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Autor Tema: Otro camino  (Leído 5868 veces)
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minette
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« : 13/02/2015, 01:12:15 pm »

Hola

Suponemos [texx]a^{n}+b^{n}=c^{n}\rightarrow a^{n}=c^{n}-b^{n}(n\geq3)[/texx]

[texx]a^{2n}=c^{2n}-2c^{n}b^{n}+b^{2n}\rightarrow a^{2n}-c^{2n}=b^{2n}-2c^{n}b^{n} [/texx]

Si esta igualdad es posible, también lo es:

[texx]c^{2n}-a^{2n}=2c^{n}b^{n}-b^{2n}[/texx]

tenemos [texx]c^{2n}+a^{2n}<2c^{n}b^{n}+b^{2n} [/texx]

Multiplicamos los dos primeros miembros y los dos segundos:

[texx]c^{4n}-a^{4n}<b^{2n}(4c^{2n}-b^{2n}) (1)[/texx]

Veamos si esto es correcto:

[texx](c^{2n}+a^{2n})(c^{2n}-a^{2n})<b^{2n}(4c^{2n}-b^{2n})[/texx]

tenemos

[texx]c^{2n}+a^{2n}<4c^{2n}-b^{2n} [/texx]

[texx]c^{2n}-a^{2n}>b^{2n}[/texx]

Y también

[texx]c^{2n}+a^{2n}<4c^{2n}-b^{2n} [/texx]

[texx]a^{2n}-c^{2n}<-b^{2n}[/texx]

Multiplicando ambas desigualdades

[texx]a^{4n}-c^{4n}<b^{4n}-4c^{2n}b^{2n}[/texx]

[texx]a^{4n}-c^{4n}<b^{2n}(b^{2n}-4c^{2n}) [/texx]

Multiplicamos por (-1)

[texx]c^{4n}-a^{4n}>b^{2n}(4c^{2n}-b^{2n}) [/texx]

Lo cual se contradice con (1)

por tanto [texx]a^{2n}\neq c^{2n}-2c^{n}b^{n}+b^{2n} [/texx]

y [texx]a^{n}+b^{n}\neq c^{n}[/texx]

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/02/2015, 02:49:29 pm »

Hola

Caes en el mismo error que aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69807.15

De hecho lo que intentas hacer es casi lo mismo:

[texx]c^{2n}+a^{2n}<4c^{2n}-b^{2n} [/texx]

[texx]a^{2n}-c^{2n}<-b^{2n}[/texx]

Multiplicando ambas desigualdades

[texx]a^{4n}-c^{4n}<b^{4n}-4c^{2n}b^{2n}[/texx]

En la segunda desigualdad los términos son negativos; por tanto al multiplicar ambas inecuaciones no tiene porqué conservarse la desigualdad. Es exactamente lo que te había comentado en el hilo que cité arriba:

Se usa que si:

 [texx]U>V[/texx] y [texx]P>Q[/texx] entonces [texx]U\cdot P>Q\cdot V[/texx]
 
 Pero eso es cierto sólo si [texx]V,Q>0. [/texx]

Saludos.

P.D. Una vez más en tu intento de demostración tampoco interviene de manera trascendente que [texx]n>2[/texx] ó que los números implicados sean enteros. Otro síntoma de que tiene que ser errónea.
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minette
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« Respuesta #2 : 16/02/2015, 08:17:28 am »

Hola

Se afirma que la ecuación [texx]a^n+b^n=c^n[/texx] tiene raíces que la cumplen con números no enteros.

¿Podría alguien ponerme un ejemplo de una terna con tales citados números?

Saludos
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minette
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« Respuesta #3 : 16/02/2015, 08:50:16 am »

Hola

En mi anterior respuesta 2 me he olvidado de decir que el_manco, en su respuesta 1, tiene más razón que un santo.

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #4 : 16/02/2015, 11:15:02 am »

Hola

Se afirma que la ecuación [texx]a^n+b^n=c^n[/texx] tiene raíces que la cumplen con números no enteros.

¿Podría alguien ponerme un ejemplo de una terna con tales citados números?

Pues escoge valores cualesquiera para [texx]a,b[/texx] y toma:

[texx] c=\sqrt[n]{a^n+b^n}[/texx]

Por ejemplo [texx]a=1[/texx], [texx]b=1[/texx] y [texx]c=\sqrt[3]{2}[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 16/02/2015, 11:37:27 am »

Hola,

Se afirma que la ecuación [texx]a^n+b^n=c^n[/texx] tiene raíces que la cumplen con números no enteros.

¿Podría alguien ponerme un ejemplo de una terna con tales citados números?


Cualquier terna de números:  [texx]a^{\frac{1}{n}}\,,\,b^{\frac{1}{n}}\,,\,c^{\frac{1}{n}}[/texx] , que cumpla que:  [texx]a^n+b^n-c^n=0[/texx] , por ejemplo; donde sería tan fácil como hacer esto:  [texx]A+B-C=0[/texx] .

Aprovecho la ocasión para desde mi experiencia en estos temas (experiencia de fracasos pero al fin y al cabo experiencia), de insistirte en algo que te sugiere muchas veces el_manco y que me parece que no estás teniendo en cuenta (esto quiere ser una crítica constructiva eh  :guiño: ). Si haces una buena deducción a partir de unas premisas tan simples como que  [texx]A+B=C[/texx]  -entiéndeme-, no vas a encontrar nunca -o no deberías encontrar- una situación en la que se dé por ejemplo que  [texx]a=b[/texx]  o que  [texx]par=impar[/texx] ; lo que deberías buscar más bien son situaciones que cuestionen la naturaleza entera de las variables  [texx]A,B\vee C[/texx] ; como por ejemplo que puedan ser cantidades (éstas) que se puedan dividir o multiplicar infinitamente o cosas así. Otra cosa que me ha pasado es que cuando he llegado a la conclusión que  [texx]A,B\vee C[/texx]  puedan ser decimales, se me desvanezca el argumento con sólo convertirlas en razones entre 2 números enteros  [texx]\displaystyle\frac{A}{B}[/texx] , donde de nuevo la condición "entera" me quedaba intacta.

En fin, no sé si te habré ayudado pero esa era la intención.

Un saludo,


PD. No había visto la respuesta anterior de el_manco, la acabo de ver
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  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
minette
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« Respuesta #6 : 16/02/2015, 03:13:30 pm »

Hola

Gracias Proyecto.

Gracias el_manco.

[texx]a=1[/texx] es entero
[texx]b=1[/texx] es entero

El ejemplo que me pones (no indicas el valor de n) es parecido a este:

[texx]a=\sqrt[n ]{3}[/texx]
[texx]b=\sqrt[n ]{7}[/texx]
[texx]c=\sqrt[ n]{10}[/texx]

[texx](\sqrt[n ]{3})^n+(\sqrt[ n]{7})^n=(\sqrt[n ]{10})^n[/texx]

Saludos
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« Respuesta #7 : 17/02/2015, 01:28:02 pm »

Hola

[texx]a=1[/texx] es entero
[texx]b=1[/texx] es entero

El ejemplo que me pones (no indicas el valor de n)

Me refería, claro, para [texx]n=3[/texx].

Cita
es parecido a este:

[texx]a=\sqrt[n ]{3}[/texx]
[texx]b=\sqrt[n ]{7}[/texx]
[texx]c=\sqrt[ n]{10}[/texx]

[texx](\sqrt[n ]{3})^n+(\sqrt[ n]{7})^n=(\sqrt[n ]{10})^n[/texx]

Si.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 18/02/2015, 01:29:09 pm »

Hola

En mi respuesta 2 pedía algún ejemplo de números no enteros cumpliendo la igualdad [texx]a^n+b^n=c^n[/texx]

Tanto el ejemplo de el_manco como el mío son ternas podríamos decir de perogrullo.

Pregunto ¿todos los ejemplos han de ser de este estilo?

Saludos.
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« Respuesta #9 : 18/02/2015, 01:50:38 pm »

Hola

En mi respuesta 2 pedía algún ejemplo de números no enteros cumpliendo la igualdad [texx]a^n+b^n=c^n[/texx]

Tanto el ejemplo de el_manco como el mío son ternas podríamos decir de perogrullo.

Pregunto ¿todos los ejemplos han de ser de este estilo?

No sé muy bien que quieres decir con "de este estilo" o "de perogrullo". La cuestión está contestada con toda generalidad aquí:

Pues escoger valores cualesquiera para [texx]a,b[/texx] y toma:

[texx] c=\sqrt[n]{a^n+b^n}[/texx]

Todas solución de la ecuación se rige por esa fórmula. A partir de ahí todo depende de que valores le des a [texx]a,b,n[/texx]. Por ejemplo si quieres algo más voluptuoso puedes tomar:

[texx]n=5,\quad a=\pi+e^7,\quad b=cos(sin(ln(20)),\quad c=\sqrt[5]{(\pi+e^7)^5+(cos(sin(ln(20)))^5}[/texx]

No sé si te parece tan de perogrullo como las otras (¡a mi si!). Fuegos de artificio en definitiva.

Saludos.
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Piockñec
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« Respuesta #10 : 18/02/2015, 10:35:21 pm »

Considéralo una función de dos variables con un parámetro (o 3 variables, si en vez de considerar n como parámetro lo consideras variable):

[texx]c=f(a,b;n)[/texx], una superficie cambiante según n, vista en 3D. Mañana tengo examen, y hoy también, así que no tengo tiempo de ploteártelo, pero se hace rápido :sonrisa: Esa sería la superficie que cumplen la igualdad. El teorema de Fermat se cumplirá si los puntos de las superficies correspondientes a [texx]n>2[/texx] no tienen coordenadas enteras, siendo las coordenadas a,b,c (esto de las coordenadas lo puedes ver mejor si enuncias el teorema de Fermat con otras letras, [texx]x^n+y^n=z^n[/texx]).

Visto de otra forma, puedes considerar [texx]F(a,b,c)=0[/texx] como una función escalar de tres variables (temperatura en el espacio de tres dimensiones, por ejemplo), en la que las raíces no pueden tener, nunca, las tres coordenadas enteras (La temperatura igual a 0 no se alcanza en ningún punto con coordenadas enteras).

Y visto de otra forma, puedes considerar [texx]dF=0\Rightarrow{}F(a,b,c)=C[/texx], con
[texx]dF=na^{n-1}da+nb^{n-1}db-nc^{n-1}dc=0\Rightarrow{}a^{n-1}da+b^{n-1}db-c^{n-1}dc=0[/texx]

Lo curioso de esto es que el gradiente te queda... los [texx]a^n,b^n,c^n[/texx] del teorema de Fermat pero n con 1 unidad menos. ¡De aquí se puede sacar una forma de demostrar el teorema de Fermat (entero, para todo n>2) pensando un poco seguro!

EDITO A CONTINUACIÓN
Ploteo de la función [texx]c=f(a,b;n)[/texx] para [texx]n=1,2,3,4[/texx]

Spoiler: ploteo (click para mostrar u ocultar)

Las primeras dos imágenes corresponden a n=1 y a n=2. En ellas sucede que se pueden encontrar posiciones x,y enteras cuya z correspondiente, dada por la superficie, es también entera. En las otras dos superficies, pese a ser tan parecidas, ya no tienen esa facultad (teorema de Fermat)

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