Equivalencia homotópica

[maria_]

(a)  Discutir si la aplicación [texx]f:\mathbb{R}^2-\left\{{(0,0),(2,0)}\right\}\rightarrow{S^1}[/texx], dada por [texx]f(x)=\frac{x}{\left \| x \right \|}[/texx] es o no una equivalencia homotópica.

(b)  Sea [texx]X[/texx] una superficie conexa, compacta y sin borde, con grupo fundamental infinito. Probar que toda aplicación continua [texx]f:S^2\rightarrow{X}[/texx] es homótopa a una aplicación constante (indicación: ayudarse con el recubridor universal de [texx]X[/texx]).

[geómetracat]

En a) no puede ser equivalencia homotópica porque los dos espacios tienen grupos fundamentales distintos.

En b), observa que en esa situación el recubridor universal es [texx]\mathbb{R}^2 [/texx] y usa el teorema de elevación de aplicaciones ([texx]f[/texx] tiene una elevación a una aplicación continua [texx]\tilde{f}:S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2[/texx]) junto con el hecho de que el plano es contráctil para ver que [texx]\tilde{f}[/texx] es homótopa a una aplicación constante. Componiendo dicha homotopía junto con la proyección tienes que [texx]f[/texx] es homótopa a un punto. Si sabes algo de grupos de homotopía observa que esto es simplemente el teorema básico que te dice que un espacio y su recubridor universal tienen los mismos grupos de homotopía [texx]\pi_n[/texx] para [texx]n \geq 2 [/texx].

PD: Vaya, no me he dado cuenta de que el mensaje era tan antiguo. En cualquier caso lo dejo para quien le pueda interesar.