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Autor Tema: El caso n=4. (demostración alternativa II)  (Leído 18981 veces)
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #20 : 12/02/2015, 07:36:11 am »

Hola

El problema es que no está claro que esto sea un contrasentido:

3)    Pero ocurre que como (ver respuestas #6 y #7):  [texx]q\,=\,p_aq_a\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p^2\,=\,p_a^4+q_a^4\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_a^2+q_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2[/texx] .  Entonces:  [texx](q_a^2\,,\,p_a^2\,,\,p_3^2\,,\,q_3^2)\,\,<\,\,(x^2\,,\,y^2\,,\,z^2\,,\,\delta)[/texx] .  Y por lo tanto existen valores más pequeños que  " [texx]x^2,\,y^2,\,z^2[/texx] "  que satisfacen la ecuación:  [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] ;  lo cual es un contrasentido.

En este punto es donde no acabo de entenderte. Yo sí veo una contradicción entre el punto 2), donde se dice:  [texx]q_a^2+p_a^2\,=\,x^2+y^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_3^2+q_3^2\,=\,z^2+\delta[/texx] ;  y el punto 3), dónde se deduce:  [texx]q_a^2+p_a^2\,\pmb{<}\,x^2+y^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,p_3^2+q_3^2\,\pmb{<}\,z^2+\delta[/texx] .

Si realmente tienes probado todo lo que has escrito ahí, obviamente si tendrías una contradicción y no usarías para nada descenso infinito.  Por que obviamente no puede ocurrir al mismo tiempo [texx]q_a^2+p_a^2=x^2+y^2[/texx] y [texx]q_a^2+p_a^2<x^2+y^2[/texx].

Pero yo creo que no lo tienes; si no me equivoco (y una vez más llega un momento en que tengo miedo de perder la pista al significado de cada variable) NO veo en ningún lado que tengas esta igualdad [texx]q_a^2+p_a^2=x^2+y^2[/texx].

A mi me parece que lo que quieres decir es que [texx]q_a^2,p_a^2,p_3^2,q_3^2[/texx] cumplen una relación del tipo [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx], pero por supuesto que eso no quiere decir que sean iguales a los [texx]x,y,z,\delta[/texx] que FIJAMOS al principio, al fijar a su vez una solución de [texx]x^4+y^4=z^4[/texx].

En este punto intenta ser muy claro en la respuesta, porque insisto en que si lo que he citado fuese cierto tal cuál lo has escrito, la demostración debería de ser muy clara y no intervendría para nada un argumento tipo descenso infinito.

Cita
Si  [texx]x^2=4p^2q^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,q_a^2=\displaystyle\frac{q^2}{p_a^2}[/texx] ;  entonces entiendo que  [texx]q_a^2\,<\,x^2[/texx]  sea cuál sea el valor que adopte  [texx]x^2[/texx] . Y como por definición  [texx]x^2[/texx]  sólo adopta valores enteros positivos y éstos tienen un mínimo, entonces me estoy situando por debajo de éste, lo que quiere decir que  [texx]q_a^2[/texx]  no es un número entero. En fin, presumo que si me estoy equivocando es en algo muy gordo por lo que pido disculpas de antemano.

Perdona si soy reiterativo con el adjetivo: pero esa aclaración de nuevo es demsiado vaga como para emitir una opinión.

Lo que tiene que quedarte claro es que si pretendes usar un argumento de minimalidad (tipo descenso infinito) tiene que funcionar algo ásí:

(1)- Parto de unos números naturales que cumplen una determinada propiedad y supongo que son los mínimos con tal propiedad.
(2)- A partir de ellos logro construir otros números naturales más pequeños que cumplen esa propiedad: ahí está la contradicción con la minimalidad exigida en (1).

Pero no funciona la cosa si esos números naturales más pequeños no cumplen exactamente la misma propiedad que fijamos en (1) y que es la que permite hacer la construcción.

Sigo pensando que la propiedad que exiges en uno es verificar la ecuación [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]. Pero sin embargo los números naturales más pequeños que construyen no cumplen esa propiedad.

Cumplen una propiedad que se deriva de [texx]x^4+y^4=z^4[/texx], pero no la original. Entonces ya no funciona.

Saludos.
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« Respuesta #21 : 12/02/2015, 01:48:11 pm »

Hola el_manco, gracias por contestar

Si realmente tienes probado todo lo que has escrito ahí, obviamente si tendrías una

contradicción y no usarías para nada descenso infinito.
  Por que obviamente no puede

ocurrir al mismo tiempo [texx]q_a^2+p_a^2=x^2+y^2[/texx] y

[texx]q_a^2+p_a^2<x^2+y^2[/texx].

No, no tengo probado ni por asomo que:  " [texx]q_a^2+p_a^2=x^2+y^2[/texx] ". Por ese motivo en la respuesta #11 puse que:  [texx]\left({q_a^2+p_a^2\,=\,p_3^2+q_3^2}\right)\,\in\,\,{\left\{{x^2+y^2\,=\,z^2+\delta\right\}}}[/texx] .  O sea que lo que he querido decir siempre es que: (cita el_manco) " [texx]q_a^2,p_a^2,p_3^2,q_3^2[/texx] cumplen una relación del tipo [texx]x^2+y^2=z^2+\delta[/texx] " . Pero como esa notación te pareció confusa (OJO, esto no es un reproche) (Ver respuesta #12), entonces devine -erróneamente por mi parte- en cambiarla.


Lo que tiene que quedarte claro es que si pretendes usar un argumento de minimalidad (tipo

descenso infinito) tiene que funcionar algo ásí:

(1)- Parto de unos números naturales que cumplen una determinada propiedad y supongo que son

los mínimos con tal propiedad.
(2)- A partir de ellos logro construir otros números naturales más pequeños que cumplen esa

propiedad: ahí está la contradicción con la minimalidad exigida en (1).

Sí, insisto, dada la linealidad (simpleza) de los argumentos que he empleado en esta demostración, el descenso infinito es su única salida. Estoy completamente convencido que no voy a encontrar ninguna contradición, porque no puede haberla.


Pero no funciona la cosa si esos números naturales más pequeños no cumplen exactamente la

misma propiedad que fijamos en (1) y que es la que permite hacer la construcción.

Sigo pensando que la propiedad que exiges en uno es verificar la ecuación

[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]. Pero sin embargo los números naturales más pequeños que construyen

no cumplen esa propiedad.

Cumplen una propiedad que se deriva de [texx]x^4+y^4=z^4[/texx], pero no la original. Entonces

ya no funciona.

Bueno, "ahí me has dao", como dice la expresión. Ahora lo he entendido, disculpa mi tardanza en hacerlo. La consecuencia es simple, si no existe descenso infinito, esta demostración se queda desierta.   .. al menos por ahora  :guiño:


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« Respuesta #22 : 14/02/2015, 08:11:59 pm »

Hola de nuevo,

Me gustaría saber si es posible esto que pongo a continuación y que podria denominarse demostración por "ascenso infinito". Muchas gracias de antemano.


1)    Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  -y-  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] :

2)    [texx](x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2[/texx]

    Tendré la terna pitagórica:  [texx](x^2,y^2,z^2)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx]

    [texx]y^2=a^2-b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{(b,y,a)\in{(2a_1b_1,a_1^2-b_1^2,a_1^2+b_1^2)}}[/texx] ,  para  [texx]a_1,b_1[/texx]  coprimos y  [texx]b_1[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x^2=4(a_1^2+b_1^2)a_1b_1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1}}[/texx]

3)    Como:  [texx]mcd(a_1^2+b_1^2,a_1b_1)=1[/texx] ,  puesto que si un " P " divide a  [texx]a_1b_1[/texx] ,  entonces " P " divide a:  [texx]a_1[/texx]  ó a:  [texx]b_1[/texx]  y no podrá dividir de forma entera a  [texx]a_1^2+b_1^2[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2+b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1b_1[/texx]  son  cuadrados.

4)    [texx]a_1^2+b_1^2=\pmb{A}^2[/texx]

    De donde:  [texx](b_1,a_1,\pmb{A})\in{(2a_2b_2,a_2^2-b_2^2,a_2^2+b_2^2)}[/texx] ,  para  [texx]a_2,b_2[/texx]  coprimos y  [texx]b_2[/texx]  par.

5)    [texx]\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=4(a_1^2+b_1^2)(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{A}}\right)^2=(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}}}[/texx] ;  donde  [texx]\dfrac{b_2}{2}[/texx]  es un número entero por ser  [texx]b_2[/texx]  par.

6)    Además ocurrirá, por lo mismo descrito en el punto 3), que:  [texx]mcd(a_2^2-b_2^2,a_2\dfrac{b_2}{2})=1[/texx] ,  y por tanto que  [texx]a_2^2-b_2^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_2\dfrac{b_2}{2}[/texx]  serán  cuadrados.

7)    Entonces tendremos que:  [texx]a_2^2-b_2^2=\pmb{B}^2[/texx] ;  -y- :

     [texx](b_2,\pmb{B},a_2)\in{(2a_3b_3,a_3^2-b_3^2,a_3^2+b_3^2)}[/texx]

    [texx]\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{AB}}\right)^2=(a_3^2+b_3^2)a_3b_3[/texx]

    ... y todo el proceso anterior se podrá repetir indefinidamente. 

8)    Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] " tendrá infinitos factores y eso sólo es posible si un número a su vez infinito de esos factores no son enteros, cuando yo estoy suponiendo que sí lo son.


Un saludo,
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« Respuesta #23 : 16/02/2015, 11:39:46 am »

Hola

   ¡Está esencialmente (es decir detalle arriba detalle abajo) bien!.  Aplauso

   Algún comentario:
   
Me gustaría saber si es posible esto que pongo a continuación y que podria denominarse demostración por "ascenso infinito". Muchas gracias de antemano.

 En realidad es un descenso infinito con todas las de la ley.

Cita
8)    Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] " tendrá infinitos factores y eso sólo es posible si un número a su vez infinito de esos factores no son enteros, cuando yo estoy suponiendo que sí lo son.

 Como matiz tienes que probar que los infinitos factores son diferentes; es decir que no caes en ningún tipo de construcción cíclica. La forma más cómoda de hacer eso es viendo que cada vez son más pequeños (¡ahí el descenso infinito!).

 Además la forma de exponer la conclusión que haces es un tanto discutible; no es que por ser infinitos factores no sean enteros, sino que un número entero no puede tener infinitos factores enteros y por tanto has llegado a una contradicción.

 Para acabar un pequeño "pero" (siempre tengo que poner alguno...)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
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« Respuesta #24 : 16/02/2015, 12:27:13 pm »

¡¡¡¡Enhorabuena, Proyecto!!!! :cara_de_queso:
¡Qué bien, tanto empeño ha dado al final sus frutos! ¡Me alegro mucho!
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« Respuesta #25 : 16/02/2015, 02:04:47 pm »

¡Hola!

¡¡Muchas gracias el_manco y Piockñec!!

A el_manco le quiero transmitir además que gracias a su saber decir por dónde no había que ir he podido conseguirlo. La mitad de la demostración es suya y la mitad de la otra mitad de este Foro, su línea editorial y las posibilidades que ofrece este apartado dedicado al Teorema de Fermat:

 Aplauso    Aplauso      ¡¡Muchas gracias!!


   Algún comentario:
   
Me gustaría saber si es posible esto que pongo a continuación y que podria denominarse demostración por "ascenso infinito". Muchas gracias de antemano.

 En realidad es un descenso infinito con todas las de la ley.

Cita
8)    Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] " tendrá infinitos factores y eso sólo es posible si un número a su vez infinito de esos factores no son enteros, cuando yo estoy suponiendo que sí lo son.

 Como matiz tienes que probar que los infinitos factores son diferentes; es decir que no caes en ningún tipo de construcción cíclica. La forma más cómoda de hacer eso es viendo que cada vez son más pequeños (¡ahí el descenso infinito!).

 Además la forma de exponer la conclusión que haces es un tanto discutible; no es que por ser infinitos factores no sean enteros, sino que un número entero no puede tener infinitos factores enteros y por tanto has llegado a una contradicción.

 Para acabar un pequeño "pero" (siempre tengo que poner alguno...)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Bueno, decir que lo que hubiera querido era haber hecho una demostración realmente alternativa, pero que al final creo que no ha sido así, al menos por ahora  :guiño: . Me gustaría llegar a un consenso con el_manco en el sentido que cuando publique esto en la Revista del Foro poner como resultado de la contradicción final: .. el que  [texx]x^2[/texx]  tendrá infinitos factores enteros cada vez más pequeños porque  [texx]...C<B<A[/texx]  etc. y por tanto que eso no es posible..

Y una última consideración. Como la felicitación de Piockñec me ha llegado al corazón, pues he visto por ella que siempre ha estado por ahí y ha ido leyendo mis propuestas, en consideración a él y a otros como él, comentaros el siguiente "chascarrillo". No anda equivocado el_manco (¿Realmente este hombre se equivoca alguna vez??  :sonrisa: ) cuando en su Spoiler hace referencia a otras demostraciones similares. Después de mi último fiasco de la semana pasada confieso que me puse a leer de nuevo todas las demostraciones que había por la red del caso n=4. Fue releerlas y ocurrírseme la solución casi de forma inmediata. Moraleja, aunque ya sé que no lo hacéis, por si acaso, no hagáis cómo yo y os metais en fregados sin apenas haber leído lo que otros han hecho antes!!  :cara_de_queso:  Lo tendré muy en cuenta si algún día me atrevo con el caso n = 3.

¡Un cordial saludo!
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Piockñec
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« Respuesta #26 : 16/02/2015, 03:40:33 pm »

jeje a mí me ha llegado al corazón que a ti te llegara!! :cara_de_queso: Es cierto, siempre estoy fisgoneando en lo que vas escribiendo :guiño: Tanto tú, como minette, como mente oscura... siempre fisgoneando! Me entero de la mitad, pero bueno, algo es algo y voy aprendiendo :sonrisa:
Desde luego es sabio consejo el que das, ese de empaparse con las ideas de tantos otros. Debe abrir y predisponer la mente a la imaginación plenamente.
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mente oscura
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« Respuesta #27 : 16/02/2015, 10:00:45 pm »

Enhorabuena, ProyectoAplauso

Yo también soy un observador silente.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #28 : 17/02/2015, 02:21:54 pm »

¡¡Muchas gracias mente oscura!! ¡Todo un lujo el tenerte de lector! Yo tambien lo soy tuyo

¡Un cordial saludo!
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« Respuesta #29 : 19/02/2015, 02:07:22 pm »

Hola,

Os dejo aquí como quedaría entonces -a fecha de hoy-, la demostración de arriba. Al menos así la acabo de poner en <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg320248#new">este artículo</a> en la Sección de La Revista del Foro. A partir de ahora para cualquier observación o crítica os remito allí. Un saludo a todos,



Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:


1)    [texx](x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2[/texx]

    Tendré la terna pitagórica:  [texx](x^2,y^2,z^2)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx]

    [texx]y^2=a^2-b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{(b,y,a)\in{(2a_1b_1,a_1^2-b_1^2,a_1^2+b_1^2)}}[/texx] ,  para  [texx]a_1,b_1[/texx]  coprimos y  [texx]b_1[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x^2=4(a_1^2+b_1^2)a_1b_1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1}}[/texx]

2)    Como:  [texx]mcd(a_1^2+b_1^2,a_1b_1)=1[/texx] ,  puesto que si un " P " divide a  [texx]a_1b_1[/texx] ,  entonces " P " divide a:  [texx]a_1[/texx]  ó a:  [texx]b_1[/texx]  y no podrá dividir de forma entera a  [texx]a_1^2+b_1^2[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2+b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1b_1[/texx]  son  cuadrados.

3)    [texx]a_1^2+b_1^2=\pmb{A}^2[/texx]

    De donde:  [texx](b_1,a_1,\pmb{A})\in{(2a_2b_2,a_2^2-b_2^2,a_2^2+b_2^2)}[/texx] ,  para  [texx]a_2,b_2[/texx]  coprimos y  [texx]b_2[/texx]  par.

4)    [texx]\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=4(a_1^2+b_1^2)(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{A}}\right)^2=(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}}}[/texx] ;  donde  [texx]\dfrac{b_2}{2}[/texx]  es un número entero por ser  [texx]b_2[/texx]  par.

5)    Además ocurrirá, por lo mismo descrito en el punto 3), que:  [texx]mcd(a_2^2-b_2^2,a_2\dfrac{b_2}{2})=1[/texx] ,  y por tanto que  [texx]a_2^2-b_2^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_2\dfrac{b_2}{2}[/texx]  serán  cuadrados.

6)    Entonces tendremos que:  [texx]a_2^2-b_2^2=\pmb{B}^2[/texx] ;  -y- :

     [texx](b_2,\pmb{B},a_2)\in{(2a_3b_3,a_3^2-b_3^2,a_3^2+b_3^2)}[/texx]

    [texx]\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{AB}}\right)^2=(a_3^2+b_3^2)a_3b_3[/texx]

    ... y todo el proceso anterior se podrá repetir indefinidamente.

7)    Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] "  tendrá infinitos factores enteros cada vez más pequeños, puesto que  [texx]B\,<\,A\,\,\,\wedge\,\,\,C\,<\,B[/texx] , etc.; y esto no es posible.
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« Respuesta #30 : 20/02/2015, 08:23:43 am »

Hola

7)    Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] "  tendrá infinitos factores enteros cada vez más pequeños, puesto que  [texx]B\,<\,A\,\,\,\wedge\,\,\,C\,<\,B[/texx] , etc.; y esto no es posible.

 Hola donde se ve que el proceso se repite es si comparamos las expresiones:

[texx]\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1[/texx]

y

[texx]\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{AB}}\right)^2=(a_3^2+b_3^2)a_3b_3[/texx]


 Entonces la cadena de divisores son los [texx]a_1,a_3,a_5,a_7,\ldots [/texx] ó [texx]b_1,b_3,b_5,b_7,\ldots[/texx] es ahí donde debes de comprobar que van decreciendo.

Saludos.
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« Respuesta #31 : 20/02/2015, 03:18:40 pm »

Hola,

Entonces la cadena de divisores son los [texx]a_1,a_3,a_5,a_7,\ldots [/texx] ó [texx]b_1,b_3,b_5,b_7,\ldots[/texx] es ahí donde debes de comprobar que van decreciendo.

Ok el_manco. Supongo que lo que quieres decir es algo como lo siguiente:


Tendremos entonces que:

[texx]a_1=a_2^2-b_2^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_2=a_3^2+b_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_3=a_4^2-b_4^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_4=a_5^2+b_5^2\,\,\,.\,.\,.[/texx]

[texx]b_1=2a_2b_2\,\,\,\wedge\,\,\,b_2=2a_3b_3\,\,\,\wedge\,\,\,b_3=2a_4b_4\,\,\,\wedge\,\,\,b_4=2a_5b_5\,\,\,.\,.\,.[/texx]


De donde -si no me equivoco-:

[texx]b_{n+1}=\displaystyle\frac{b_{n}}{2a_{n+1}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{b_{n+1}\,<\,b_{n}}[/texx]

[texx]a_{n+1}=\left({\left({a_{n}^{2}-b_{n}^2}\right)^{\frac{1}{2}}+b_{n+1}\right)^\frac{1}{2}\,\,\,\,\vee\,\,\,\,\left({\left({a_{n}^{2}+b_{n}^2}\right)^{\frac{1}{2}}-b_{n+1}\right)^\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,{a_{n+1}\,<\,a_{n}}[/texx]


Y el punto 7) de la demostración podría quedar como:


7)    Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] "  tendrá infinitos factores enteros cada vez más pequeños, puesto que:

[texx](a_1^2+b_1^2)\,>\,(a_3^2+b_3^2)\,>\,(a_5^2+b_5^2)\,\,...\,\,\,\wedge\,\,\,a_1b_1\,>\,a_3b_3\,>\,a_5b_5\,\,...[/texx] ;  y esto no es posible.


Un saludo,



AÑADIDO (20-febrero-015)


Releyendo de nuevo la apreciación que me puso el_manco, entiendo que lo que he puesto antes se puede poner de otra forma también, quizás más sencilla:


Hola donde se ve que el proceso se repite es si comparamos las expresiones:

[texx]\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1[/texx]

y

[texx]\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{AB}}\right)^2=(a_3^2+b_3^2)a_3b_3[/texx]


Haciendo sustituciones, no es difícil deducir que:

[texx]a=(a_2^2+b_2^2)^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1=(a_3^2-b_3^2)^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_2=(a_4^2+b_4^2)^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_3=(a_5^2-b_5^2)^2\,\,...[/texx]

Luego:  [texx](a_1^2+b_1^2)\,>\,(a_2^2+b_2^2)\,>\,(a_2^2-b_2^2)\,>\,(a_3^2-b_3^2)[/texx] ;  y como si:  [texx](a_2^2-b_2^2)\,>\,(a_3^2-b_3^2)[/texx] , entonces:  [texx](a_2^2+b_2^2)\,>\,(a_3^2+b_3^2)[/texx] ;  tendremos que:  [texx]\pmb{(a_1^2+b_1^2)\,>\,(a_3^2+b_3^2)}[/texx] .

Por otro lado sabemos que:  [texx]b=2a_1b_1\,\,\,\wedge\,\,\,b_1=2a_2b_2\,\,\,\wedge\,\,\,b_2=2a_3b_3\,\,...[/texx] ;  luego directamente:  [texx]\pmb{a_1b_1\,>\,a_3b_3}[/texx]

Y entonces:  [texx]\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1\,\,\,\pmb{>}\,\,\,\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{AB}}\right)^2=(a_3^2+b_3^2)a_3b_3[/texx] .
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  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
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« Respuesta #32 : 23/02/2015, 09:58:27 am »

Hola,

Entonces entiendo que la demostración quedaría como sigue (la actualizo en la Revista del Foro con fecha de hoy (<a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg320254#new">*</a>):


Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:


1)    [texx](x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2[/texx]

    Tendré la terna pitagórica:  [texx](x^2,y^2,z^2)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx]

    [texx]y^2=a^2-b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{(b,y,a)\in{(2a_1b_1,a_1^2-b_1^2,a_1^2+b_1^2)}}[/texx] ,  para  [texx]a_1,b_1[/texx]  coprimos y  [texx]b_1[/texx]  par.

    [texx]x^2=2ab\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x^2=4(a_1^2+b_1^2)a_1b_1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1}}[/texx]

2)    Como:  [texx]mcd(a_1^2+b_1^2,a_1b_1)=1[/texx] ,  puesto que si un " P " divide a  [texx]a_1b_1[/texx] ,  entonces " P " divide a:  [texx]a_1[/texx]  ó a:  [texx]b_1[/texx]  y no podrá dividir de forma entera a  [texx]a_1^2+b_1^2[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2+b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1b_1[/texx]  son  cuadrados.

3)    [texx]a_1^2+b_1^2=\pmb{A}^2[/texx]

    De donde:  [texx](b_1,a_1,\pmb{A})\in{(2a_2b_2,a_2^2-b_2^2,a_2^2+b_2^2)}[/texx] ,  para  [texx]a_2,b_2[/texx]  coprimos y  [texx]b_2[/texx]  par.

4)    [texx]\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=(a_1^2+b_1^2)a_1b_1}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{2}\right)^2=4(a_1^2+b_1^2)(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{A}}\right)^2=(a_2^2-b_2^2)a_2\dfrac{b_2}{2}}}[/texx] ;  donde  [texx]\dfrac{b_2}{2}[/texx]  es un número entero por ser  [texx]b_2[/texx]  par.

5)    Además ocurrirá, por lo mismo descrito en el punto 3), que:  [texx]mcd(a_2^2-b_2^2,a_2\dfrac{b_2}{2})=1[/texx] ,  y por tanto que  [texx]a_2^2-b_2^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_2\dfrac{b_2}{2}[/texx]  serán  cuadrados.

6)    Entonces tendremos que:  [texx]a_2^2-b_2^2=\pmb{B}^2[/texx]  [texx]\wedge\,\,\,\,\,...[/texx]

     [texx](b_2,\pmb{B},a_2)\in{(2a_3b_3,a_3^2-b_3^2,a_3^2+b_3^2)}[/texx]

    [texx]\left({\dfrac{x}{4\,\pmb{AB}}\right)^2=(a_3^2+b_3^2)a_3b_3[/texx]

    Y todo el proceso anterior se podrá repetir indefinidamente.


7)    De esta forma, sustituyendo, podremos comprobar que:


    [texx]A^2=a_1^2+b_1^2=(a_2^2+b_2^2)^2[/texx]

    [texx]B^2=a_2^2-b_2^2=(a_3^2-b_3^2)^2[/texx]

    [texx]C^2=a_3^2+b_3^2=(a_4^2+b_4^2)^2[/texx]

         [texx]...[/texx]    [texx]...[/texx]    [texx]...[/texx]

    [texx]M_{2n-1}^2=a_{2n-1}^2+b_{2n-1}^2=(a_{2n}^2+b_{2n}^2)^2[/texx]

    [texx]M_{2n}^2=a_{2n}^2-b_{2n}^2=(a_{2n+1}^2-b_{2n+1}^2)^2[/texx]


Por lo que:  [texx]a_1^2+b_1^2\,>\,a_2^2+b_2^2\,>\,a_2^2-b_2^2\,>\,a_3^2-b_3^2[/texx] .  Y como si:  [texx]a_2^2-b_2^2\,>\,a_3^2-b_3^2[/texx] ,  entonces:  [texx]a_2^2+b_2^2\,>\,a_3^2+b_3^2[/texx] ;  tendremos que:  [texx]a_1^2+b_1^2\,>\,a_3^2+b_3^2[/texx]  y el proceso decreciente continuará sin término.


8)  Pero entonces  " [texx]x^2[/texx] "  tendrá infinitos factores enteros cada vez más pequeños: [texx]...\,\,\,E^2\,<\,C^2\,<\,A^2[/texx] ;  y esto no es posible.


Un saludo,
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  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
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