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Autor Tema: Reflexión sobre el infinito  (Leído 23868 veces)
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LauLuna
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« Respuesta #40 : 02/12/2005, 12:06:06 pm »

A ver si nos aclaramos.

Cristian dijo que la única manera de demostrar que un conjunto tiene cardinal 2 elevado al cardinal de N es demostrar que es biyectable con el conjunbto potencia de N.

Por eso digo que primero habrá que demostrar la afirmación (usualmente admitida) de que el conjunto potencia de N tiene ese cardinal. Y, como dice Numerarius, eso se consigue sólo mediante una extrapolación por analogía desde lo finito a lo infinito.

Cuidado: 2 elevado a N no significa nada, ni un cardinal ni un conjunto potencia. En cambio, 2 elevado AL CARDINAL de N es un cardinal pero no un conjunto potencia, No es una notación para designar a un conjunto potencia sino al cardinal de un conjunto potencia.

No fue Zermelo sino Cantor quien demostró que el conjunto potencia de cualquier conjunto C NO ES BIYECTABLE con C. Exactamente eso dice el conocido teorema de Cantor.

Lo que quiero daros a entender es que toda la aritmética transfinita se basa en la suposición de que se pueden aplicar a cardinales y ordinales transfinitos las mismas operaciones que a los finitos. Para eso se definen las operaciones de modo que, además de quedar definidas para los transfinitos, se comporten de la manera esperada en los números finitos.

Y esto es, por lo que sabemos, posible sin inconsistencia.

Ahora bien, si es legítimo entender esa aritmética extendida a lo transfinito como una "extensión natural" del contar finito, como pretendían Hilbert y Gödel, o, por el contrario, las operaciones cambian de significado al pasar a lo transfinito (como diría yo), es cuestión de interpretación.

Saludos.
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tzafriri
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« Respuesta #41 : 02/12/2005, 12:07:57 pm »

¿Por qué se dice que el cardinal del conjunto de las partes de N es 2^N? Obviamente, porque el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto es siempre 2^C (siendo C el cardinal de dicho conjunto).

Simplemente por que se puede hacer una biyeccion entre P(A) y el conjunto de funciones f:A -> {0,1}, este ultimo conjunto por definición tiene cardinal [texx]Card(\left\{0,1\right\})^{Card(A)} = 2^{Card(A)}[/texx].

No estoy de acuerdo en que decir que el cardinal del continuo es 2^N sea, exclusivamente, un asunto de "notación". En ese caso la hipótesis del continuo (la suposición de que no existe un cardinal transfinito entre N y 2^N) carecería de sentido. Cierto que la hipótesis del continiuo es un enunciado incierto, pero no creo que carezca de sentido.

En realidad el cardinal de [texx]\mathbb{R}[/texx] que [texx]c[/texx], y se demuestra que [texx]\mathbb{R}[/texx] es equipotencial a [texx]P(\mathbb{N})[/texx], o sea que [texx]c = 2^{\aleph_0}[/texx].
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tzafriri
Visitante
« Respuesta #42 : 02/12/2005, 12:14:22 pm »

A ver si nos aclaramos.

...

Ahora bien, si es legítimo entender esa aritmética extendida a lo transfinito como una "extensión natural" del contar finito, como pretendían Hilbert y Gödel, o, por el contrario, las operaciones cambian de significado al pasar a lo transfinito (como diría yo), es cuestión de interpretación.

Saludos.

Estoy completamente de acuerdo con todo lo que afirmas.
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Cristian C
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« Respuesta #43 : 02/12/2005, 05:05:30 pm »

Cito a Lauluna:

Cita
Cristian dijo que la única manera de demostrar que un conjunto tiene cardinal 2 elevado al cardinal de N es demostrar que es biyectable con el conjunbto potencia de N.

Por eso digo que primero habrá que demostrar la afirmación (usualmente admitida) de que el conjunto potencia de N tiene ese cardinal

Ahí va:

#(P(N)) = 2#(N)

Por notación.

En efecto, fuera de esta definición de nomenclatura (al cardinal de ésto lo anoto así), 2#(N) carece de significado.
Si para tí tiene un significado independiente del que queda definido arriba, por favor dímelo porque yo no le conozco otro.

En rigor, estoy pidiendo lo que ya pregunté

1. Definir claramente 2N

2. Probar que el [texx]\displaystyle\lim_{n \to\infty}2^n=2^\mathbb{N}[/texx]

Donde N es el cardinal de los naturales.

Yo acabo de hacer lo primero y digo que lo segundo es falso. Solo podemos decir que

[texx]\displaystyle\lim_{n \to\infty}2^n=+\infty}[/texx]

porque el límite de una sucesión o es finito o es infinito o no existe. No hay definiciones de distintos infinitos para el límite de una sucesión.

Expresiones como "extensión natural" o "extrapolación" carecen de sentido en matemática. Si una afirmación se desprende de otra u otras, debe exhibirse la cadena de razonamientos que lleva de la primera a la segunda.

En en marco de la teoría de conjuntos, una afirmación verdadera es un axioma y viene dado, es una definición y viene dada o es un teorema y viene demostrado. En ese marco, no entiendo qué és que una afirmación provenga de una "extensión natural" o una "extrapolación" porque no conozco la lógica de esos procedimientos que mencionan.

Saludos.



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El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.
teeteto
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« Respuesta #44 : 02/12/2005, 05:19:35 pm »

Quizás esto aporte algo o quizás no:
Dados A y B conjuntos cualesquiera (finitos o infinitos) definimos lo siguente:

[texx]A^B=\{f:B\longrightarrow A\ |\ f\ aplicacion\}[/texx]

Si admitimos la definición de [texx]2=\{0,1\}[/texx] que por lo demás está universalmente aceptada, entonces resulta que, con esta definición [texx]P(A)=2^A[/texx]

Ahora, si [texx]A=\mathbb{N}[/texx] podemos pensar en la siguiente cadena de SUBCONJUNTOS:

[texx]\emptyset\subseteq 1\subseteq 2\dots\subseteq n\subseteq\dots \mathbb{N}[/texx]

Se dice que [texx]\mathbb{N}[/texx] es el límite directo de la serie y bastaría ver que el cardinal de un límite directo es el límite de los cardinales.

Saludos
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« Respuesta #45 : 05/12/2005, 07:54:03 am »

Hola Carlos.

Primero conviene aclarar al foro que Carlos vuelve al tema anterior que se trataba en este hilo, antes del redireccionamiento de Numerarius sobre 2N.
Dicho esto, respondo a Carlos.

La representación de los enteros que encontré utilizando números positivos de  infinítos dígitos asocia el -1 de la representación usual con el ...999999 (infinitos dígitos 9). Pero no hay ningún número de infinitos dígitos que se asocie al cero.

El resultado de hacer ...99999 + 1 es cero. El cero de siempre (representado en el nuevo sistema de números por infinitos dígitos cero).

Por eso, no se trata de un cambio de origen. El cero sigue siendo el cero. Pero ya no hay negativos. Funcionan como tales estas cosas:

...9999, que más uno es cero y al cuadrado es ...00001
...9998, que más 2 es cero y al cuadrado es ...00004
...9997, que más 3 es cero y al cuadrado es ...00009
...9996, que más 4 es cero y al cuadrado es ...000016

etc.

Hablar del infinito es complicado porque constituye una impresición. Pero en todo caso, el menos infinito que mencionas, ya no existe como no existe ningún negativo. El más infinito queda ahora apenas a la izquierda del cero, geometricamente.

He pensado que si pudieramos completar los intervalos sobre esta estructura de enteros que propongo, el cero estaría practicamente asociado al ....99999,99999.... .

Saludos.






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« Respuesta #46 : 05/12/2005, 12:05:29 pm »

Vuelvo a lo de 2 elevado a /N/, siendo esto último el cardinal de N, para responder a Cristian con la ayuda de Teeteto.

Cristian sugiere que hay un abismo entre 2 elevado a n y 2 elevado a /N/ que no se puede salvar con el paso al límite. Y tiene razón. Tampoco acepta una "extensión por analogía" con los casos finitos, porque eso le parece poco matemático o poco comprensible en general.

Opta por entender que la igualdad /P(N)/ = 2 elevado a /N/ es una definición, una forma de notación.

Cabría preguntar: ¿se ha escogido esa notación arbitrariamente?

En las axiomáticas de conjuntos esa igualdad no aparece como un axioma sino como un teorema, una vez que hemos definido convenientemente la exponenciación para los cardinales conjuntistas. Y la definición usual es la que da Teeteto: A elevado a B es el conjunto de la aplicaciones de B en A; a partir de ahí es fácil demostrar que, para todo A, existe una biyección entre P(A) y 2 elevado a A. Recordemos que la igualdad de cardinalidad se define en teoría de conjuntos como biyectabilidad.

Lo importante es ver que esa definición en términos conjuntistas preserva, para el caso de los cardinales conjuntistas finitos, todos los resultados pertinentes de la aritmética usual. Por eso suele entenderse como una "extensión natural", en el sentido técnico de que hay una inmersión de la aritmética usual en la aritmética conjuntista.

Esto hace difícil admitir que la igualdad en cuestión es sólo una definición de notación. Si así fuese, sería totalmente arbitraria, y no lo es: se basa en una precisa definición de exponenciación e igualdad para los cardinales conjuntistas.

Ahora fijaos en que el conjunto de las aplicaciones de N en 2 (={0, 1} ) es el conjunto de las funciones características de los subconjuntos de N, con lo que tenemos una biyección de los elementos de P(N) con las secuencias infinitas numerables de 0's y 1's. Y esta es la línea de razonamiento que inició Numerarius.

Sólo puedo decir que mediante "extensiones analógicas" como estas es como se han construido los distintos conjuntos de números (desde los racionales hasta los no estándar de Robinson) a partir de N.

Saludos.
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tzafriri
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« Respuesta #47 : 05/12/2005, 06:42:27 pm »

Creo que en esta conversacion llegamos a un punto donde los animos estan demasiado encontrados...

Estoy de acuerdo con lauluna en que #P(A) = 2#A no es notacion sino la extension de una analogia de los enteros hacia los cardinales.

Lo que me parece incorrecto es creer que una analogia puede justificar, si n tiene a infinito entonces 2n tiende a [texx]2^{\aleph_0}[/texx] es algo que hay que justificar, pasar de los enteros a los cardinales tiene que ser algo mas que una cuestion de fe.
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Cristian C
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« Respuesta #48 : 06/12/2005, 07:32:30 am »

Muy bueno el aporte de Teeteto. No se me había ocurrido pensar en 2N como el conjunto de aplicaciones de N en 2 considerando al 2 en su versión conjuntista.

No creo Tzafriri que los ánimos esten "encontrados". Creo que estamos discutiendo tranquilamente. Coincido con lo demás que dices.

Cito ahora a Lauluna:

Cita
Ahora fijaos en que el conjunto de las aplicaciones de N en 2 (={0, 1} ) es el conjunto de las funciones características de los subconjuntos de N, con lo que tenemos una biyección de los elementos de P(N) con las secuencias infinitas numerables de 0's y 1's. Y esta es la línea de razonamiento que inició Numerarius.

Sí Lauluna, pero esa no fue la línea iniciada por Numerarios. El pensó en una extensión del cálculo de variaciones el caso de exponente infinito.

Mi primera respuesta a Numerarius fue, precisamente mostrar esa biyección que mencionas entre P(N) y las secuencias infinitas numerables de ceros y unos (mantisas de reales en base 2 del [0,1)). Con esto último que anotas, coincido plenamente.

Y una duda. Cuando dices:

Cita
Lo importante es ver que esa definición en términos conjuntistas preserva, para el caso de los cardinales conjuntistas finitos, todos los resultados pertinentes de la aritmética usual. Por eso suele entenderse como una "extensión natural", en el sentido técnico de que hay una inmersión de la aritmética usual en la aritmética conjuntista.

En cuanto a la "aritmética conjuntista" ¿qué es? Entiendo que el álgebra conjuntista es el algebra de Boole que se configura con conjuntos con union, intesección y complemento. Pero no sé que es la aritmética conjuntista que refieres.

En la teoría de conjuntos, la aritmética usual se construye con conjuntos y operaciones entre conjuntos.
Allí se define 0=[texx]\emptyset[/texx] y n+1 = n [texx]\cup{}[/texx] {n}
Pero esa no es una aritmética conjuntista distinta de la aritmética usual, sino la aritmética usual construida con conjuntos.

Saludos.
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« Respuesta #49 : 06/12/2005, 08:50:48 pm »

La aritmética conjuntista es la aritmética transfinita.

Los conceptos conjuntistas se definen en un lenguaje que utiliza sólo la notación lógica habitual (generalmente de primer orden) y el relator binario de pertenencia de un elemento a un conjunto. Con eso, los axiomas usuales y las reglas de inferencia de la lógica de primer orden tenemos las axiomáticas conjuntistas.

Los axiomas de ZFC o NBG permiten construir el universo conjuntista como tú sugieres: así construimos primero los ordinales finitos; añadiendo la regla de construcción del supremo, como la unión de todos los miembros de una secuencia infinta estrictamente creciente, obtenemos los ordinales límite, que ya son transfinitos, empezando por omega.

De los axiomas (que no del método de construcción señalado) se deduce que existen ordinales no numerables y, de hecho, ordinales mayores que cualquier cardinalidad dada. De entre los números ordinales escogemos los cardinales como aquellos ordinales que no tienen antecesores de su misma cardinalidad.

Definimos luego las operaciones aritméticas usuales para los ordinales y cardinales. Naturalmente esto se hace a partir de nociones conjuntistas como las que aparecen en el álgebra de conjuntos, pero finalmente se obtienen definiciones de suma, producto y exponenciación que, para los ordinales y cardinales finitos, funcionan igual que las operaciones aritméticas con naturales (por eso decimos que en la teoría de conjuntos hay una representación de la aritmética ordinaria) pero que se extienden también a los números transfinitos de manera al parecer consistente. Esta es finalmente la aritmética conjuntista, la que abarca lo finito y lo transfinito y en la que las operaciones aritméticas están "extendidas" de ese modo.

La representación conjuntista de los números naturales es a mi juicio sólo eso: una representación. No estamos obligados a tomar los ordinales finitos como los verdaderos números naturales sino sólo como una estructura isomorfa con la de ellos. No todos aceptaron la teoría de conjuntos como fundamentación de la matemática (no lo hicieron por ejemplo Poincaré o Wittgenstein). Pero la mayoría de los matemáticos o filósofos de la matemática son todavía hoy "estructuralistas" al estilo de Bourbaki: para ellos las matemáticas son la ciencia de las estructuras, y , en consecuencia, dos estructuras isomorfas son la misma única estructura.

Espero que esto aclare algo.

Saludos.

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« Respuesta #50 : 07/12/2005, 10:45:27 am »

Hola Lauluna.

Creo que, en general, hablamos de lo mismo pero con lenguajes distintos.
De todos modos, me cuesta entender el significado preciso de algunos giros que utilizas.

Te cito:

Cita
Definimos luego las operaciones aritméticas usuales para los ordinales y cardinales. Naturalmente esto se hace a partir de nociones conjuntistas como las que aparecen en el álgebra de conjuntos, pero finalmente se obtienen definiciones de suma, producto y exponenciación que, para los ordinales y cardinales finitos, funcionan igual que las operaciones aritméticas con naturales (por eso decimos que en la teoría de conjuntos hay una representación de la aritmética ordinaria) pero que se extienden también a los números transfinitos de manera al parecer consistente. Esta es finalmente la aritmética conjuntista, la que abarca lo finito y lo transfinito y en la que las operaciones aritméticas están "extendidas" de ese modo.

Tengo clara la reconstrucción conjuntista de la axiomática de Peano. Lo que no veo es como las operaciones allí, se extienden también a los números transfinitos de manera al parecer consistente, como tu dices.

Existen muchas propiedades que valen para los cardinales finitos (o los naturales, que son isomorfos) con las operaciones, que no valen para los cardinales transfinitos.
Concretamente, en N, sumando la unidad a cualquier elemento, vas generando todos los siguientes. Si partes del 1, generas N. Partiendo de cualquier número distinto de 1 puedes generar infinitos números distintos multiplicando por 2; otros infinitos multiplicando por 3, etc. Ninguna de las dos cosas ocurre con los cardinales transfinitos.

#N + k = #N * k =#N para cualquier k[texx]\leq{}[/texx]#N

Y lo mismo vale si tomas cualquier otro aleph, en lugar de #N.

Me resulta pues dificil ver cómo la suma y el producto se "extienden" a los transfinitos cuando su funcionamiento allí es tan pobre.

Aún en el caso de que x e y sean ambos transfinitos, tienes que:

x+y = x*y = max({x,y})

¿Cuál es la ventaja de esta extensión?
Cuando uno (o ambos) término o factor es transfinito, la suma y el producto ¡Son la misma operación!  Me cuesta ver esto como una "extensión natural de la aritmética finita para el caso trasnfinito".

Prefiero decir que el comportamiento aritmético de los cardinales transfinitos es completamente diferente del comportamiento de los finitos y que, por lo tanto, no se pueden extrapolar las propiedades de los primeros a los segundos, que es lo que vengo diciendo desde que Numerarius propuso ver que #(2N) = 2#N porque se puede extrapolar del caso finito.

Saludos.




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« Respuesta #51 : 08/12/2005, 12:15:44 pm »

A ver, Cristian,

el que las operaciones aritméticas definidas para los cardinales conjuntistas se comporten de manera diferente en los aspectos que citas en los cardinales infinitos y en los cardinales finitos no impide que puedan ser definidas como operaciones únicas para todos los cardinales.

Tomemos la suma. Para dos cardinales conjuntistas X, Y la suma es el cardinal de una unión de X e Y en la que hemos tenido cuidado de hacer previamente distintos a los elementos comunes de X e Y para que aparezcan dos veces en la unión (tomas por ejemplo el cardinal de la unión de X x {0} e Y x {1}). Si defines así la suma (sobre la base de operaciones conjuntistas) podrás demostrar tanto las propiedades usuales de los cardinales finitos como las que tú señalas en los cardinales infinitos, por ejemplo, que el mayor simplemente absorbe al menor. Ciertamente tendrás resultados diferentes con los cardinales finitos y los infinitos, pero habrás definido, en términos conjuntistas, una operación única para todos ellos. En este sentido se trata de una extensión.

Creo que en realidad lo que tienes que plantearte es si para ti tiene algún sentido legítimo (lógico o filosófico) el hablar de cardinales infinitos y de operaciones aritméticas con ellos. Para mí no tiene ningún sentido (filosóficamente me parece, como a Poincaré, una broma monumental). Para mí el infinito no es un número cardinal y, por tanto, no creo que existan conjuntos infinitos más numerosos que otros conjuntos infinitos etc. Simplemente acepto que hay conjuntos sin cardinalidad a los que podemos llamar "infinitos" y que entre ellos se pueden definir operaciones y relaciones como la relación de biyectabilidad o no biyectabilidad, que quienes aceptan cardinales infinitos toman como igualdad o desigualdad de cardinalidad.

Lo importante es distinguir los aspectos formales de la teoría de conjuntos, (definiciones, axiomas y reglas de inferencia) que dan lugar al "paraíso de Cantor", de su interpretación filosófica. ESTA ES LA CLAVE. Sería un error desechar el paraíso de Cantor, en el que hay demostraciones rigurosas y resultados fascinantes, sólo porque la interpretación estándar sea lógica y filosóficamente dudosa. Estás en tu derecho si crees que esas operaciones no son en los cardinales infinitos verdaderas sumas o productos en el sentido en el que lo son en los cardinales finitos. Pero eso no debe indisponerte con la teoría de conjuntos o con la aritmética transfinita, sino con su interpretación usual.

De hecho para trabajar con los resultados de la teoría de conjuntos no tenemos que admitir siquiera que existan conjuntos... Basta con estudiar qué se deduciría de la existencia de unos objetos a los que llamamos "conjuntos" y a los que definimos a través de los axiomas. A lo mejor te interesa la crítica filosófica que Weaver hace a la teoría de conjuntos en http://www.math.wustl.edu/~nweaver/concept.pdf .

Saludos.
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« Respuesta #52 : 08/12/2005, 09:01:32 pm »

Creo que te fuiste del tema.

Dijo Numerarius:

Cita
Mi idea es que el número de decimales de un número irracional es infinito numerable. Por tanto para definir un número real entre 0 y 1 (dejando, como bien dices, 1 fuera del conjunto) se debería dar un número infinito numerable de dígitos.

Ahora, supóngase que el número real está en base 2. Por tanto tenemos variaciones con repetición de dos signos para N lugares (utilizo N como el cardinal de los naturales). Esto sería 2^N.

Y yo respondo que las variaciones con repeticiòn y toda la combinatoria, se aplica a conjuntos finitos, no a conjuntos infinitos.
La idea siguiente:

 "Las variaciones con repetición se pueden aplicar a conjuntos infinitos porque la aritmetica finita se puede extender a los cardinales transfinitos"

es falaz.

Hay propiedades aritméticas que solo valen para el caso finito y no para el caso infinito.

Esto es así aunque se quiera ver a las operaciones de suma y producto como extendibles al caso infinito. Esas extensiones cumplen propiedades distintas cuando se aplican a los cardinales finitos o a los infinitos. Y esa afirmaciòn que pongo entre comillas sifgue siendo falaz.

No estoy hablando de otra cosa.

Saludos.
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« Respuesta #53 : 08/12/2005, 09:13:33 pm »

Pero si quieres hablar de un costado más filisófico del tema, me gustó cuando pusiste esto:

Cita
La representación conjuntista de los números naturales es a mi juicio sólo eso: una representación. No estamos obligados a tomar los ordinales finitos como los verdaderos números naturales sino sólo como una estructura isomorfa con la de ellos. No todos aceptaron la teoría de conjuntos como fundamentación de la matemática (no lo hicieron por ejemplo Poincaré o Wittgenstein). Pero la mayoría de los matemáticos o filósofos de la matemática son todavía hoy "estructuralistas" al estilo de Bourbaki: para ellos las matemáticas son la ciencia de las estructuras, y , en consecuencia, dos estructuras isomorfas son la misma única estructura.

Aquí asumes que los numeros naturales son una cosa diferente que las estructura conjuntistas por medio de la cuál se representan. ¿Que son entonces?

Mantuve un interesante intercambio con Carsecor hace un tiempo sobre eso. Allí sostuve que los naturales no son pura abstracción, que tienen de alguna manera un asidero en la realidad que los sistemas axiomaticos tratan de representar.

La discusión está aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=763.0

a partir del 15/9/05.

Saludos.

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« Respuesta #54 : 12/12/2005, 12:29:03 pm »

Cristian,

tienes razón en afirmar que el hecho de que una operación cumpla una propiedad para los números finitos no implica sin más que la cumpla también para los infinitos.

Lo que aquí se necesita es una "mediación". Algo como lo que sigue.

Tenemos dos conceptos: por una parte, el número de variaciones con repetición de 2 elementos tomados de r en r, y, por otra,  el número 2^r.

Ambos números son el mismo para r finito. ¿Cómo justificamos que lo sean también para r infinito?

Proponemos un concepto mediador: número de aplicaciones de un conjunto de r elementos en un conjunto de 2 elementos; este número es claramente de carácter combinatorio; lo solemos concebir a partir de combinaciones posibles. Esto hace fácil el paso desde el número de variaciones al número de aplicaciones, con independencia de que r sea finito o infinito.

Y si ahora definimos 2^r precisamente como el número de aplicaciones de un conjunto de r elementos en un conjunto de 2 elementos, entonces parece que podemos pasar del número de variaciones al número 2^r, para cualquier r, finito o infinito.

Esto no es una demostración, es simplemente una definición fundamentada por una mediación. Por tanto, no puramente arbitraria o convencional.

No se me oculta que siempre queda un resquicio en el paso de lo finito a lo infinito. Por eso digo que no se trata de una demostración, sino de una definición fundamentada.

Estoy de acuerdo que los números naturales tienen "contenido propio"  y no son sólo un tipo de estructura. Ese contenido o naturaleza puede ser de origen empírico (es decir, otorgado por la realidad sensible) o puramente racional "a priori". Intentaré leer la línea de mensajes que me señalas.

Gracias. Saludos.
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« Respuesta #55 : 20/01/2006, 02:19:25 pm »


En Teoria de Conjuntos se puede definir operaciones de suma, producto y potencia entre cardinales, pero no rspetan todas las leyes de la aritmetica ordinaria, claro.

Se puede probar que, si A es un elemento cualquiera de la clase a la que pertence card(A), y B un elemento cualquiera de la clase a la que pertence card(B), entonces todos los conjuntos de funciones
[texx]C^D=[f\|f:D\rightarrow{C}\;\;\text{aplicacion}][/texx]
son equivalentes por biyecciones, o sea, tienen, el mismo cardinal, y coincide con el de
[texx]A^B=[f\|f:B\rightarrow{A}\;\;\text{aplicacion}][/texx]

Esto le da sentido a la notación [texx]2^{\aleph_0}[/texx], y no es una mera notación. Significa que para cualquier conjunto A de 2 elementos, y cualquier conjunto B biyectivo a N (los naturales), el conjunto de aplicaciones [texx]A^B[/texx] tiene siempre el mismo cardinal, o sea, son todos conjuntos equipotentes. Y más aún, se demuestra que cualquiera de esos conjuntos pueda biyectarse con el conjunto de los números reales.

Se puede escribir una expresion de la forma [texx]7^{\aleph_0}[/texx]. Al hacer el ''calculo'', se obtendrá que [texx]7^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\#(\mathbb{R})[/texx]
Para probar eso, simplemente se deben construir las biyecciones apropiadas.

El uso del 2 en vez del 7 es sólo cuestión de costumbre.

He visto una aparente controversia entre esta definción de potencia de cardinales y una noción intuitiva de limites entre cardinales.

En realidad se puede hablar de límites entre cardinales.
Para hacerlo, previamente hay que restringirse a una ''parte'' de los cardinales, que no los abarque todos, porque la clase de todos los cardinales no son un conjunto.

Tomamos un cardinal prefijado [texx]\alpha[/texx], y nos quedamos con la clase E de todos los cardinales que ''preceden'' a [texx]\alpha[/texx]. En tal caso, E es un CONJUNTO.

Se sabe que los cardinales están dotados de un orden lineal. Además es un buen orden, lo cual implica que satisface la propiedad de la minima cota superior.
En efecto, sea [texx]A\subset{E}[/texx] no vacío, y supongamos que A está ''acotado'' de tal modo que haya un elemento [texx]e\in E[/texx] que es mayor o igual que todo elemento de A. O sea, [texx]e[/texx] es cota superior de A.
Luego el conjunto B de las cotas superiores de A (que están en E) es no vacío, y entonces B tiene un elemento mínimo, que se denota min(B) (que existe por el buen orden).
Esta es la minima cota superior posible para A, porque si no, no seria el minimo de B, en consecuencia, min(B) es el supremo de A (o minima cota superior).

Dado un conjunto cualquiera [texx]F\subset{E}[/texx] decimos que es CERRADO si contiene al SUPREMO de TODOS sus subconjuntos (no hace falta tener en cuenta los INFIMOS porque es redundante gracias al buen orden de los cardinales).

A continuación definimos como ABIERTO a todo conjunto de la forma [texx]E-F[/texx], para F CERRADO.

Luego se comprueba que el conjunto de todos los ABIERTOS asi definidos satisfacen los axiomas de una TOPOLOGIA en E (es fácil desde los CERRADOS).

Entonces ahora tenemos una teoria topologica dentro del conjunto de cardinales E.
Si E contiene por ejemplo, a los cardinales finitos y a [texx]\aleph_0[/texx] entonces la sucesión de cardinales finitos [texx]a_n=n[/texx] es una RED convergente que tiene como limite, en la topologia que acabamos de definir, al cardinal [texx]\aleph_0[/texx].
Pero la sucesión [texx]b_n=2^n[/texx] de cardinales ''potencia'' es una RED que converge a [texx]\aleph_0[/texx] y NO a [texx]2^{\aleph_0}[/texx].

Esto mostraria que la ''operacion''  de potencias de cardinales NO CONSERVA las relaciones de limites.

En cuanto al hecho de que los cardinales están bien ordenados, estoy hablando siempre de la teoria clásica de conjuntos, que es la que conocemos todos. En ella, los cardinales se pueden ''indexar'' a través de los ordinales.
Esto quiere decir que los [texx]\aleph[/texx] empiezan con los ordinales finitos [texx]\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,...[/texx] luego llegan al primer ordinal ''limite'' (el ordinal de los naturales, que se denota [texx]\omega[/texx]), y luego se sigue con [texx]\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},...[/texx], y luego con [texx]\aleph_{\omega+\omega}[/texx], etc. etc., etc. No voy a entrar en este post en toda la teoria de ordinales.
Luego, el buen orden de los cardinales (los finitos más los ''alephs'') proviene del buen orden de los ordinales.

Espero no haber deslizado errores.
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« Respuesta #56 : 22/11/2017, 06:36:05 pm »

En realidad el cardinal de [texx]\mathbb{R}[/texx] que [texx]c[/texx], y se demuestra que [texx]\mathbb{R}[/texx] es equipotencial a [texx]P(\mathbb{N})[/texx], o sea que [texx]c = 2^{\aleph_0}[/texx].
¿Podrías explicarme esto? Por favor
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« Respuesta #57 : 23/11/2017, 06:14:30 am »

Hola

En realidad el cardinal de [texx]\mathbb{R}[/texx] que [texx]c[/texx], y se demuestra que [texx]\mathbb{R}[/texx] es equipotencial a [texx]P(\mathbb{N})[/texx], o sea que [texx]c = 2^{\aleph_0}[/texx].
¿Podrías explicarme esto? Por favor

En la Wikipedia tienes varias explicaciones de porqué el cardinal de los reales es el de los subconjuntos de los naturales:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum#Cardinal_equalities

Saludos.
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« Respuesta #58 : 23/11/2017, 07:06:13 am »

En realidad el cardinal de [texx]\mathbb{R}[/texx] que [texx]c[/texx], y se demuestra que [texx]\mathbb{R}[/texx] es equipotencial a [texx]P(\mathbb{N})[/texx], o sea que [texx]c = 2^{\aleph_0}[/texx].
¿Podrías explicarme esto? Por favor

Hola. Dudo de que tzafriri vea tu pregunta, hace mucho tiempo de este hilo y ademas es visitante.

Te diré cómo lo entiendo yo (no soy muy formal, ya te adelanto, así que no lo tomes más que como especie de opinión),

Si pensamos en un sólo dígito, por ejemplo, el 1, podemos formar sólo una combinación con repetición al considerar un número de una sola cifra, el 1. También tenemos solamente una combinación de dos cifras, el número 11 (que puede significar 2, y lo mismo con tres de ellos, 111... y así sucesivamente tendríamos el todos los números naturales escribiendo parecido a como lo hacían los romanos, pero sólo con el palito individual).

Si tomamos dos símbolos, dos dígitos, el 1 y el 0, ya tenemos una base, la base binaria (lo otro no es una base). Y con sólo un dígito tenemos dos números distintos, el 0 y 1; es decir, una cantidad de [texx]2^1[/texx] de números distintos.

Con 2 dígitos tenemos, considerando las combinaciones (variaciones en realidad, que aquí importa el orden) con repetición, estos números distintos [texx]0,0;\,\,\,0,1;\,\,\,1,0;\,\,\,1,1[/texx], entre los que están contenidos los anteriores de una sola cifra, el 1 y el 0; así tenemos una cantidad de  [texx]4=2^2[/texx] números distintos, Y vemos que la potencia coincide con la cantidad de dígitos diferentes utilizados.

De esta forma podríamos seguir sin fin y tendríamos los reales positivos (los negativos no son más que una réplica, lo mismo con el menos delante, como los enteros negativos, no es trascendente en lo que se considera).

Antes, sin base, con los palitos, tomando números de una y dos cifras sólo teníamos el uno (I) y el dos (II); y añadiendo llegábamos a tener todos los naturales. En cambio, considerando la base binaria tenemos más, tenemos cuatro, y añadiendo llegamos a tener todos los reales positivos

Por definición (o por intuición) da lo mismo una base que otra, lo que podamos escribir en base diez lo podremos escribir en base dos, sólo será más larga, nunca imposible (mientras haya papel, pero eso no es trascendente tampoco si hablamos de matemática).

Se me ha olvidado señalar precisamente el quid de la cuestión:

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 La cuestión es que este conjunto [texx]I;\,\,II[/texx], no lo podemos biyectar con éste [texx]0,0;\,\,\,0,1;\,\,\,1,0;\,\,\,1,1[/texx], porque esté tiene más elementos.
No hace falta intentar imaginar el infinito para entenderlo, podemos buscar ejemplos como éste o parecidos, ejemplos finitos, que nos ayuden a visualizar la idea (de hecho es imposible buscar ejemplos infinitos, así que no queda más remedio).

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Saludos.
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« Respuesta #59 : 23/11/2017, 03:00:53 pm »

Hola

En realidad el cardinal de [texx]\mathbb{R}[/texx] que [texx]c[/texx], y se demuestra que [texx]\mathbb{R}[/texx] es equipotencial a [texx]P(\mathbb{N})[/texx], o sea que [texx]c = 2^{\aleph_0}[/texx].
¿Podrías explicarme esto? Por favor

En la Wikipedia tienes varias explicaciones de porqué el cardinal de los reales es el de los subconjuntos de los naturales:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum#Cardinal_equalities

Saludos.
Hola, muchas gracias por ayudar, ahora me pongo a leer. Saludos
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