios, qué descortesía!  :triste:   Bueno ya buscaré darle otra "entrada" de nuevo
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« Respuesta #15 : 16/10/2018, 04:48:04 pm »

Hola

PD. No sé cómo se hacen las líneas verticales. ¿Alguien sabe?

Con el ambiente [texx]\textrm{matrix}[/texx] no es posible lograrlo (ver sección 4.1 de la documentación de [texx]\textrm{amsmath}[/texx]), pero sí con el ambiente [texx]\textrm{array}[/texx], a través de la especificación del comando [texx]\textrm{|}[/texx] (o incluso [texx]\textrm{:}[/texx] si se quieren líneas verticales punteadas).

Spoiler: Resultado (click para mostrar u ocultar)

Saludos
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Fernando Moreno
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« Respuesta #16 : 16/10/2018, 05:00:35 pm »

Hola,

Guauuu ¡Muchas gracias! Muy amable. Perfectamente explicado. Ya lo sé para siempre. Además me guardo el enlace.

Saludos cordiales,
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