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Autor Tema: El caso n=4. (demostración alternativa II)  (Leído 18978 veces)
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« : 26/01/2015, 05:51:44 am »

Hola el_manco.


Gracias por tus consejos. Si saco algo en claro de aquí la mitad es tuyo, como todo el mundo ha podido comprobar. Prefiero entonces reescribir toda la demostración de manera autocontenida, como me indicas y razonar a partir de ahí.


Propongo que, para:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,\,mcd(x,y,z)=1\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,x\in{\left\{{Nos.\,\,Pares}\right\}}[/texx] ;  si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  entonces:  [texx]xyz\,=\,\,\infty[/texx] .


(1)    [texx]x^4=z^4-y^4\quad\wedge\quad x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

    a) Como:  [texx]x\,,\,\,z^2+y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-y^2[/texx]  son pares.

Entonces, de entrada:  [texx]x=2u[/texx]

    b) Demostración que  [texx]z^2+y^2[/texx] es par de la forma: 2v .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

    [texx]z^2+y^2=2(2b^2-2b+2a^2-2a+1)[/texx]

    c) Demostración que  [texx]z^2-y^2[/texx]  es par, como mínimo, de la forma:  [texx]8w[/texx] .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

    [texx]z^2-y^2=4(b^2-a^2-b+a)[/texx]

E independientemente de la paridad de  [texx]a\vee b[/texx] ,  la suma de las cantidades contenidas en el paréntesis será siempre par.


De esta manera:

(2)    [texx]16u^4=2v\cdot{8w}\quad\wedge\quad u^4=v\cdot{w}[/texx]

    a)  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,\,w[/texx]  fueran coprimos deberán ser entonces a su vez potencias cuartas.

Demostración:  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran un factor común, éste lo sería también de  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] ,  lo que no es posible al ser éstos comprimos.

Veámoslo:

    [texx]z^2+y^2=2v[/texx]

    [texx]z^2-y^2=8w[/texx]

    [texx]z^2=2v-y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,y^2=z^2-8w[/texx]

    [texx]z^2=v+4w[/texx]

    [texx]y^2=2v-z^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2=8w+y^2[/texx]

    [texx]y^2=v-4w[/texx]

Si:  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran por ejemplo el factor común  "[texx]l[/texx]" ,  de tal manera que:  [texx]v=l\cdot{n}\,\,\,\wedge\,\,\,w=l\cdot{m}[/texx] ;  entonces:  [texx]z^2=ln+4lm\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=ln-4lm[/texx] .  Luego:  [texx]z^2=l(n+4m)\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=l(n-4m)[/texx] ,  lo que no es posible al ser  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  coprimos, pues lo son  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] .

Tenemos entonces que:  [texx]v=p^4\,\,\,\wedge\,\,\,w=q^4[/texx] .

    b) Como sabemos ahora que:  [texx]\pmb{y^2=p^4-4q^4}\,\,\,\wedge\,\,\,\pmb{z^2=p^4+4q^4}[/texx] ,  y que además:  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx] ;  podemos despejar  " [texx]x[/texx] "  en función de  [texx]p\,\,\,\wedge\,\,\,q[/texx] :

    [texx]x^4=(p^4+4q^4)^2-(p^4-4q^4)^2[/texx]

    [texx]\pmb{x=2pq}[/texx]

Donde:  [texx]p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\,\wedge\,\,\,p[/texx]  es impar, pues es la única manera para que se cumpla que  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  sean impares.

    c) Demostremos ahora que  " [texx]q[/texx] " es, a su vez, par.

Tenemos que:

    [texx]z^2=p^4+4q^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q^4=\dfrac{z^2-p^4}{4}}[/texx]

Si:  [texx]z=2b-1\,\,\,\wedge\,\,\,p=2c-1[/texx]

Entonces:

    [texx]q^4=-4c^4+8c^3-6c^2+b^2+2c-b[/texx]

Y como vemos, todos los términos de la suma son pares menos  [texx]b^2\,\,\,\wedge\,\,\,-b[/texx] .  De manera que sea  "[texx]b[/texx]" par o impar, sumado al resto de términos dará siempre lugar a un número par.


(3)    Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx] ;  entonces:

    [texx]y^2=(p^2)^{2}-(2q^2)^{2}[/texx]

Y como:  [texx]mcd(2q^2,\,y,\,p^2)=1[/texx] ;  estamos ante una terna pitagórica que sabemos que cumplirá que:

    [texx](2q^2,\,y,\,p^2)\,\in\,\,{(2p_1q_1\,,\,p_1^{2}-q_1^{2}\,,\,p_1^{2}+q_1^{2})[/texx]

De esta forma:

    [texx]y\,=\,p_1^2-q_1^2\quad\wedge\quad p^2\,=\,p_1^2+q_1^2 [/texx]

    a) Si sutituimos ahora en:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx]  y despejamos  " [texx]q[/texx] " ,  obtendremos que:  [texx]q^2\,=\,p_1q_1[/texx] .  Conociendo  [texx]p^2\,\,\wedge\,\,q^2[/texx]  en función de  [texx]p_1\,\,\wedge\,\,q_1[/texx] ,  sólo nos queda relacionar  [texx]p_1\,\,\wedge\,\,q_1[/texx]  con  [texx]p_{1+k}\,\,\wedge\,\,q_{1+k}[/texx] .

    b) Dado que:  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ;  sustituyendo, obtenemos que:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1^2+q_1^2)^4[/texx] .  Pero como esto es igual que:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_1^2+q_1^2)^2}\right)^2[/texx]  y además:  [texx]mcd\left({x\,,\,z\,,\,(p_1^2+q_1^2)^2}\right)\,=\,1[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_1^2+q_1^2)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] ;  y entonces:  [texx](p_1^2+q_1^2)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] ;  lo que representa a su vez la terna pitagórica:  [texx]\left({\,q_2\,,\,p_2\,,\,p_1^2+q_1^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_3q_3\,,\,p_3^2-q_3^2\,,\,p_3^2+q_3^2\right)}[/texx] .  Y esto significará que:  [texx]p_1^2+q_1^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .

    c) Llegados a este punto, basta con ir sustituyendo otra vez en:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_3^2+q_3^2)^2}\right)^2[/texx] ,  para obtener:  [texx]p_3^2+q_3^2\,=\,p_5^2+q_5^2[/texx]  y continuar así indefinidamente.



(4)    Pero como acabamos de ver:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_2\,=\,2\,p_3\,q_3[/texx] .  De lo que se deduce por iteración que:  [texx]q_3\,=\,2\,p_4\,q_4[/texx] ,  y así indefinidamente:  [texx]q_n\,=\,2\,p_{n+1}\,q_{n+1}[/texx] .
   

(4)    Por otra parte sabemos que:  [texx]x\,=\,2pq\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,x^2\,=\,4p^2q^2[/texx] .

Y que, como acabamos de ver arriba, también:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2[/texx] . Que por reiteración del proceso señalado, será:

    [texx]x\,=\,2pq\,=\,2\,p_2\,q_2\,=\,2\,p_4\,q_4\,=\,\,\,...\,\,\,=\,\,2\,p_{2n}\,q_{2n}[/texx]

De la misma forma para  [texx]x^2[/texx] ,  conociendo el valor de  [texx]p^2\,\,\,\wedge\,\,\,q^2[/texx] , será:

    [texx]x^2\,=\,4p^2q^2\,=\,4\,(p_1^2+q_1^2)p_1q_1\,=\,4\,(p_3^2+q_3^2)p_3q_3\,=\,\,\,...\,\,\,=\,\,4(p_{2n-1}^2+q_{2n-1}^2)p_{2n-1}q_{2n-1}[/texx]


(5)    Sólo nos queda ya demostrar que los factores  [texx]p_n\,\,\,\wedge\,\,\,q_n[/texx]  son diferentes de los factores  [texx]p_{n+1}\,\,\,\wedge\,\,\,q_{n+1}[/texx] .

Tenemos -ver más arriba-, que:

    [texx](p_n^2+q_n^2)^2\,=\,p_{n+1}^2+q_{n+1}^2[/texx]

Es inmediato que si:  [texx]p_{n+1}\,=\,p_n\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_{n+1}\,=\,q_n[/texx] ;  entonces:  [texx](p_n^2+q_n^2)^2\,>\,p_{n}^2+q_{n}^2[/texx] .  Luego  [texx]p_{n+1}\,\,\,\,\vee\,\,\,\,q_{n+1}[/texx]  deben ser mayores que  [texx]p_{n}\,\,\,\,\vee\,\,\,\,q_{n}[/texx] .


(5)    Al menos  " [texx]x[/texx] "  tiene infinitos factores.


Un saludo,


PD. Pues el caso es que releyendo ahora lo que he puesto no acabo de ver lo de las infinitas factorizaciones si fuera posible que por un lado todos los  [texx]p_{2n-1}[/texx]  sean iguales y que por otro lo sean a su vez todos los  [texx]p_{2n}[/texx] . Lo siento, son las cosas "del directo", que por otra parte tampoco es nada malo, siendo ésta una de las características que puede aportar un foro a diferencia de otros formatos. Sdos,

PD.(2) Creo que ahora sí. Ver las correcciones en rojo .  Disculpas por si a alguien le molestan estas cosas.
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« Respuesta #1 : 27/01/2015, 06:36:35 am »

Hola,

Paso a limpio lo de ayer. Un saludo,


Propongo que, para:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,\,mcd(x,y,z)=1\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,x\in{\left\{{Nos.\,\,Pares}\right\}}[/texx] ;  si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  entonces:  [texx]xyz\,=\,\,\pmb{\infty}[/texx] .


(1)    [texx]x^4=z^4-y^4\quad\wedge\quad x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

    a) Como:  [texx]x\,,\,\,z^2+y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-y^2[/texx]  son pares.

Entonces, de entrada:  [texx]x=2u[/texx]

    b) Demostración que  [texx]z^2+y^2[/texx] es par de la forma: 2v .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

    [texx]z^2+y^2=2(2b^2-2b+2a^2-2a+1)[/texx]

    c) Demostración que  [texx]z^2-y^2[/texx]  es par, como mínimo, de la forma:  [texx]8w[/texx] .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

    [texx]z^2-y^2=4(b^2-a^2-b+a)[/texx]

E independientemente de la paridad de  [texx]a\vee b[/texx] ,  la suma de las cantidades contenidas en el paréntesis será siempre par.


De esta manera:

(2)    [texx]16u^4=2v\cdot{8w}\quad\wedge\quad u^4=v\cdot{w}[/texx]

    a)  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,\,w[/texx]  fueran coprimos deberán ser entonces a su vez potencias cuartas.

Demostración:  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran un factor común, éste lo sería también de  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] ,  lo que no es posible al ser éstos comprimos.

Veámoslo:

    [texx]z^2+y^2=2v[/texx]

    [texx]z^2-y^2=8w[/texx]

    [texx]z^2=2v-y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,y^2=z^2-8w[/texx]

    [texx]z^2=v+4w[/texx]

    [texx]y^2=2v-z^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2=8w+y^2[/texx]

    [texx]y^2=v-4w[/texx]

Si:  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran por ejemplo el factor común  "[texx]l[/texx]" ,  de tal manera que:  [texx]v=l\cdot{n}\,\,\,\wedge\,\,\,w=l\cdot{m}[/texx] ;  entonces:  [texx]z^2=ln+4lm\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=ln-4lm[/texx] .  Luego:  [texx]z^2=l(n+4m)\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=l(n-4m)[/texx] ,  lo que no es posible al ser  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  coprimos, pues lo son  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] .

Tenemos entonces que:  [texx]v=p^4\,\,\,\wedge\,\,\,w=q^4[/texx] .

    b) Como sabemos ahora que:  [texx]\pmb{y^2=p^4-4q^4}\,\,\,\wedge\,\,\,\pmb{z^2=p^4+4q^4}[/texx] ,  y que además:  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx] ;  podemos despejar  " [texx]x[/texx] "  en función de  [texx]p\,\,\,\wedge\,\,\,q[/texx] :

    [texx]x^4=(p^4+4q^4)^2-(p^4-4q^4)^2[/texx]

    [texx]\pmb{x=2pq}[/texx]

Donde:  [texx]p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\,\wedge\,\,\,p[/texx]  es impar, pues es la única manera para que se cumpla que  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  sean impares.

    c) Demostremos ahora que  " [texx]q[/texx] " es, a su vez, par.

Tenemos que:

    [texx]z^2=p^4+4q^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q^4=\dfrac{z^2-p^4}{4}}[/texx]

Si:  [texx]z=2b-1\,\,\,\wedge\,\,\,p=2c-1[/texx]

Entonces:

    [texx]q^4=-4c^4+8c^3-6c^2+b^2+2c-b[/texx]

Y como vemos, todos los términos de la suma son pares menos  [texx]b^2\,\,\,\wedge\,\,\,-b[/texx] .  De manera que sea  "[texx]b[/texx]" par o impar, sumado al resto de términos dará siempre lugar a un número par.


(3)    Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx] ;  entonces:

    [texx]y^2=(p^2)^{2}-(2q^2)^{2}[/texx]

Y como:  [texx]mcd(2q^2,\,y,\,p^2)=1[/texx] ;  estamos ante una terna pitagórica que sabemos que cumplirá que:

    [texx](2q^2,\,y,\,p^2)\,\in\,\,{(2p_1q_1\,,\,p_1^{2}-q_1^{2}\,,\,p_1^{2}+q_1^{2})[/texx]

De esta forma:

    [texx]q^2\,=\,p_1q_1\quad\wedge\quad y\,=\,p_1^2-q_1^2\quad\wedge\quad p^2\,=\,p_1^2+q_1^2[/texx]

Conociendo  [texx]p^2\,\,\wedge\,\,q^2[/texx]  en función de  [texx]p_1\,\,\wedge\,\,q_1[/texx] ,  sólo nos queda relacionar  [texx]p_1\,\,\wedge\,\,q_1[/texx]  con  [texx]p_{1+k}\,\,\wedge\,\,q_{1+k}[/texx] .

Dado que:  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ;  sustituyendo, obtenemos que:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1^2+q_1^2)^4[/texx] .  Pero como esto es igual que:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_1^2+q_1^2)^2}\right)^2[/texx]  y además:  [texx]mcd\left({x\,,\,z\,,\,(p_1^2+q_1^2)^2}\right)\,=\,1[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_1^2+q_1^2)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] ;  y entonces:  [texx](p_1^2+q_1^2)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] ;  lo que representa a su vez la terna pitagórica:  [texx]\left({\,q_2\,,\,p_2\,,\,p_1^2+q_1^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_3q_3\,,\,p_3^2-q_3^2\,,\,p_3^2+q_3^2\right)}[/texx] ;  por lo que:  [texx]p_1^2+q_1^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] ,  y el proceso se podrá repetir sin fin sustituyendo en:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_3^2+q_3^2)^4[/texx] .


(4)    Pero como acabamos de ver:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_2\,=\,2\,p_3\,q_3[/texx] .  De lo que se deduce por iteración que:  [texx]x\,=\,2\,p_4\,q_4\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_4\,=\,2\,p_5\,q_5[/texx] ,  y así indefinidamente:  [texx]x\,=\,2\,p_{2n}\,q_{2n}\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_{2n}\,=\,2\,p_{2n+1}\,q_{2n+1}[/texx] .


(5)    Al menos  " [texx]x[/texx] "  tiene infinitos factores.


Un saludo,
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« Respuesta #2 : 27/01/2015, 06:10:09 pm »

Hola,

He detectado 2 errores en la demostración que pongo arriba. Uno de ellos, subsanable, es que no es:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1^2+q_1^2)^4[/texx] ;  sino:  [texx]x^2+z^2\,=\,\pmb{(p_1+q_1)}^4[/texx] .  Y el otro, más troncal, es que cuando me refiero dentro del punto (3) a que el proceso puede repetirse sin fin, en realidad nada está impidiendo que todos los  [texx]p_{2n}\,,\,q_{2n}[/texx]  sean iguales entre sí y que todos los  [texx]p_{2n-1}\,,\,q_{2n-1}[/texx]  también lo sean; con lo cual ni habría infinitas factorizaciones ni infinitos factores.

Un saludo,


PD. Seguramente he sido el último en enterarme, pero imagino que en esto pasa un poco como en las infidelidades..    :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #3 : 29/01/2015, 07:39:16 pm »

Hola,

Creo que ya lo tengo. Este sería el final de la demostración:


(3)    Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx] ;  entonces:

    [texx]y^2=(p^2)^{2}-(2q^2)^{2}[/texx]

Y como:  [texx]mcd(2q^2,\,y,\,p^2)=1[/texx] ;  estamos ante una terna pitagórica que sabemos que cumplirá que:

    [texx](2q^2,\,y,\,p^2)\,\in\,\,{(2p_1q_1\,,\,p_1^{2}-q_1^{2}\,,\,p_1^{2}+q_1^{2})[/texx]

Así:

    [texx]q^2\,=\,p_1q_1\quad\wedge\quad y\,=\,p_1^2-q_1^2\quad\wedge\quad p^2\,=\,p_1^2+q_1^2 [/texx]

    a)    De esta manera, dado que:  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ;  sustituyendo, obtenemos que:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1+q_1)^4[/texx] .  Pero como esto es igual que:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_1+q_1)^2}\right)^2[/texx]  y además:  [texx]mcd\left({x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,=\,1[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] ;  y entonces:  [texx](p_1+q_1)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] ;  lo que representa a su vez la terna pitagórica:  [texx]\left({\,q_2\,,\,p_2\,,\,p_1+q_1}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_3q_3\,,\,p_3^2-q_3^2\,,\,p_3^2+q_3^2\right)}[/texx] ;  por lo que:  [texx]p_1+q_1\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .

    b)    Como:  [texx](p_1\,,\,q_1)\,\neq{(p_2\,,\,q_2)}\neq{(p_3\,,\,q_3)}[/texx] ,  y si sustituyo en:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_3+q_3)^2}\right)^2[/texx] ,  y lo hago así sucesivamente, obtendré:  [texx](p_5\,,\,q_5)\,,\,\,(p_7\,,\,q_7)\,,\,\,(p_9\,,\,q_9)\,..\,,[/texx] diferentes ;  tendré también sucesivos distintos:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2\,=\,2\,p_4\,q_4\,=\,2\,p_6\,q_6\,..[/texx]


(4)   Entonces:  " [texx]\pmb{x}[/texx] "  tiene infinitas posibles factorizaciones. Y esto sólo es posible si los sucesivos:  [texx](p_2\,,\,q_2)\,,\,(p_4\,,\,q_4)[/texx] , etc., son al menos racionales.



Me gustaría saber si la veis correcta.



PD. Disculpad si soy muy intenso. Un saludo,
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 30/01/2015, 07:25:51 am »

Hola

 Si te fijas he separado los mensajes en un nuevo hilo a partir de tu reescritura, para hacerlo más cómodo de seguir.

(3)    Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx] ;  entonces:

    [texx]y^2=(p^2)^{2}-(2q^2)^{2}[/texx]

Y como:  [texx]mcd(2q^2,\,y,\,p^2)=1[/texx] ;  estamos ante una terna pitagórica que sabemos que cumplirá que:

    [texx](2q^2,\,y,\,p^2)\,\in\,\,{(2p_1q_1\,,\,p_1^{2}-q_1^{2}\,,\,p_1^{2}+q_1^{2})[/texx]

Así:

    [texx]q^2\,=\,p_1q_1\quad\wedge\quad y\,=\,p_1^2-q_1^2\quad\wedge\quad p^2\,=\,p_1^2+q_1^2 [/texx]

    a)    De esta manera, dado que:  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ;  sustituyendo, obtenemos que:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1+q_1)^4[/texx] .  Pero como esto es igual que:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_1+q_1)^2}\right)^2[/texx]  y además:  [texx]mcd\left({x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,=\,1[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] ;  y entonces:  [texx](p_1+q_1)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] ;  lo que representa a su vez la terna pitagórica:  [texx]\left({\,q_2\,,\,p_2\,,\,p_1+q_1}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_3q_3\,,\,p_3^2-q_3^2\,,\,p_3^2+q_3^2\right)}[/texx] ;  por lo que:  [texx]p_1+q_1\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .

    b)    Como:  [texx](p_1\,,\,q_1)\,\neq{(p_2\,,\,q_2)}\neq{(p_3\,,\,q_3)}[/texx] ,  y si sustituyo en:  [texx]\color{red}x^2+z^2\,=\,\left({(p_3+q_3)^2}\right)^2\color{black}[/texx] ,  y lo hago así sucesivamente, obtendré:  [texx](p_5\,,\,q_5)\,,\,\,(p_7\,,\,q_7)\,,\,\,(p_9\,,\,q_9)\,..\,,[/texx] diferentes ;  tendré también sucesivos distintos:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2\,=\,2\,p_4\,q_4\,=\,2\,p_6\,q_6\,..[/texx]

 Pero en lo que he marcado en rojo, no sería:

[texx] x^2+z^2=(p_1+q_1)^4=(p_3^2+q_3^2)^4[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 30/01/2015, 06:31:08 pm »

Hola el_manco, gracias por contestar:

Pero en lo que he marcado en rojo, no sería:

[texx] x^2+z^2=(p_1+q_1)^4=(p_3^2+q_3^2)^4[/texx]

Tienes razón, es hasta evidente pero no lo vi.


Un saludo,
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« Respuesta #6 : 31/01/2015, 08:33:13 am »

Hola,


A ver ahora   :sonrisa:  :


(3)    Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx] ;  entonces:

    [texx]y^2=(p^2)^{2}-(2q^2)^{2}[/texx]

Y como:  [texx]mcd(2q^2,\,y,\,p^2)=1[/texx] ;  estamos ante una terna pitagórica que sabemos que cumplirá que:

    [texx](2q^2,\,y,\,p^2)\,\in\,\,{(2p_1q_1\,,\,p_1^{2}-q_1^{2}\,,\,p_1^{2}+q_1^{2})[/texx]

Así:

    [texx]q^2\,=\,p_1q_1\quad\wedge\quad y\,=\,p_1^2-q_1^2\quad\wedge\quad p^2\,=\,p_1^2+q_1^2 [/texx]

    a)    De esta manera, dado que:  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ;  sustituyendo, obtenemos que:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1+q_1)^4[/texx] .  Pero como esto es igual que:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_1+q_1)^2}\right)^2[/texx]  y además:  [texx]mcd\left({x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,=\,1[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] ;  y entonces:  [texx](p_1+q_1)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] .

    b)   Como yo sé por:  [texx]q^2\,=\,p_1q_1[/texx] ,  que  [texx]p_1\,\,\,\wedge\,\,\,q_1[/texx]  son cuadrados, entonces:  [texx]p_1\,=\,p_a^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_1\,=\,q_a^2\quad\wedge\quad (p_a^2+q_a^2)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] .  Y si yo llamo ahora "A" a:  [texx]p_a^2+q_a^2[/texx] ,  tendré:  [texx]A^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] ;  de tal forma que:  [texx]mcd(q_2\,,\,p_2\,,\,A)\,=\,1[/texx] . Por lo que existirá una terna pitagórica que cumpla:  [texx]\left({\,q_2\,,\,p_2\,,\,A}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_aq_a\,,\,p_a^2-q_a^2\,,\,p_a^2+q_a^2\right)}[/texx] .

    c)    Como:  [texx]q^2\,=\,p_1q_1\,=\,p_a^2\,q_a^2[/texx] ,  entonces:  [texx]q\,=\,p_a\,q_a[/texx] .  Y como acabamos de ver arriba que:  [texx]q_2\,=\,2p_a\,q_a[/texx] ,  entonces:  [texx]q_2\,=\,2\,q[/texx] .  Por otra parte, del punto a) tenemos que:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2[/texx] ;  luego:  [texx]x\,=\,4\,p_2\,q[/texx] .

    d)    Pero yo sé que:  [texx]x\,=\,2\,p\,q[/texx] .  Y entonces tendré que:  [texx]2\,p\,q\,=\,4\,p_2\,q\quad\wedge\quad \pmb{p\,=\,2\,p_2}[/texx] ;  lo que es una contradicción porque "p" es impar.



Un saludo,
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« Respuesta #7 : 01/02/2015, 01:48:26 pm »

Hola,

 
Si no estoy entendiendo mal las cosas, éste podría ser otro modo de terminar la demostración, alternativo al que he puesto arriba:

 
(3)    Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx] ;  entonces:

    [texx]y^2=(p^2)^{2}-(2q^2)^{2}[/texx]

Y como:  [texx]mcd(2q^2,\,y,\,p^2)=1[/texx] ;  estamos ante una terna pitagórica que sabemos que cumplirá que:

    [texx](2q^2,\,y,\,p^2)\,\in\,\,{(2p_1q_1\,,\,p_1^{2}-q_1^{2}\,,\,p_1^{2}+q_1^{2})[/texx]

Así:

    [texx]q^2\,=\,p_1q_1\quad\wedge\quad y\,=\,p_1^2-q_1^2\quad\wedge\quad p^2\,=\,p_1^2+q_1^2 [/texx]

    a)    De esta manera, dado que:  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ;  sustituyendo, obtenemos que:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1+q_1)^4[/texx] .  Pero como esto es igual que:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_1+q_1)^2}\right)^2[/texx]  y además:  [texx]mcd\left({x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,=\,1[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] ;  y entonces:  [texx](p_1+q_1)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] ;  lo que representa a su vez la terna pitagórica:  [texx]\left({\,q_2\,,\,p_2\,,\,p_1+q_1}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_3q_3\,,\,p_3^2-q_3^2\,,\,p_3^2+q_3^2\right)}[/texx] ;  por lo que:  [texx]p_1+q_1\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .
 
    b)    Demostración que:  [texx]p_1\,=\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_1\,=\,q_3^2[/texx] .  Si sustituyo en:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_3^2+q_3^2)^2}\right)^2[/texx] ;  entonces deberá cumplirse que:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_3^2+q_3^2)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] .  Comprobación:  Tendremos en ese caso que:  [texx](p_3^2+q_3^2)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] .  Como sabemos por el punto a) que:  [texx]p_2\,=\,p_3^2-q_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_2\,=\,2p_3q_3[/texx] ,  si sustituimos en:  [texx](p_3^2+q_3^2)^2\,=\,(p_3^2-q_3^2)^2+4p_3^2q_3^2[/texx] ;  vemos que efectivamente es así.   

    c)    Como:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_2\,=\,p_3^2-q_3^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_2\,=\,2p_3\,q_3[/texx] ;  entonces:  [texx]x\,=\,4\,(p_3^2-q_3^2)\,p_3\,q_3[/texx] .  Pero como yo sé, como acabamos de demostrar, que:  [texx]q^2\,=\,p_3^2\,q_3^2[/texx] ;  tendré que:  [texx]x\,=\,4\,(p_3^2-q_3^2)\,q[/texx] ;  y como:  [texx]x\,=\,2pq[/texx] ,  entonces:  [texx]\pmb{p\,=\,2\,(p_3^2-q_3^2)}[/texx] ;  lo que es una contradicción al ser "p" impar.

 

Un saludo, 
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« Respuesta #8 : 04/02/2015, 04:34:40 am »

Hola,

Paso a limpio como quedaría la demostración. Me gustaría que si puede el_manco o algún administrador del foro me dijera si está bien con objeto de ponerla en La revista del foro. Un saludo,


Propongo que, para:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,\,mcd(x,y,z)=1\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,x\in{\left\{{Nos.\,\,Pares}\right\}}[/texx] ;  si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ,  entonces:  [texx]xyz\,=\,\,0[/texx] .


(1)    [texx]x^4=z^4-y^4\quad\wedge\quad x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

    a) Como:  [texx]x\,,\,\,z^2+y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-y^2[/texx]  son pares.

Entonces, de entrada:  [texx]x=2u[/texx]

    b) Demostración que  [texx]z^2+y^2[/texx] es par de la forma: 2v .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

    [texx]z^2+y^2=2(2b^2-2b+2a^2-2a+1)[/texx]

    c) Demostración que  [texx]z^2-y^2[/texx]  es par, como mínimo, de la forma:  [texx]8w[/texx] .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

    [texx]z^2-y^2=4(b^2-a^2-b+a)[/texx]

E independientemente de la paridad de  [texx]a\vee b[/texx] ,  la suma de las cantidades contenidas en el paréntesis será siempre par.

De esta manera:


(2)    [texx]16u^4=2v\cdot{8w}\quad\wedge\quad u^4=v\cdot{w}[/texx]

    a)  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,\,w[/texx]  fueran coprimos deberán ser entonces a su vez potencias cuartas.

Demostración:  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran un factor común, éste lo sería también de  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] ,  lo que no es posible al ser éstos comprimos.

Veámoslo:

    [texx]z^2+y^2=2v[/texx]

    [texx]z^2-y^2=8w[/texx]

    [texx]z^2=2v-y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,y^2=z^2-8w[/texx]

    [texx]z^2=v+4w[/texx]

    [texx]y^2=2v-z^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2=8w+y^2[/texx]

    [texx]y^2=v-4w[/texx]

Si:  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran por ejemplo el factor común  "[texx]l[/texx]" ,  de tal manera que:  [texx]v=l\cdot{n}\,\,\,\wedge\,\,\,w=l\cdot{m}[/texx] ;  entonces:  [texx]z^2=ln+4lm\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=ln-4lm[/texx] .  Luego:  [texx]z^2=l(n+4m)\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=l(n-4m)[/texx] ,  lo que no es posible al ser  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  coprimos, pues lo son  [texx]y\,\,\,\wedge\,\,\,z[/texx] .

Tenemos entonces que:  [texx]v=p^4\,\,\,\wedge\,\,\,w=q^4[/texx] .

    b) Como sabemos ahora que:  [texx]\pmb{y^2=p^4-4q^4}\,\,\,\wedge\,\,\,\pmb{z^2=p^4+4q^4}[/texx] ,  y que además:  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx] ;  podemos despejar  " [texx]x[/texx] "  en función de  [texx]p\,\,\,\wedge\,\,\,q[/texx] :

    [texx]x^4=(p^4+4q^4)^2-(p^4-4q^4)^2[/texx]

    [texx]\pmb{x=2pq}[/texx]

Donde:  [texx]p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\,\wedge\,\,\,p[/texx]  es impar, pues es la única manera para que se cumpla que  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  sean impares.

    c) Demostremos ahora que  " [texx]q[/texx] " es, a su vez, par.

Tenemos que:

    [texx]z^2=p^4+4q^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q^4=\dfrac{z^2-p^4}{4}}[/texx]

Si:  [texx]z=2b-1\,\,\,\wedge\,\,\,p=2c-1[/texx]

Entonces:

    [texx]q^4=-4c^4+8c^3-6c^2+b^2+2c-b[/texx]

Y como vemos, todos los términos de la suma son pares menos  [texx]b^2\,\,\,\wedge\,\,\,-b[/texx] .  De manera que sea  "[texx]b[/texx]" par o impar, sumado al resto de términos dará siempre lugar a un número par.


(3)    Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4[/texx] ;  entonces:

    [texx]y^2=(p^2)^{2}-(2q^2)^{2}[/texx]

Y como:  [texx]mcd(2q^2,\,y,\,p^2)=1[/texx] ;  estamos ante una terna pitagórica que sabemos que cumplirá que:

    [texx](2q^2,\,y,\,p^2)\,\in\,\,{(2p_1q_1\,,\,p_1^{2}-q_1^{2}\,,\,p_1^{2}+q_1^{2})[/texx]

Así:

    [texx]q^2\,=\,p_1q_1\quad\wedge\quad y\,=\,p_1^2-q_1^2\quad\wedge\quad p^2\,=\,p_1^2+q_1^2 [/texx]

    a)    De esta manera, dado que:  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ;  sustituyendo, obtenemos que:  [texx]x^2+z^2\,=\,(p_1+q_1)^4[/texx] .  Pero como esto es igual que:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_1+q_1)^2}\right)^2[/texx]  y además:  [texx]mcd\left({x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,=\,1[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_1+q_1)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] ;  y entonces:  [texx](p_1+q_1)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] ;  lo que representa a su vez la terna pitagórica:  [texx]\left({\,q_2\,,\,p_2\,,\,p_1+q_1}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_3q_3\,,\,p_3^2-q_3^2\,,\,p_3^2+q_3^2\right)}[/texx] ;  por lo que:  [texx]p_1+q_1\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .

    b)    Demostración que:  [texx]p_1\,=\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_1\,=\,q_3^2[/texx] .  Si sustituyo en:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_3^2+q_3^2)^2}\right)^2[/texx] ;  entonces deberá cumplirse que:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_3^2+q_3^2)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] .  Comprobación:  Tendremos en ese caso que:  [texx](p_3^2+q_3^2)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] .  Y como sabemos por el punto a) que:  [texx]p_2\,=\,p_3^2-q_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_2\,=\,2p_3q_3[/texx] ,  si sustituimos en:  [texx](p_3^2+q_3^2)^2\,=\,(p_3^2-q_3^2)^2+4p_3^2q_3^2[/texx] ;  vemos que efectivamente es así. 

    c)    Como:  [texx]x\,=\,2\,p_2\,q_2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_2\,=\,p_3^2-q_3^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_2\,=\,2p_3\,q_3[/texx] ;  entonces:  [texx]x\,=\,4\,(p_3^2-q_3^2)\,p_3\,q_3[/texx] .  Pero como yo sé, como acabamos de demostrar, que:  [texx]q^2\,=\,p_3^2\,q_3^2[/texx] ;  tendré que:  [texx]x\,=\,4\,(p_3^2-q_3^2)\,q[/texx] ;  y como:  [texx]x\,=\,2pq[/texx] ,  entonces:  [texx]\pmb{p\,=\,2\,(p_3^2-q_3^2)}[/texx] ;  lo que es una contradicción al ser "p" impar.
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« Respuesta #9 : 04/02/2015, 06:51:40 am »

Hola

 Esto no está bien:

    b)    Demostración que:  [texx]p_1\,=\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_1\,=\,q_3^2[/texx] .  Si sustituyo en:  [texx]x^2+z^2\,=\,\left({(p_3^2+q_3^2)^2}\right)^2[/texx] ;  entonces deberá cumplirse que:  [texx]\left({\,x\,,\,z\,,\,(p_3^2+q_3^2)^2}\right)\,\in\,\,{\left({\,2p_2q_2\,,\,p_2^2-q_2^2\,,\,p_2^2+q_2^2\right)}[/texx] .  Comprobación:  Tendremos en ese caso que:  [texx](p_3^2+q_3^2)^2\,=\,p_2^2+q_2^2[/texx] .  Y como sabemos por el punto a) que:  [texx]p_2\,=\,p_3^2-q_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_2\,=\,2p_3q_3[/texx] ,  si sustituimos en:  [texx](p_3^2+q_3^2)^2\,=\,(p_3^2-q_3^2)^2+4p_3^2q_3^2[/texx] ;  vemos que efectivamente es así. 

 Es decir no prueba lo que pretendes; simplemente ahí incides una y otra vez en la igualdad [texx]p_1+q_1=p_3^2+q_3^2[/texx] pero NO estás demostrando que [texx]p_1=p_3^2[/texx] y [texx]q_1=q_3^2.[/texx]

 Estás comprobando que:

[texx] (p_3^2+q_3)^2=p_2^2+q_2^2[/texx]

 y eso no significa otra cosa que:

[texx] (p_3^2+q_3)^2=p_2^2+q_2^2=(p_1+q_1)^2[/texx]
 
de donde:

[texx] p_3^2+q_3^2=p_1+q_1[/texx]

Saludos.

P.D. No tengo una forma sólida de justificar esta afirmación, pero en mi experiencia si la parte dura de una de estos intentos de demostración se termina resolviendo con una simple cuestion de paridad (como concluyes en el apartado c)... desconfía.
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« Respuesta #10 : 04/02/2015, 08:46:39 am »

Hola,

P.D. No tengo una forma sólida de justificar esta afirmación, pero en mi experiencia si la parte dura de una de estos intentos de demostración se termina resolviendo con una simple cuestion de paridad (como concluyes en el apartado c)... desconfía.

Totalmente cierto, yo también he tenido ese tipo de impresión a lo largo de mis intentos de demostración pero me han cegado mis ganas de terminar ésta. Disculpa y muchas gracias por contestar.

Un saludo,
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« Respuesta #11 : 06/02/2015, 04:01:15 pm »

Hola,

Esta es la única salida que por ahora veo a este intento de demostración:


... (Ver Respuesta #8) ...



(4)   Por un lado tenemos que:  [texx]p_1+q_1\,=\,p_3^2+q_3^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{p_a^2+q_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}[/texx] ;  y por otro que:  [texx]p_a^2\,\neq\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_a^2\,\neq\,q_3^2[/texx] ;  porque si no daría lugar a una incoherencia en la paridad de "p". Y esto significará que o bien:  [texx]p_3^2\,>\,p_a^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_3^2\,<\,q_a^2[/texx] ;  o bien:  [texx]p_a^2\,>\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_a^2\,<\,q_3^2[/texx] .  Tomemos por ejemplo ahora que:  [texx]\pmb{p_3^2\,>\,p_a^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_3^2\,<\,q_a^2}[/texx] .


(5)    Ocurrirá entonces que:  [texx]\pmb{\left({q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}\right)\,\in\,\,{\left\{{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta}\right\}}}[/texx] ,  para  [texx]\delta\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] .  Habida cuenta que:  [texx]mcd(q_a\,,\,p_a\,,\,p_3)\,=\,mcd(x\,,\,y\,,z)\,=\,1\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,mcd(p_3\,,\,q_3)\,=\,mcd(z\,,\,\delta)\,=\,1[/texx] ;  y de comprobar que  " [texx]\delta[/texx] ", -como  " [texx]q_3^2[/texx] " -,  en el caso del Teorema para n = 4, es siempre un cuadrado; pues como:  [texx]\delta\,=\,x^2+y^2-z^2[/texx] ,  si sustituimos en:  [texx]x^2\,=\,4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^2\,=\,p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2\,=\,p^4+4q^4[/texx] ,  será igual a:  [texx]4q^2(p^2-2q^2)[/texx] ,  donde  " [texx]p^2-2q^2[/texx] " es un factor cuadrado de  [texx]y^2[/texx] .


(6)    Pero entonces estoy deduciendo al mismo tiempo de:  [texx]x^4+y^4\,=\,z^4[/texx] ,  que:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] ;  donde la segunda expresión tendrá una magnitud menor que la primera sea cuál sea el valor que tome aquélla.


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« Respuesta #12 : 09/02/2015, 08:59:42 am »

Hola

Hola,

Esta es la única salida que por ahora veo a este intento de demostración:


... (Ver Respuesta #8) ...



(4)   Por un lado tenemos que:  [texx]p_1+q_1\,=\,p_3^2+q_3^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{p_a^2+q_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}[/texx] ;  y por otro que:  [texx]p_a^2\,\neq\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_a^2\,\neq\,q_3^2[/texx] ;  porque si no daría lugar a una incoherencia en la paridad de "p". Y esto significará que o bien:  [texx]p_3^2\,>\,p_a^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_3^2\,<\,q_a^2[/texx] ;  o bien:  [texx]p_a^2\,>\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_a^2\,<\,q_3^2[/texx] .  Tomemos por ejemplo ahora que:  [texx]\pmb{p_3^2\,>\,p_a^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_3^2\,<\,q_a^2}[/texx] .

En la respuesta #8 (o me estoy perdiendo algo) o no empleas ningún [texx]p_a,p_b[/texx]. Con lo cuál me está despistando esa notación (veo que si la utilizas más atrás en otros hilos, pero si no nos "ahoracamos a un palo" con las letras es un lío seguir el argumento).


Cita
(5)    Ocurrirá entonces que:  [texx]\pmb{\left({q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}\right)\,\in\,\,{\left\{{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta}\right\}}}[/texx] ,  para  [texx]\delta\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] .  Habida cuenta que:  [texx]mcd(q_a\,,\,p_a\,,\,p_3)\,=\,mcd(x\,,\,y\,,z)\,=\,1\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,mcd(p_3\,,\,q_3)\,=\,mcd(z\,,\,\delta)\,=\,1[/texx] ;  y de comprobar que  " [texx]\delta[/texx] ", -como  " [texx]q_3^2[/texx] " -,  en el caso del Teorema para n = 4, es siempre un cuadrado; pues como:  [texx]\delta\,=\,x^2+y^2-z^2[/texx] ,  si sustituimos en:  [texx]x^2\,=\,4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^2\,=\,p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2\,=\,p^4+4q^4[/texx] ,  será igual a:  [texx]4q^2(p^2-2q^2)[/texx] ,  donde  " [texx]p^2-2q^2[/texx] " es un factor cuadrado de  [texx]y^2[/texx] .

Esta notación; [texx]\pmb{\left({q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}\right)\,\in\,\,{\left\{{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta}\right\}}}[/texx] me confunde. Es preferible que uses igualdades. Supongo que quieres poner:

[texx]q_a^2+p_a^2=x^2+y^2,\qquad p_3^2+q_3^2=z^2+\delta[/texx]

Si es así... no hay forma más clara y cómoda de hacerlo que tal cuál lo acabo de escribir.

Cita
(6)    Pero entonces estoy deduciendo al mismo tiempo de:  [texx]x^4+y^4\,=\,z^4[/texx] ,  que:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] ;  donde la segunda expresión tendrá una magnitud menor que la primera sea cuál sea el valor que tome aquélla.

No estoy seguro de exactamente cuál es la "segunda expresión" y cual es la primera, cuando hablas de que una tiene mayor magnitud que otra.

En general no me queda claro si ahí pretendes exponer un nuevo argumento cerrado, o un posible camino a seguir donde tu mismo has dejado cabos sueltos.

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« Respuesta #13 : 09/02/2015, 11:28:22 am »

Hola,

Hola,

Esta es la única salida que por ahora veo a este intento de demostración:


... (Ver Respuesta #8) ...



(4)   Por un lado tenemos que:  [texx]p_1+q_1\,=\,p_3^2+q_3^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{p_a^2+q_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}[/texx] ;  y por otro que:  [texx]p_a^2\,\neq\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_a^2\,\neq\,q_3^2[/texx] ;  porque si no daría lugar a una incoherencia en la paridad de "p". Y esto significará que o bien:  [texx]p_3^2\,>\,p_a^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_3^2\,<\,q_a^2[/texx] ;  o bien:  [texx]p_a^2\,>\,p_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_a^2\,<\,q_3^2[/texx] .  Tomemos por ejemplo ahora que:  [texx]\pmb{p_3^2\,>\,p_a^2\,\,\,\wedge\,\,\,q_3^2\,<\,q_a^2}[/texx] .

En la respuesta #8 (o me estoy perdiendo algo) o no empleas ningún [texx]p_a,p_b[/texx]. Con lo cuál me está despistando esa notación (veo que si la utilizas más atrás en otros hilos, pero si no nos "ahoracamos a un palo" con las letras es un lío seguir el argumento).

Es cierto, esa notación no está en la respuesta #8. Disculpas. Lo que he querido decir es que como sabemos que:  [texx]q^2=p_1q_1[/texx] ,  entonces  [texx]p_1\,\,\wedge\,\,q_1[/texx]  son cuadrados, y por consiguiente que:  [texx]p_1=p_a^2\,\,\wedge\,\,q_1=q_a^2[/texx] .  Quizás lo más correcto hubiera sido poner:  [texx]p_1= p_{11}^2\,\,\wedge\,\,q_1= q_{11}^2[/texx]  y así estaría mejor "ajusticiado", como comentas.


Cita
(5)    Ocurrirá entonces que:  [texx]\pmb{\left({q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}\right)\,\in\,\,{\left\{{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta}\right\}}}[/texx] ,  para  [texx]\delta\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] .  Habida cuenta que:  [texx]mcd(q_a\,,\,p_a\,,\,p_3)\,=\,mcd(x\,,\,y\,,z)\,=\,1\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,mcd(p_3\,,\,q_3)\,=\,mcd(z\,,\,\delta)\,=\,1[/texx] ;  y de comprobar que  " [texx]\delta[/texx] ", -como  " [texx]q_3^2[/texx] " -,  en el caso del Teorema para n = 4, es siempre un cuadrado; pues como:  [texx]\delta\,=\,x^2+y^2-z^2[/texx] ,  si sustituimos en:  [texx]x^2\,=\,4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^2\,=\,p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2\,=\,p^4+4q^4[/texx] ,  será igual a:  [texx]4q^2(p^2-2q^2)[/texx] ,  donde  " [texx]p^2-2q^2[/texx] " es un factor cuadrado de  [texx]y^2[/texx] .

Esta notación; [texx]\pmb{\left({q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}\right)\,\in\,\,{\left\{{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta}\right\}}}[/texx] me confunde. Es preferible que uses igualdades. Supongo que quieres poner:

[texx]q_a^2+p_a^2=x^2+y^2,\qquad p_3^2+q_3^2=z^2+\delta[/texx]

Si es así... no hay forma más clara y cómoda de hacerlo que tal cuál lo acabo de escribir.

Cita
(6)    Pero entonces estoy deduciendo al mismo tiempo de:  [texx]x^4+y^4\,=\,z^4[/texx] ,  que:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] ;  donde la segunda expresión tendrá una magnitud menor que la primera sea cuál sea el valor que tome aquélla.

No estoy seguro de exactamente cuál es la "segunda expresión" y cual es la primera, cuando hablas de que una tiene mayor magnitud que otra.

En general no me queda claro si ahí pretendes exponer un nuevo argumento cerrado, o un posible camino a seguir donde tu mismo has dejado cabos sueltos.

Lo que he querido decir es que:  [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] ,  tiene las mismas propiedades algebraicas que:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta[/texx] ,  pero es de menor magnitud que esta última expresión, lo que sería una contradicción pues las 2 cosas se deducen de:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] .  Reitero mis disculpas por mi mala notación, pues no es la primera vez. Prometo hacerlo mejor.

Un saludo,
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« Respuesta #14 : 09/02/2015, 12:14:25 pm »

Hola

Lo que he querido decir es que:  [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] ,  tiene las mismas propiedades algebraicas que:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta[/texx] ,  pero es de menor magnitud que esta última expresión, lo que sería una contradicción pues las 2 cosas se deducen de:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] .  Reitero mis disculpas por mi mala notación, pues no es la primera vez. Prometo hacerlo mejor.

Tienes que intentar precisar todo esto de alguna manera; decir que tienen las "mismas propiedades algebraicas" sin precisar cuáles es muy vago; decir que eso es contradictorio con que se deduzcan de la misma expresión es también muy vago.

Intenta precisar todo eso de manera concreta.

Saludos.
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« Respuesta #15 : 09/02/2015, 08:02:30 pm »

Hola,

Tienes que intentar precisar todo esto de alguna manera; decir que tienen las "mismas propiedades algebraicas" sin precisar cuáles es muy vago; decir que eso es contradictorio con que se deduzcan de la misma expresión es también muy vago.

Intenta precisar todo eso de manera concreta.

¡Claro! Lo voy a intentar:


1)    Punto de partida:   Si  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] , entonces cuando el exponente es n = 2;  " [texx]\pmb{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta}[/texx] " ,  para un  [texx]\delta\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] ,  es su expresión menor posible.


2)    En el caso que el Teorema fuera cierto para n = 4 y "x" sea par, si:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta[/texx] ,  significará que:  [texx]mcd(x,y,z)\,=\,mcd(z,\delta)\,=\,1[/texx] ,  y que  " [texx]\delta[/texx] "  será un cuadrado par menor que  [texx]x^2[/texx] . " [texx]\delta[/texx] "  es un número par menor que  " [texx]x^2[/texx] "  porque:  [texx]x^2-\delta=z^2-y^2[/texx] .  Y además es un cuadrado porque sabemos que para el caso del Teorema cuando n = 4, entonces:  [texx]x^2\,=\,4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^2\,=\,p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2\,=\,p^4+4q^4[/texx] ;  y si sustituimos en:  [texx]\delta=x^2+y^2-z^2[/texx] ,  será igual a:  [texx]4q^2(p^2-2q^2)[/texx] ,  donde todos los factores son cuadrados.


3)    Por otra parte, deduciendo de  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  -ver respuesta #6-,  llegamos a que:  [texx]q_{a}^2+p_{a}^2\,=\,p_3^2+q_3^2^\pmb{(*)}[/texx] ,  para "q" par. Y resulta que:  [texx]mcd(q_{a},p_{a},p_3)\,=\,mcd(p_3,q_3)\,=\,1[/texx] ,  y que  [texx]q_3^2[/texx]  es un cuadrado par menor que  [texx]q_{a}^2[/texx] ; puesto que  [texx]p_3^2\,\,\wedge\,\,q_3^2[/texx]  representan números diferentes a  [texx]p_{a}^2\,\,\wedge\,\,q_{a}^2[/texx]  y uno de ellos  [texx](p_3^2\,\,\vee\,\,q_3^2)[/texx]  tiene que ser mayor que el correspondiente de éstos y el otro menor para mantener la igualdad.

4)    Por lo tanto,  [texx]q_{a}^2+p_{a}^2\,=\,p_3^2+q_3^2^\pmb{(*)}[/texx]  es una expresión válida del Teorema para n = 4 cuando el exponente es igual a n = 2, que es menor que:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta[/texx] ;  lo que contradice el punto 1).



(*)
  Hay formas más simples de llegar a este tipo de expresiones a partir de la supuesta certeza del Teorema para n = 4, dónde se igualan de la misma manera la suma de dos cuadrados diferentes y que no implicarían estos engorrosos subíndices. Si posteriormente veo que viene al caso porque la demostración de esta manera fuera posible, las pongo.



Un saludo,
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« Respuesta #16 : 10/02/2015, 07:10:38 am »

Hola

¡Claro! Lo voy a intentar:

En mi opinión no lo has conseguido todavía...

1)    Punto de partida:   Si  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] , entonces cuando el exponente es n = 2;  " [texx]\pmb{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta}[/texx] " ,  para un  [texx]\delta\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] ,  es su expresión menor posible.

¿Exactamente qué quiere decir la frase "es su expresión menor posible"?.

4)    Por lo tanto,  [texx]q_{a}^2+p_{a}^2\,=\,p_3^2+q_3^2^\pmb{(*)}[/texx]  es una expresión válida del Teorema para n = 4 cuando el exponente es igual a n = 2, que es menor que:  [texx]x^2+y^2\,=\,z^2+\delta[/texx] ;  lo que contradice el punto 1).

Sinceramente del punto (4) no entiendo nada; me vuelven a parecer afirmaciones vagas, sin un significado claro. ¿Qué se entiende al decir qué algo es "una expresión válida del Teorema para n=4 cuando el exponente es igual n=2?.

Saludos.
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« Respuesta #17 : 10/02/2015, 03:41:50 pm »

Hola el_manco,

¡Claro! Lo voy a intentar:

En mi opinión no lo has conseguido todavía...

Lo intento las veces que haga falta, muchas gracias por tus correcciones.


1)    Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] , para " x " par, sabemos que (ver respuestas #8 y #11):  [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] ,  para un  [texx]\delta\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] . Que:  [texx]x^2\,=\,4p^2q^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^2\,=\,p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2\,=\,p^4+4q^4[/texx] ,  para " q " par; y que:  " [texx]\delta[/texx] "  es un número cuadrado menor que  [texx]x^2[/texx]  de la forma:  [texx]4q^2(p^2-2q^2)[/texx] .


2)    Por otra parte, puedo deducir también de  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] , -ver respuesta #6-, la siguiente expresión:  [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] ,  para " q " par; donde:  [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,x^2+y^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_3^2+q_3^2\,=\,z^2+\delta[/texx] . Dado que:  [texx]mcd(q_a\,,\,p_a\,,\,p_3)\,=\,mcd(x\,,\,y\,,z)\,=\,1\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,mcd(p_3\,,\,q_3)\,=\,mcd(z\,,\,\delta)\,=\,1[/texx] ,  y  [texx]q_3^2[/texx]  es un número cuadrado par menor que  [texx]q_a^2[/texx] .   


3)    Pero ocurre que como (ver respuestas #6 y #7):  [texx]q\,=\,p_aq_a\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p^2\,=\,p_a^4+q_a^4\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_a^2+q_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .  Entonces:  [texx](q_a^2\,,\,p_a^2\,,\,p_3^2\,,\,q_3^2)\,\,<\,\,(x^2\,,\,y^2\,,\,z^2\,,\,\delta)[/texx] .  Y por lo tanto existen valores más pequeños que  " [texx]x^2,\,y^2,\,z^2[/texx] "  que satisfacen la ecuación:  [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] ;  lo cual es un contrasentido.


Un saludo,
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« Respuesta #18 : 11/02/2015, 07:03:09 am »

Hola

 Veo que estás intentando hacer un argumento tipo "descenso infinito".

 El problema es que no está claro que esto sea un contrasentido:

3)    Pero ocurre que como (ver respuestas #6 y #7):  [texx]q\,=\,p_aq_a\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p^2\,=\,p_a^4+q_a^4\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_a^2+q_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .  Entonces:  [texx](q_a^2\,,\,p_a^2\,,\,p_3^2\,,\,q_3^2)\,\,<\,\,(x^2\,,\,y^2\,,\,z^2\,,\,\delta)[/texx] .  Y por lo tanto existen valores más pequeños que  " [texx]x^2,\,y^2,\,z^2[/texx] "  que satisfacen la ecuación:  [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] ;  lo cual es un contrasentido.

 Tu partes de una posible solución del teorema de Fermat para [texx]n=4[/texx], [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] y supones (aunque no lo hayas dicho explícitamente debe de hacerse para que argumento pueda tener sentido) que de alguna forma es minimal (esto también ha´bría que precisarlo, pero por ahora no es un problema): por ejemplo la que tiene un menor valor de [texx]z[/texx] ó aquella que [texx]x+y+z[/texx] toma el menor valor posible; en fin hay muchas formas de evaluar la minimalidad.

 El problema es que esa minimalidad no te garantiza que una relación del tipo [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] sea minimal en ningún sentido; es decir no hay nada contradictorio en encontrar otros números más pequeños tales que [texx]x'^2+y'^2=z'^2+\delta'[/texx]; el argumento si funcionaría si esos número cumpliesen además que [texx]x'^4+y'^4=z'^4[/texx], que es nuestro punto de partida.

 En tu caso tienes que [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] pero (corrígeme si me equivoco) no tienes que [texx]q_a^4+p_a^4=p_3^4[/texx] ó [texx]q_3^4[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #19 : 11/02/2015, 08:03:30 pm »

Hola,


Veo que estás intentando hacer un argumento tipo "descenso infinito".

Sí, tal y como he planteado esta demostración me he dado cuenta que el descenso infinito es su única salida.


En tu caso tienes que [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] pero (corrígeme si me equivoco) no tienes que [texx]q_a^4+p_a^4=p_3^4[/texx] ó [texx]q_3^4[/texx].

Efectivamente no te equivocas, no tengo ningún  " [texx]q_a^4+p_a^4=p_3^4[/texx] "  ni nada equivalente a ello.


El problema es que no está claro que esto sea un contrasentido:

3)    Pero ocurre que como (ver respuestas #6 y #7):  [texx]q\,=\,p_aq_a\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p^2\,=\,p_a^4+q_a^4\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_a^2+q_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .  Entonces:  [texx](q_a^2\,,\,p_a^2\,,\,p_3^2\,,\,q_3^2)\,\,<\,\,(x^2\,,\,y^2\,,\,z^2\,,\,\delta)[/texx] .  Y por lo tanto existen valores más pequeños que  " [texx]x^2,\,y^2,\,z^2[/texx] "  que satisfacen la ecuación:  [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] ;  lo cual es un contrasentido.

En este punto es donde no acabo de entenderte. Yo sí veo una contradicción entre el punto 2), donde se dice:  [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,x^2+y^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_3^2+q_3^2\,=\,z^2+\delta[/texx] ;  y el punto 3), dónde se deduce:  [texx]q_a^2+p_a^2\,\pmb{<}\,x^2+y^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_3^2+q_3^2\,\pmb{<}\,z^2+\delta[/texx] .


Me dices:

El problema es que esa minimalidad no te garantiza que una relación del tipo [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] sea minimal en ningún sentido; es decir no hay nada contradictorio en encontrar otros números más pequeños tales que [texx]x'^2+y'^2=z'^2+\delta'[/texx]; el argumento si funcionaría si esos número cumpliesen además que [texx]x'^4+y'^4=z'^4[/texx], que es nuestro punto de partida.

Yo lo veo de la siguiente forma (en sentido figurado): Primero llego a la conclusión que  " [texx]\alpha[/texx] " (es un decir) pertenece al conjunto de los números pares y luego, operando, descubro que  " [texx]\alpha[/texx] "  es menor que el más pequeño de los números pares y llego por tanto a un contrasentido. 

Si  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_a^2=\displaystyle\frac{q^2}{p_a^2}[/texx] ;  entonces entiendo que  [texx]q_a^2\,<\,x^2[/texx]  sea cuál sea el valor que adopte  [texx]x^2[/texx] . Y como por definición  [texx]x^2[/texx]  sólo adopta valores enteros positivos y éstos tienen un mínimo, entonces me estoy situando por debajo de éste, lo que quiere decir que  [texx]q_a^2[/texx]  no es un número entero. En fin, presumo que si me estoy equivocando es en algo muy gordo por lo que pido disculpas de antemano.


Un saludo,
En línea

  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
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