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Autor Tema: Bifurcación - Modelo de Maxwell-Bloch  (Leído 1843 veces)
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« : 06/12/2014, 03:34:39 am »

El modelo de Maxwell-Bloch de un láser está dado por las ecuaciones:
[texx]\dfrac{dE}{dt} = \kappa (P-E)[/texx]
[texx]\dfrac{dP}{dt} = \gamma_{1} (ED-P) [/texx]
[texx]\dfrac{dD}{dt} = \gamma_{2} ( \lambda + 1 - D - \lambda E P ) [/texx]
con [texx]\kappa, \gamma_{1}, \gamma_{2} > 0[/texx]. Mostrar que el punto fijo ([texx]E=P=0[/texx], [texx]D= \lambda + 1)[/texx] se vuelve inestable por encima de un valor critico de [texx]\lambda[/texx]. ¿Cómo es la bifurcación?
Encontrar un cambio de variables que transforme este sistema en el sistema de Lorenz

Cambio de variables:
[texx]D'=D-\lambda-1[/texx]
[texx]\dfrac{dE}{dt} = \kappa (P-E)[/texx]
[texx]\dfrac{dP}{dt} = \gamma_{1} (ED'+(\lambda+1)E-P) [/texx]
[texx]\dfrac{dD'}{dt} = \gamma_{2} ( - D' - \lambda E P ) [/texx]
Ahora quiero hacer una serie de cambios de variables [texx]x=a E[/texx], [texx]y=b P[/texx], [texx]z = c D'[/texx], [texx]t'= dt[/texx]
De la 1ra ecuación obtengo que [texx]\dfrac{a}{b}=1[/texx], de la 2da que [texx]-\dfrac{\gamma_{1}}{acd} = 1[/texx] y que [texx]\dfrac{\gamma_{1}}{d} = 1[/texx] y de la 3ra que [texx]- \dfrac{-\lambda \gamma_{2}}{abd}[/texx]
Entonces las ecuaciones me quedan:
[texx]\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{\kappa}{\gamma_{1}} (y-x)[/texx]

[texx]\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{\lambda+1}{\sqrt{-\lambda \frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}}}} -y -xz[/texx]

[texx]\dfrac{dz}{dt} = xy- \dfrac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}} z[/texx]


La bifurcación está en [texx]\lambda = \frac{1}{\gamma_{2}}[/texx], crea dos direcciones inestables (es decir, un plano de inestabilidad) pero no sé bien cómo determinar qué tipo de bifurcación es.
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