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Autor Tema: 聲gulo de proyectil  (Leído 1155 veces)
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legocris
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« : 21/10/2014, 08:24:03 am »

Saludos gente del rinconmatematico.

Estoy desarrollando un videojuego y tengo un problema con una inteligencia artificial que no he podido resolver. La cosa es que no s como hacer que mi inteligencia artificial situada en una posicin dada pueda disparar un proyectil a un objetivo con posicin conocida, la velocidad inicial del proyectil es conocida, sin embargo el ngulo no (todas las variables son conocidas menos el ngulo).

He comenzado con el siguiente par de ecuaciones para definir la trayectoria de mi bala.

Xo,Yo=posicin inicial del proyectil
X, Y =posicin del proyectil.
Vo=velocidad inicial del proyectil
T=tiempo.
G=gravedad.
A=ngulo con el que el proyectil es lanzado.

[texx]X=X_0+\cos (A)V_0T[/texx]
[texx]y=y_0+\sen(A)V_0T+\dfrac{1}{2}GT^2[/texx]

Como primer paso despejo el tiempo en x y lo reemplazo en la ecuacin de y.

[texx]T=\displaystyle\frac{X-X_0}{\cos (A)V_0}[/texx]
[texx]Y=Y_0+\sen(A)V_0 \displaystyle\frac{X-X_0}{\cos (A)V_0}+\frac{1}{2}G\left(\frac{X-X_0}{\cos (A)V_0}\right)^2[/texx]

Simplifico:
[texx]Y=Y_0+\sen(A)V_0\displaystyle\frac{X-X_0}{\cos (A)V_0}+\frac{1}{2}G \left(\frac{X-X_0}{\cos (A)V_0}\right)^2[/texx]

[texx]Y=Y_0+\tan(A)(X-X_0)+G\dfrac{X^2-2X_0X+X_0^2}{2\cos^2(A)V_0^2}[/texx]

[texx]Y-Y_0-G\displaystyle\frac{X^2-2X_0X+X_0^2}{2\cos^2(A)V_0^2}=\tan(A)(X-X_0)[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{Y-Y_0-G \dfrac{X^2-2X_0X+X_0^2}{2\cos^2(A)V_0^2}}{X-X_0}=\tan  (A)[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{Y-Y_0}{X-X_0}-G\frac{X+X_0}{\cos^2(A)V_0^2}=\tan(A)[/texx]

De ah puedo despejar la X o Y, pero el ngulo me es imposibe...

Espero puedan ayudarme, llevo varios d燰s sin poder mejorar mi inteligencia artificial por tener este problema...

Muchas gracias.
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 21/10/2014, 10:22:57 am »

Este problema ya lo resolvi Galileo en su tiempo.
Casi lo has conseguido, te ha faltado ver que:
[texx]\sin^2 A + \cos^2 A =1[/texx] dividiendo entre [texx]\cos^2 A[/texx]=> [texx]\tg^2 A +1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 A}[/texx]

Cuidado una cosa es el 嫕gulo de tiro y otra distinta el 嫕gulo que forma con la horizontal el vector que va de
[texx](x_0,y_0)[/texx] a [texx](x,y)[/texx] sea [texx]\alpha[/texx], cuya tangente es [texx]\tg \alpha =\frac{Y-Yo}{X-Xo}-[/texx]

[texx]Y=Yo+sin(A)Vo\frac{X-Xo}{cos(A)Vo}+\frac{1}{2}G(\frac{X-Xo}{cos(A)Vo})^2[/texx]

[texx]Y=Yo+(X-Xo) \tg(A)+\frac{G}{2V_0}(X-Xo)^2( 1 + \tg^2(A))[/texx]

Ecuaci鏮 de segundo grado en tangente de . (la inc鏬nita)[texx]a_2 \tg^2(A) + a_1  \tg (A) + a_0=0[/texx]

Es decir, resuelve: [texx]\frac{G}{2V^2_0}(X-Xo)^2\tg^2(A) +(X-Xo) \tg(A) +y_0 -y +\frac{G}{2V^2_0}(X-Xo)^2=0 [/texx]

Dividiendo por (x-xo)

[texx]\frac{G}{2V^2_0}G(X-Xo)\tg^2(A) + \tg(A) - \tg \alpha +\frac{G}{2V^2_0}G(X-Xo)=0 [/texx]

Te dar嫕 en principio dos posibles valores para la tangente, una la trayectoria alta y otra la baja (Tambi幯 puede tener ra瞵 doble , una trayectoria, posible, o no tener soluci鏮).
Es decir si tu objetivo esta en B(x,y) y t en A(xo,yo) resolviendo la ecuaci鏮 y calculando la arcotangente, tenemos dos 嫕gulos de impacto, la trayectoria  alta puede servir para saltar obst塶ulos intermedios.
Con la misma velocidad inicial Vo, se pueden tener 2 vectores [texx]\vec{V_0}[/texx] uno con 嫕gulo [texx]\widehat{A}_{bajo}[/texx] y otro [texx]\widehat{A}_{alto}[/texx]

* proyectil2.png (9.17 KB - descargado 110 veces.)
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« Respuesta #2 : 21/10/2014, 06:01:36 pm »

Este problema ya lo resolvi Galileo en su tiempo.
Casi lo has conseguido, te ha faltado ver que:
[texx]\sin^2 A + \cos^2 A =1[/texx] dividiendo entre [texx]\cos^2 A[/texx]=> [texx]\tg^2 A +1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 A}[/texx]

Esto!, Increible, busque como convertir ese coseno a otra funcion trigonometrica por horas. Muchas gracias!

No hab燰 pensado que con una misma velocidad inicial pod燰 tener dos respuestas. Mi idea con la intelifenc燰 artificial es que primero pruebe si hay obstaculos en la trayector燰 baja, y luego intent ver si en la alta hay. Esto me va perfecto!.

P.D: No sab燰 que galileo ya hab燰 resuelto esto y me parece muy interezante. Ser燰 divertido saber bajo que contexto lo resolvio.
P.D2: Muchisimas gracias!
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« Respuesta #3 : 22/10/2014, 08:28:29 am »

Creo que lo resolvi en el contexto del disparo de ca隳nes desde barcos a fortalezas que est嫕 en acantilados a diferente altura que el barco). con el sextante se puede medir el 嫕gulo [texx]\alpha[/texx] con que se ve la fortaleza  [texx]\tg \apha=\displaystyle\frac{Y-Yo}{X-Xo}[/texx] y la distancia vertical Y-Yo y horizontal X-Xo se calcula aplicando trigonometr燰 con los 嫕gulos con que se ve la fortaleza desde el barco a 2 distancias distintas , sabiendo la velocidad de salida del proyectil Vo, puedo calcular los 2 嫕gulos de tiro.
Realmente no estoy seguro si resolvi este problema realmente. Lo que si es seguro que estudio en profundidad el tiro parab鏊ico.
P.D.: conociendo el gran Genio que fue, dudo mucho que no lo estudiara y o resolviera ( sabiendo la relaci鏮 trigonom彋rica no es dif獳il), ya que conoc燰 las ecuaciones del movimiento que el descubri.)
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