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Autor Tema: Sucesiones Convergentes  (Leído 1086 veces)
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Julio_fmat
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« : 11 Octubre, 2014, 23:12 »

Sea [texx](x_n)_n[/texx] una sucesión de números reales. Si las subsucesiones [texx](x_{2n})_n,\, (x_{2n-1})_n[/texx] y [texx](x_{3n})_n[/texx] son convergentes. Demuestre que la sucesión [texx](x_n)_n[/texx] es convergente.

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« Respuesta #1 : 11 Octubre, 2014, 23:42 »


Por ser la sucesión [texx] \{ x_{2\cdot n} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] convergente lo es la sucesión [texx] \{ x_{3 \cdot (2 \cdot n)} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] que es una subsucesión de la primera y tiene el mismo límite.

Por ser la sucesión [texx] \{ x_{2\cdot n - 1} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] convergente lo es la sucesión [texx] \{ x_{3 \cdot (2\cdot n-1) } \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] que es una subsucesión de la primera y tiene el mismo límite.

Como [texx]  \{ x_{3 \cdot (2 \cdot n)} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] y [texx] \{ x_{3 \cdot (2\cdot n-1) } \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] son subsucesiones de  [texx] \{ x_{3 \cdot n} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] tienen el mismo límite, entonces:


[texx] \displaystyle \lim_{ n \to +\infty} x_{2n} = \lim_{ n \to +\infty} x_{2n - 1} [/texx].

Intenta seguir desde aqui.

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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 12 Octubre, 2014, 23:26 »

Por ser la sucesión [texx] \{ x_{2\cdot n} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] convergente lo es la sucesión [texx] \{ x_{3 \cdot (2 \cdot n)} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] que es una subsucesión de la primera y tiene el mismo límite.

Por ser la sucesión [texx] \{ x_{2\cdot n - 1} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] convergente lo es la sucesión [texx] \{ x_{3 \cdot (2\cdot n-1) } \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] que es una subsucesión de la primera y tiene el mismo límite.

Como [texx]  \{ x_{3 \cdot (2 \cdot n)} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] y [texx] \{ x_{3 \cdot (2\cdot n-1) } \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] son subsucesiones de  [texx] \{ x_{3 \cdot n} \}_{n=1}^{+\infty} [/texx] tienen el mismo límite, entonces:

[texx] \displaystyle \lim_{ n \to +\infty} x_{2n} = \lim_{ n \to +\infty} x_{2n - 1} [/texx].

Intenta seguir desde aqui.

Muchas Gracias Juan Pablo. :sonrisa:

Entiendo la idea, entonces ahora habría que probar que [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_{3n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_{2n}[/texx]?

¿Qué subsucesiones me sirven?, no lo veo tan claro...  :BangHead:
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« Respuesta #3 : 12 Octubre, 2014, 23:43 »




La igualdad [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_{3n}= \lim_{n\to +\infty}x_{2n}[/texx] está probada, no era eso.
Por que la subsucesión [texx] \{x_{6n} \}_{n = 1}^{+\infty} [/texx] es una subsucesión de [texx] \{x_{3n} \}_{n = 1}^{+\infty} [/texx] y de [texx] \{x_{2n} \}_{n = 1}^{+\infty} [/texx]

Lo dejamos en:

[texx] \displaystyle \lim_{ n \to +\infty} x_{2n} = \lim_{ n \to +\infty} x_{2n - 1} = L [/texx].

Lo que quiero probar es que dado [texx] \epsilon > 0 [/texx] existirá un [texx] n_0 \in \mathbb{N} [/texx] tal que para todo [texx] n \geq n_0 [/texx] tenemos:


[texx] |x_n - L| < \epsilon [/texx].



Dado [texx] \epsilon > 0 [/texx]  existirá un [texx] n_1 \in \mathbb{N} [/texx] tal que para todo [texx] n \geq n_1 [/texx] se tiene:

[texx] |x_{2n} - L| < \epsilon [/texx].

Dado [texx] \epsilon > 0 [/texx]  existirá un [texx] n_2 \in \mathbb{N} [/texx] tal que para todo [texx] n \geq n_2 [/texx] se tiene:

[texx] |x_{2n - 1} - L| < \epsilon [/texx].

Tomo [texx] n_0 = max(n_1,n_2) [/texx] entonces para todo [texx] n \geq n_0 [/texx] se tendrá [texx] |x_n - L|< \epsilon [/texx].
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« Respuesta #4 : 13 Octubre, 2014, 00:27 »

Muchas Gracias Juan Pablo, ahora me queda un poco más claro.

Una consulta, ¿de qué forma se demuestra que [texx]\left |{x_n-L}\right |<\varepsilon[/texx]? usando la convergencia de las subsucesiones?
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« Respuesta #5 : 13 Octubre, 2014, 01:03 »

Se usa el hecho de que una sucesión es convergente si y sólo si toda subsucesión es convergente a ese límite.

Si tú demuestras que una subsucesión converge a un límite no puede asegurar que la sucesión lo haga.

Pero si tu demuestras que la subsucesión de los impares y la subsucesión de los pares convergen al mismo límite entonces la sucesión convergerá a ese límite, en este ejercicio querían que llegaras a que [texx] \displaystyle \lim_{n \to + \infty} x_{2n} = \lim_{n \to + \infty} x_{2n - 1} [/texx].

[texx] {\red Editado} [/texx]

Estoy viendo que es el problema de Noviembre del 2003 del foro.

Si tienes cualquier duda intentaré responder.

Mira este hilo.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=189.msg442#msg442
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