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Autor Tema: Propiedad del Supremo  (Leído 1123 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Julio_fmat
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« : 05/10/2014, 01:55:10 am »

Sea [texx]S\subseteq \mathbb{R}[/texx] un subconjunto acotado de [texx]\mathbb{R}.[/texx] Pruebe que [texx]a=\sup (S)[/texx] si y solo si [texx]a\ge x, \, \forall x\in S[/texx] y además [texx]\forall \, \varepsilon >0, \, \exists \, x_0\in S[/texx], tal que [texx]x_0>a-\varepsilon.[/texx]


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"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 05/10/2014, 07:00:25 am »

Mira el problema 6 aquí:

http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/08/supremo-infimo-maximales-y-minimales/
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 07/10/2014, 08:43:29 pm »

Muchas Gracias Fernando. :sonrisa:

Estuve leyendo la demostración que tu entregas en tu blog, está buena.  :risa:

Pero tengo algunas dudas con ciertos pasos:

Para el 1er. párrafo, entiendo que estás probando la implicancia [texx]a=\sup(S)\implies (a\ge x)(\forall x\in S)\, \wedge \, (\forall \varepsilon >0)(\exists x_0\in S)(x_0>a-\varepsilon).[/texx]

Pero no entiendo cómo concluyes que [texx]a-\varepsilon_0<a[/texx]?, ¿y porqué esto es una contradicción?

No sé si habrá otra forma de abordar este problema...
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"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 08/10/2014, 06:15:25 am »

Hola

Pero no entiendo cómo concluyes que [texx]a-\varepsilon_0<a[/texx]?, ¿y porqué esto es una contradicción?

Está razonando por reducción al absurdo.

La negación de:

"para todo [texx]\epsilon[/texx] existe un [texx]x_0\in S[/texx] tal que [texx]x_0>a-\epsilon[/texx] "

es:

"existe un [texx]\epsilon[/texx] tal que para todo [texx]x\in S[/texx] se cumple [texx]x\leq a-\epsilon[/texx] "

Por tanto [texx]a-\epsilon[/texx] es una cota superior de S.

Lo contradictorio ahora no es sólo que [texx]a-\epsilon<a[/texx] sino que además que [texx]a-\epsilon[/texx] sea cota superior de [texx]S[/texx], ya que por definición el supremo [texx]a[/texx] debería de ser la menor de las cotas superiores.

Saludos.
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