10/12/2018, 05:26:35 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: 1 = 0,9999... ?  (Leído 3152 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
gustaveco
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 3


Ver Perfil
« : 30/11/2014, 12:45:09 am »

Simplemente eso  [texx] 1=0,\widehat{9} [/texx] ? Lo vi en una lista de ecuaciones más hermosas[1] y me llamó mucho la atención. Me dieron algunas pruebas que involucran [texx] 1/3 = 0,\widehat{3}[/texx] entonces [texx] 1/3 * 3 = 0,\widehat{3} * 3 = 0,\widehat{9} = 1 [/texx]. Soy aficionado, pero lógicamente sige sin cerrarme, puesto que imaginándolo parecería que nunca 0,999.. sería igual a 1. Un posible defecto de la prueba podría ser que en verdad   [texx] 1/3 \approx{0,\widehat{3}} [/texx] . Quisiera saber que les parece, o si tienen alguna otra demostración.



[1]http://curiosidades.batanga.com/7369/7-hermosas-ecuaciones-matematicas-que-tienes-que-conocer
En línea
luis
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 304


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 30/11/2014, 12:55:00 am »

Sí, son iguales.

Se me ocurre que una forma de verlo es la siguiente. Si el uno fuera mayor, debería haber un número en medio de ellos. Ese número debe expresarse de forma distinta a [texx]0.\bar 9[/texx], así que su expresión decimal debe tener un primer dígito distinto de nueve. Pero si así fuera, también sería menor a [texx]0.\bar 9[/texx], ya que cualquier dígito distinto de nueve es menor que nueve. Como me parece claro que uno no es menor que [texx]0.\bar 9[/texx], no creo tener nada más interesante que decir.

saludos
En línea
Juan Pablo Sancho
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 4.433


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 30/11/2014, 01:06:21 am »

Tienes que:

[texx] \frac{1}{3} = 0.\widehat{3} [/texx]

[texx] 1 = \frac{3}{3} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}   [/texx]


[texx]\displaystyle  0.\widehat{3} = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{3}{10^i} = \frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{1}{3} [/texx]
En línea
Tanius
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
México México

Mensajes: 4.632



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 30/11/2014, 01:23:00 am »

[texx]\displaystyle  0.\widehat{3} = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{3}{10^i} = \frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{1}{3} [/texx]

Puedes aplicar eso directamente con [texx]\displaystyle  0.\widehat{9}[/texx].
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 7.509



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 30/11/2014, 04:03:58 am »

Simplemente eso  [texx] 1=0,\widehat{9} [/texx] ? Lo vi en una lista de ecuaciones más hermosas[1] y me llamó mucho la atención. Me dieron algunas pruebas que involucran [texx] 1/3 = 0,\widehat{3}[/texx] entonces [texx] 1/3 * 3 = 0,\widehat{3} * 3 = 0,\widehat{9} = 1 [/texx]. Soy aficionado, pero lógicamente sige sin cerrarme, puesto que imaginándolo parecería que nunca 0,999.. sería igual a 1. Un posible defecto de la prueba podría ser que en verdad   [texx] 1/3 \approx{0,\widehat{3}} [/texx] . Quisiera saber que les parece, o si tienen alguna otra demostración.



[1]http://curiosidades.batanga.com/7369/7-hermosas-ecuaciones-matematicas-que-tienes-que-conocer


Hola. Aquí tienes este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76233.msg303931#msg303931
En línea

Juan Pablo Sancho
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 4.433


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 30/11/2014, 04:32:51 am »

Había pensado en ese hilo inmediatamente al ver la pregunta (por eso copié las respuestas para este),  pero como tomó unos tintes un poco raros no lo había metido.


Espero no se  moleste  nadie por esta respuesta, ese hilo fue solucionado de forma ejemplar por los moderadores.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 7.509



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 30/11/2014, 04:59:09 am »

Había pensado en ese hilo inmediatamente al ver la pregunta (por eso copié las respuestas para este),  pero como tomó unos tintes un poco raros no lo había metido.


Espero no se  moleste  nadie por esta respuesta, ese hilo fue solucionado de forma ejemplar por los moderadores.

Es cierto, Juan Pablo, por una parte este tipo de hilos son poco ejemplares y por otra muy pedagógicos; en cualquier caso, los poquísimos hilos polémicos de este foro, en comparación con las discusiones que se ven en la mayoría de los sitios de Internet, son una película de Bambi :cara_de_queso:
En línea

Juan Pablo Sancho
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 4.433


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 30/11/2014, 05:04:45 am »

Tienes toda la razón feriva.
En línea
luis
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 304


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 30/11/2014, 07:45:31 am »

[texx]3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}   [/texx]

Creo que esa igualdad no es adecuada. Intento explicarme.

Entiendo que debe haber una cierta armonía entre la representación de los números y el algoritmo de cómputo que se usan. ¿Cómo habría que entender el producto [texx]3 \cdot  0.\widehat{3}[/texx]?

No podemos usar el algoritmo de multiplicación para la notación decimal, ya que el mismo es solamente aplicable a expresiones decimales finitas. ¿O acaso hay una extensión de ese algoritmo para expresiones decimales infinitas?

Y si no puedo usar ese algoritmo, el algoritmo de producto que estoy usando debe ser el correspondiente a las fracciones. Así que, en realidad, estoy computando  [texx]3 \cdot  \frac{1}{3}[/texx], ese producto da uno, y no aparece la representación [texx]0.\widehat{9}[/texx].

¿Me explico? ¿Qué opinan?

saludos

luis
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.873


Ver Perfil WWW
« Respuesta #9 : 30/11/2014, 08:26:31 am »

[texx]3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}   [/texx]

Creo que esa igualdad no es adecuada.[...] ¿Me explico? ¿Qué opinan?

Si admites que [texx]0.\widehat{3}=\dfrac13[/texx], que [texx] 0.\widehat{9}=1[/texx] y que [texx]3\cdot\dfrac13=1[/texx], entonces tienes que admitir que [texx]3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}[/texx], por los resultados básicos sobre sustitución de términos idénticos. La lógica no entiende de armonía.
En línea
luis
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 304


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 30/11/2014, 09:41:37 am »

Si admites que [texx]0.\widehat{3}=\dfrac13[/texx], que [texx] 0.\widehat{9}=1[/texx] y que [texx]3\cdot\dfrac13=1[/texx], entonces tienes que admitir que [texx]3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}[/texx], por los resultados básicos sobre sustitución de términos idénticos. La lógica no entiende de armonía.

El problema es que usas el mismo signo para dos cosas que yo distingo. La duda original es acerca de las representaciones de naturales, no acerca de los naturales. Y en ese sentido, usando dos notaciones diferentes para representar el algoritmo del producto para dos representaciones distintas, cae la sustitución de términos idénticos. Es  decir...

admito que [texx]0.\widehat{3}=\dfrac13[/texx], y que [texx] 0.\widehat{9}=1[/texx], por una suerte de equivalencia entre representaciones; y que [texx]3\cdot\dfrac13=1[/texx] por un algoritmo del producto en la representación de los racionales como fracciones... pero [texx]3 \times  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}[/texx], donde [texx]\times[/texx] (que no es [texx]\cdot[/texx]) me habla de un algoritmo del producto en la representación de los racionales como tiras (eventualmente infinitas) de dígitos. Desconozco este último algoritmo.

Creo que la pregunta se centra en la representación, y por lo tanto en el algoritmo sobre esa representación. Me parece que si lo que se escribe al poner [texx]3 \times  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}[/texx] es... "traduzca a fracciones, y ahí haga el producto anterior", no se aclara la duda original.

saludos

luis
En línea
Raúl Aparicio Bustillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-3
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.046


Ver Perfil
« Respuesta #11 : 30/11/2014, 09:50:03 am »

Son iguales. Eso lo que hace es poner de relieve que la definición de número real requiere una formalización más allá de un número con infinitos decimales que no se repiten , pero la hay. Ten en cuenta 1-0,999999.........=0,000000..............1, pero, ¿cuál es el último decimal? No tiene sentido, no hay final en las posiciones que se cuentan con los naturales, y si nos extendemos a numeros transfinitos ya no tiene ninguna conexión puesto que hay números que no tienen un anterior inmediato. Es una opinión personal mía, pero ahí es donde (entre otros) se ve la necesidad de una formalización de la matemática.
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.873


Ver Perfil WWW
« Respuesta #12 : 30/11/2014, 09:53:45 am »

admito que [texx]0.\widehat{3}=\dfrac13[/texx], y que [texx] 0.\widehat{9}=1[/texx], por una suerte de equivalencia entre representaciones; y que [texx]3\cdot\dfrac13=1[/texx] por un algoritmo del producto en la representación de los racionales como fracciones... pero [texx]3 \times  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}[/texx], donde [texx]\times[/texx] (que no es [texx]\cdot[/texx]) me habla de un algoritmo del producto en la representación de los racionales como tiras (eventualmente infinitas) de dígitos. Desconozco este último algoritmo.

Pero es que las igualdades no tienen historia. Cuando dos expresiones representan lo mismo, no puedes decir "este igual es de esta clase" y "este otro igual es de otra clase". Todos los iguales son iguales. Una igualdad no te habla de ningún algoritmo en absoluto.

Por otro lado, tendrías que precisar mucho el concepto de algoritmo para dar sentido a la objeción que planteas. El algoritmo que desconoces es: "transforma los números en fracciones y luego multiplícalos". ¿Tienes algún criterio objetivo para no considerar a eso un algoritmo?

Cuando consideras la igualdad [texx]\sen\dfrac \pi3=\dfrac{\sqrt 2}2[/texx] ¿a qué algoritmo la vinculas?
En línea
luis
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 304


Ver Perfil
« Respuesta #13 : 30/11/2014, 10:05:50 am »

El algoritmo que desconoces es: "transforma los números en fracciones y luego multiplícalos". ¿Tienes algún criterio objetivo para no considerar a eso un algoritmo?

Lo considero un algoritmo. Pero entonces, tomando la explicación dada antes

[texx] 1 = \frac{3}{3} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}   [/texx]

me resulta que es circular. Creo que JuanPablo Intenta justificar que [texx]1 = 0.\widehat{9}[/texx] armando la siguiente secuencia de ecuaciones:

[texx]1 = \frac{3}{3}[/texx], por ser fracciones

[texx]\frac{3}{3} = 3 \cdot \frac{1}{3}[/texx], por saber multiplicar fracciones

[texx]3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot  0.\widehat{3}[/texx], por saber relacionar fracciones y decimales

[texx]3 \cdot  0.\widehat{3} = 3 \cdot  \frac1{3}[/texx], aplicando el algoritmo que sugieres

[texx]3 \cdot \frac{1}{3} = 0.\widehat{9}[/texx], ¿por saber multiplicar fracciones?

La explicación funciona si ya se que 1 y [texx]0.\bar9[/texx] representan el mismo racional, la que justamente era la duda inicial.

saludos

luis

ps. me tengo que ir a votar. volveré. me interesa afinar esto :sonrisa:
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.873


Ver Perfil WWW
« Respuesta #14 : 30/11/2014, 10:18:01 am »

Lo considero un algoritmo. Pero entonces, tomando la explicación dada antes

[texx] 1 = \frac{3}{3} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot  0.\widehat{3} = 0.\widehat{9}   [/texx]

me resulta que es circular. Creo que JuanPablo Intenta justificar que [texx]1 = 0.\widehat{9}[/texx] afirmando que...

El argumento de JuanPablo es lógicamente impecable, y en particular no es circular. Pero tú has omitido una de sus líneas, en la que demuestra que [texx]0.\widehat 3=\dfrac13[/texx] sumando la serie geométrica. La línea que en tu versión de su algoritmo explicas como "el algoritmo que sugieres" es en realidad la línea que has omitido del argumento de JuanPablo seguida de la regla lógica de sustitución de términos idénticos.

Desde tu planteamiento, tendrías que afirmar que esto:

[texx]\forall xyab(x=3y\land x=a \land y=b\rightarrow a=3b)[/texx]

no es un teorema lógico, porque falla cuando [texx]x=1[/texx], [texx]y=1/3[/texx], [texx]a=0.\widehat 9[/texx], [texx]b=0.\widehat 3[/texx]. Pero seguro que si vieras la sentencia anterior en cualquier otro contexto admitirías que es un teorema lógico.
En línea
luis
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 304


Ver Perfil
« Respuesta #15 : 30/11/2014, 10:21:33 am »

Pero tú has omitido una de sus líneas, ...

Tienes razón, me encerré en un fragmento. A la vuelta me fijo con más detalle, pero parece que me encapriché.

saludos

luis

(agrego... seguramente no presté adecuada atención esa última línea del correo de juan pablo, que era en realidad la relevante. saludos y gracias.)
En línea
elcristo
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.192


Ver Perfil
« Respuesta #16 : 30/11/2014, 10:40:05 am »

¿Esto también valdría?

Supongamos que son distintos.
[texx]0.\hat{9}[/texx] es un número racional, [texx]1[/texx] es un número racional, luego existe un número racional tal que si le sumamos a [texx]0.\hat{9}[/texx] nos de 1.
Ese número tiene que ser menor que 0.1, porque sino la suma es mayor que 1. También menor que 0.01. Si seguimos así, resulta que llegamos a que el número tiene la forma [texx]0.00\ldots0001[/texx], que no es un número racional. Luego [texx]0.\hat{9}[/texx] y [texx]1[/texx] tienen que ser iguales.
En línea
Juan Pablo Sancho
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 4.433


Ver Perfil
« Respuesta #17 : 30/11/2014, 05:48:02 pm »

A Cada paso te garantiza un cero más, creo que el número tendría la forma [texx] 0.\widehat{0} [/texx]

Tienes que ese [texx] \delta = 1-0.\widehat{9} [/texx] es menor que [texx] 0.1 [/texx] y que [texx]0.01 [/texx] así que lo estás montando dígito a dígito.

Otra forma usando tu método:

[texx]\displaystyle 1-0.\widehat{9} < 1 - \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} = \frac{1}{10^n} < \frac{1}{n} [/texx] entonces [texx] 1-0.\widehat{9} = 0 [/texx] directamente por límites.

Por reducción al absurdo:

Sea [texx]\displaystyle 0 \neq  \alpha = 1-0.\widehat{9} < 1 - \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} = \frac{1}{10^n} < \frac{1}{n} [/texx] entonces [texx] \mathbb{N} [/texx] acotada por [texx] \dfrac{1}{\alpha} [/texx], absurdo.


[texx]\color{red} Editado\; 2 [/texx].

[texx]\displaystyle 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i}  = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{9}{10^i} = 0.\widehat{9} [/texx]

[texx]\displaystyle  \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{9}{10^i} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} =  1 [/texx], como advirtió Tanius.


[texx] \color{red} Editado\;3[/texx]

[texx] x = 0.\widehat{9} [/texx]
[texx] 10 \cdot x = 9.\widehat{9} [/texx]

Queda:

[texx] 10\cdot x -  x = 9 [/texx]

[texx] 9 \cdot x = 9 [/texx]

[texx] x = 1 [/texx]

Una nota:

[texx] \displaystyle 0.\widehat{3} = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{3}{10^i} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i} [/texx]

[texx] \displaystyle 3 \cdot 0.\widehat{3} = 3 \cdot \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{3}{10^i} = 3 \cdot \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i} = [/texx]

[texx] \displaystyle =  \lim_{n \to +\infty}  3 \cdot \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i} = \lim_{n \to +\infty}   \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} = 0.\widehat{9} [/texx]

En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!